计算机图形学-第4章 几何计算
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
计算机图形学几何变换算法具体程序实现
数学与软件科学学院实验报告学期： 2010 至 2011 第一学期 2010年 11月 3日课程名称: 计算机图形学专业:信息与计算科学班级 2007级5班实验编号： 05 实验项目: 几何变换指导教师庞朝阳姓名：学号：200706005 实验成绩：一、实验目的及要求图形变换时计算机图形学的重要内容，在图形的生成、处理和现实过程中发挥着关键性的作用，同时，变换本身也是描述图形的一个有力工具。
通过这次的实验，要理解计算机图形学中几何变换的概念和作用，掌握几何变换的过程。
二、实验内容1、整理和总结关于几何变换的概念和作用。
2、掌握基本几何变换3、掌握组合几何变换在齐次坐标下的应用。
三、具体实验内容：1、几何变换的概念和作用：几何变换提供了构造和修改图形的一种方法，图形在位置、方向、尺寸和形状方面的改变都可以通过几何变换来实现。
几何变换的基本方法是吧变换矩阵作为一个算子，作用到图形一系列顶点的位置矢量，从而得到这些顶点在几何变换后的新的顶点序列，连接新的顶点序列即可得到变换后的图形。
2、基本几何变换：假设)yP表示三维空间上一个未被变换的点，而该点经过某种变换后得x(z,,到新的点用)'P表示。
yx,','('z①平移变换：如果点)','(zyx,P在x轴，y轴和z轴分别移动x∆、y∆、y,'('zxP是由点),z∆距离得到的，则两点坐标关系为：='+x∆xxy y y ∆+=' z z z ∆+=' 则矢量形式为：T P P +=' 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=''''z y x P ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x P ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆=z y x T ② 缩放变换：缩放变换改变物体的大小。
有坐标关系 x s x x =' y s y y =' z s z z ='其中，x s ，y s ，z s 分别为沿x ，y 和z 轴方向放大或缩小的比例。
计算机图形学中计算几何算法
计算机图形学中计算几何算法/*计算几何(本文档源文件格式为.cpp,上传百度时被迫改有.txt) 目录㈠点的基本运算1. 平面上两点之间距离 12. 判断两点是否重合 13. 矢量叉乘 14. 矢量点乘 25. 判断点是否在线段上 26. 求一点饶某点旋转后的坐标 27. 求矢量夹角 2㈡线段及直线的基本运算1. 点与线段的关系 32. 求点到线段所在直线垂线的垂足 43. 点到线段的最近点 44. 点到线段所在直线的距离 45. 点到折线集的最近距离 46. 判断圆是否在多边形内 57. 求矢量夹角余弦 58. 求线段之间的夹角 59. 判断线段是否相交 610.判断线段是否相交但不交在端点处 611.求线段所在直线的方程 612.求直线的斜率 713.求直线的倾斜角 714.求点关于某直线的对称点 715.判断两条直线是否相交及求直线交点 716.判断线段是否相交，如果相交返回交点 7㈢多边形常用算法模块1. 判断多边形是否简单多边形 82. 检查多边形顶点的凸凹性 93. 判断多边形是否凸多边形 94. 求多边形面积 95. 判断多边形顶点的排列方向，方法一 106. 判断多边形顶点的排列方向，方法二 107. 射线法判断点是否在多边形内 108. 判断点是否在凸多边形内 119. 寻找点集的graham算法 1210.寻找点集凸包的卷包裹法 1311.判断线段是否在多边形内 1412.求简单多边形的重心 1513.求凸多边形的重心 1714.求肯定在给定多边形内的一个点 1715.求从多边形外一点出发到该多边形的切线 1816.判断多边形的核是否存在 19㈣圆的基本运算1 .点是否在圆内 202 .求不共线的三点所确定的圆 21㈤矩形的基本运算1.已知矩形三点坐标，求第4点坐标 22 ㈥常用算法的描述 22㈦补充1．两圆关系： 242．判断圆是否在矩形内： 243．点到平面的距离： 254．点是否在直线同侧： 255．镜面反射线： 256．矩形包含： 267．两圆交点： 278．两圆公共面积： 289. 圆和直线关系： 2910. 内切圆： 3011. 求切点： 3112. 线段的左右旋： 3113．公式： 32*//* 需要包含的头文件 */#include/* 常用的常量定义 */const double INF = 1E200const double EP = 1E-10const int MAXV = 300const double PI = 3.14159265/* 基本几何结构 */struct POINT{double x;double y;POINT(double a=0, double b=0) { x=a; y=b;} //constructor };struct LINESEG{POINT s;POINT e;LINESEG(POINT a, POINT b) { s=a; e=b;}LINESEG() { }};struct LINE // 直线的解析方程 a*x+b*y+c=0 为统一表示，约定a >= 0{double a;double b;double c;LINE(double d1=1, double d2=-1, double d3=0) {a=d1; b=d2; c=d3;}};/*********************** ** 点的基本运算 ** ***********************/double dist(POINT p1,POINT p2) // 返回两点之间欧氏距离{return( sqrt( (p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y) ) );}bool equal_point(POINT p1,POINT p2) // 判断两个点是否重合{return ( (abs(p1.x-p2.x)<ep)&&(abs(p1.y-p2.y)}/************************************************************** ****************r=multiply(sp,ep,op),得到(sp-op)和(ep-op)的叉积r>0：ep在矢量opsp的逆时针方向；r=0：opspep三点共线；r<0：ep在矢量opsp的顺时针方向*************************************************************** ****************/double multiply(POINT sp,POINT ep,POINT op){return((sp.x-op.x)*(ep.y-op.y)-(ep.x-op.x)*(sp.y-op.y));}/*r=dotmultiply(p1,p2,op),得到矢量(p1-op)和(p2-op)的点积，如果两个矢量都非零矢量r<0：两矢量夹角为锐角；r=0：两矢量夹角为直角；r>0：两矢量夹角为钝角*************************************************************** ****************/double dotmultiply(POINT p1,POINT p2,POINT p0){return ((p1.x-p0.x)*(p2.x-p0.x)+(p1.y-p0.y)*(p2.y-p0.y));}/************************************************************** ****************判断点p是否在线段l上条件：(p在线段l所在的直线上) && (点p在以线段l为对角线的矩形内)*************************************************************** ****************/bool online(LINESEG l,POINT p){return( (multiply(l.e,p,l.s)==0) &&( ( (p.x-l.s.x)*(p.x-l.e.x)<=0 )&&( (p.y-l.s.y)*(p.y-l.e.y)<=0 ) ) );}// 返回点p以点o为圆心逆时针旋转alpha(单位：弧度)后所在的位置POINT rotate(POINT o,double alpha,POINT p){POINT tp;p.x-=o.x;p.y-=o.y;tp.x=p.x*cos(alpha)-p.y*sin(alpha)+o.x;tp.y=p.y*cos(alpha)+p.x*sin(alpha)+o.y;return tp;}/* 返回顶角在o点，起始边为os，终止边为oe的夹角(单位：弧度)角度小于pi，返回正值角度大于pi，返回负值可以用于求线段之间的夹角原理：r = dotmultiply(s,e,o) / (dist(o,s)*dist(o,e))r'= multiply(s,e,o)r >= 1 angle = 0;r <= -1 angle = -PI-1<r<="0">*/double angle(POINT o,POINT s,POINT e){double cosfi,fi,norm;double dsx = s.x - o.x;double dsy = s.y - o.y;double dex = e.x - o.x;double dey = e.y - o.y;cosfi=dsx*dex+dsy*dey;norm=(dsx*dsx+dsy*dsy)*(dex*dex+dey*dey);cosfi /= sqrt( norm );if (cosfi >= 1.0 ) return 0;if (cosfi <= -1.0 ) return -3.1415926;fi=acos(cosfi);if (dsx*dey-dsy*dex>0) return fi; // 说明矢量os 在矢量 oe的顺时针方向return -fi;}/*****************************\* ** 线段及直线的</r</r</ep)&&(abs(p1.y-p2.y)基本运算 ** *\*****************************//* 判断点与线段的关系,用途很广泛本函数是根据下面的公式写的，P是点C到线段AB所在直线的垂足AC dot ABr = ---------||AB||^2(Cx-Ax)(Bx-Ax) + (Cy-Ay)(By-Ay)= -------------------------------L^2r has the following meaning:r=0 P = Ar=1 P = Br<0 P is on the backward extension of ABr>1 P is on the forward extension of AB0<r*/double relation(POINT p,LINESEG l){LINESEG tl;tl.s=l.s;tl.e=p;return dotmultiply(tl.e,l.e,l.s)/(dist(l.s,l.e)*dist(l.s,l.e));}// 求点C到线段AB所在直线的垂足 PPOINT perpendicular(POINT p,LINESEG l){double r=relation(p,l);POINT tp;tp.x=l.s.x+r*(l.e.x-l.s.x);tp.y=l.s.y+r*(l.e.y-l.s.y);return tp;}/* 求点p到线段l的最短距离,并返回线段上距该点最近的点np 注意：np是线段l上到点p最近的点，不一定是垂足 */ double ptolinesegdist(POINT p,LINESEG l,POINT &np) {double r=relation(p,l);if(r<0){np=l.s;return dist(p,l.s);}if(r>1){np=l.e;return dist(p,l.e);}np=perpendicular(p,l);return dist(p,np);}// 求点p到线段l所在直线的距离,请注意本函数与上个函数的区别double ptoldist(POINT p,LINESEG l){return abs(multiply(p,l.e,l.s))/dist(l.s,l.e);}/* 计算点到折线集的最近距离,并返回最近点.注意：调用的是ptolineseg()函数 */double ptopointset(int vcount,POINT pointset[],POINT p,POINT &q){int i;double cd=double(INF),td;LINESEG l;POINT tq,cq;for(i=0;i{l.s=pointset[i];l.e=pointset[i+1];td=ptolinesegdist(p,l,tq);if(td{cd=td;cq=tq;}}q=cq;return cd;}/* 判断圆是否在多边形内.ptolineseg()函数的应用2 */bool CircleInsidePolygon(int vcount,POINT center,double radius,POINT polygon[]){POINT q;double d;q.x=0;q.y=0;d=ptopointset(vcount,polygon,center,q);if(d<radius||fabs(d-radius)return true;elsereturn false;}/* 返回两个矢量l1和l2的夹角的余弦(-1 --- 1)注意：如果想从余弦求夹角的话，注意反余弦函数的定义域是从 0到pi */double cosine(LINESEG l1,LINESEG l2){return (((l1.e.x-l1.s.x)*(l2.e.x-l2.s.x) +(l1.e.y-l1.s.y)*(l2.e.y-l2.s.y))/(dist(l1.e,l1.s)*dist(l2.e,l2.s))) );}// 返回线段l1与l2之间的夹角单位：弧度范围(-pi，pi)double lsangle(LINESEG l1,LINESEG l2){POINT o,s,e;o.x=o.y=0;s.x=l1.e.x-l1.s.x;s.y=l1.e.y-l1.s.y;e.x=l2.e.x-l2.s.x;e.y=l2.e.y-l2.s.y;return angle(o,s,e);}// 如果线段u和v相交(包括相</radius||fabs(d-radius)</r交在端点处)时，返回true////判断P1P2跨立Q1Q2的依据是：( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) >= 0。
计算机图形学第四讲
11
1001 0001
xL
A
B
C
1000 0000 E 裁剪窗口 0100
xR
第4讲 图形裁剪算法
1010 D yT 0010
7
第4讲 图形裁剪算法
直线裁减的效率策略
首先，通过方法来快速判断完全在窗口内和完全 在窗口外的直线 若是部分在窗口内的情况，则设法减少直线的求 交次数和每次的求交计算量
8
第4讲 图形裁剪算法
直线裁剪算法
Cohen-Sutherland裁剪算法 中点分割算法 梁友栋-Barsky裁剪算法
9
第4讲 图形裁剪算法
Cohen-Sutherland裁剪算法(编码裁剪法)
基本思想：对于每条待裁剪的线段P1P2分三种情 况处理
若P1P2完全在窗口内，则显示该线段 若P1P2完全在窗口外，则丢弃该线段 若线段不满足上述条件，则求线段与窗口边界的交点， 在交点处把线段分为两段，其中一段完全在窗口外， 可舍弃之，然后对另一段重复上述处理
P1
P1
P1
A
Pm
A Pm A B B P2
B Pm
18
P2
P2
第4讲 图形裁剪算法
算法特点
对分辨率为2N×2N的显示器，上述二分过程至多 进行N次 主要过程只用到加法和除法运算，适合硬件实现， 它可以用左右移位来代替乘除法，这样就大大加 快了速度
19
第4讲 图形裁剪算法
梁友栋-Barsky裁剪算法
13
第4讲 图形裁剪算法
计算机图形学知识要点
单元分解法优缺点
优点
表示简单 容易实现几何变换 基本体素可以按需选择，表示范围较广 可以精确表示物体 物体的表示不唯一 物体的有效性难以保证 空间位置枚举表示----同样大小立方体粘合在一起表示 物体 八叉树表示----不同大小的立方体粘合在一起表示物体 单元分解表示----多种体素粘合在一起表示物体
阴极射线管(CRT)：光栅扫描图形显示器； 平板显示器：液晶显示器、等离子体显示板等； 光点、像素、帧缓存（frame buffer）、位平面；三种 分辨率（屏幕、显示、存储）； 黑白、灰度、彩色图形的实现方法（直接存储颜色数据、 颜色查找表）； 光栅图形显示子系统的结构
基本概念
第四章 图形的表示与数据结构
2、规则三维形体的表示
形体表示的分类 线框模型
缺点 多边形表，拓扑信息： 显示和隐式表示
表面模型
显示表示：在数据结构中显式的存储拓扑结构。例如，翼边结构 表示（Winged Edges Structure） 隐式表示：即根据数据 之间的关系在运行时实
时的解算。 平面方程 多边形网格 分解表示、构造表示、边界表示
Bresenham算法绘制圆弧
基本原理 从（0，R）点，顺时针开始； 上一个确定像素点为p（x, y），则下一个像素点只 能是p1和p2中的一个；
P(x, y) P1(x＋1, y)
p2 (x＋1, y－1)
误差判据：像素点到圆心的距离平方与半径平方之 差； 一般关系式取值对应的几何意义，即和下一个像素 的对应关系；
3、椭圆的光栅化方法
东北大学计算机图形学4
DDA算法原理
• 对求出的xi+1，yi+1进行四舍五入，即 round(xi+1)=(int)(x i+1+0.5)或round(y i+1)=(int)(y i+1+0.5)
DDA算法原理
xi 1 xi x yi 1 yi y
其中，
yi+1 ε△y yi xi ε△x xi+1 x
y
1 / | x |, | x || y | 1 / max(|x |, | y |) 1 / | y |, | y || x |
示例图片
右图中，
红色填充点表示的线段： 起点为(0，0) 终点为(10，20)
绿色填充点表示的线段：
起点为(0，0) 终点为(20，10)
• • • • • • • • • • • • • • • • •
Void DDAline(int x0,int y0,int x1,int y1) { int dx,dy,epsl,k; 变量定义：整数型： dx,dy,epsl,k; float x,y,xIncre,yIncre; 符点型：x,y,xIncre,yIncre; dx=x1-x0; dy=y1-y0; 变量赋初值：线段起点与终点的x,y轴向 x=(float)x0; y=(float)y0; 增量；起点变量类型转换后赋值。 if( abs(dx)>abs(dy)) epsl=abs(dx); else 求x,y轴向增量的大值。 epsl=abs(dy); xIncre=(float)dx/(float)epsl; 求线段在x,y轴向上的步进增量 yIncre=(float)dy/(float)epsl; for(k=0;k<=epsl;k++) { putPixel((int)(x+0.5),(int)(y+0.5))); x+=xIncre; y+=yIncre; } 增量式依次计算线段上个点，并输出。 }
【中南大学】计算机图形学习题及答案
计算机图形学作业答案第一章序论第二章图形系统1．什么是图像的分辨率？解答：在水平和垂直方向上每单位长度（如英寸）所包含的像素点的数目。
2．计算在240像素/英寸下640×480图像的大小。
解答：（640/240）×(480/240)或者（8/3）×2英寸。
3．计算有512×512像素的2×2英寸图像的分辨率。
解答：512/2或256像素/英寸。
第三章二维图形生成技术1．一条直线的两个端点是（0，0）和（6，18），计算x从0变到6时y所对应的值，并画出结果。
解答：由于直线的方程没有给出，所以必须找到直线的方程。
下面是寻找直线方程（y ＝mx＋b）的过程。
首先寻找斜率：m ＝⊿y/⊿x ＝（y2－y1）/（x2－x1）＝（18－0）/(6－0) ＝ 3 接着b在y轴的截距可以代入方程y＝3x＋b求出 0＝3（0）＋b。
因此b＝0，所以直线方程为y＝3x。
2．使用斜截式方程画斜率介于0°和45°之间的直线的步骤是什么？解答：（1）计算dx：dx＝x2－x1。
（2）计算dy：dy＝y2－y1。
（3）计算m：m＝dy/dx。
（4）计算b: b＝y1－m×x1（5）设置左下方的端点坐标为（x，y），同时将x end设为x的最大值。
如果dx < 0，则x＝x2、y＝y2和x end＝x1。
如果dx > 0,那么x＝x1、y＝y1和x end＝x2。
（6）测试整条线是否已经画完，如果x > x end就停止。
（7）在当前的（x，y）坐标画一个点。
（8）增加x：x＝x＋1。
（9）根据方程y＝mx＋b计算下一个y值。
（10）转到步骤（6）。
3．请用伪代码程序描述使用斜截式方程画一条斜率介于45°和－45°（即|m|>1）之间的直线所需的步骤。
假设线段的两个端点为（x1，y1）和（x2，y2），且y1<y2int x = x1, y = y1;float x f, m = （y2－y1）/（x2－x1）, b = y1－mx1;setPixel( x, y );/*画一个像素点*/while( y < y2 ) {y++;x f = ( y－b)/m;x = Floor( x f +0.5 );setPixel( x, y );}4．请用伪代码程序描述使用DDA算法扫描转换一条斜率介于－45°和45°（即|m| ≤1）之间的直线所需的步骤。
计算机图形学--实验四-几何变换
贵州大学实验报告
学院：计算机科学与信息学院专业：软件工程班级： 102班姓名学号实验组实验时间指导教师成绩实验项目名称实验四几何变换
实
验目的掌握二维图形的几何变换的基本原理。
二维图形的基本几何变换：位置改变（平移、旋转）和变形（缩放、错切，反射、投影等）以及复合变换。
了解三维图形的错切变换
实验要求根据本实验的特点、要求和具体条件，掌握二维图形的几何变换的基本原理，了解三维图形的错切变换，并成功编写测试代码进行实验。
1.设有一三角形ABC,其中三个顶点为A(5,10),B(1,2),C(8,5)，如三角形的顶点A不变，将AB和AC边缩小一倍后，求缩小后的三角形对于直线-2x+4y+3=0的对称变换后的结果图。
2．将一四边形以原点为中心，以15°为间隔旋转。
3.在三维坐标中，对长度为1的标准立方体做错切变换，错切单位为2；
实验原理一、实验原理：标准齐次坐标(x,y,1) 二维变换的矩阵表示
平移变换
旋转变换
[][][]),(
1
1
1
1
1
1
y
x
y
x
t
t
T
y
x
t
t
y
x
y
x⋅
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
'
'记为
[][][]
cos sin0
1x y1sin cos01()
001
x y x y R
θθ
θθθ
⎡⎤
⎢⎥
''=-=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
记为。
计算机图形学第4章 自由曲线与曲面2
(1) P3 Q0 (2) 0 P3 P2 (Q1 Q0 )
三点共线，且Q1,P2在连接点的异侧
二阶几何连续条件？
自学
21
4.6 Bezier曲线
反求控制顶点
给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点
Q0 P0 ... 0 n 1 n 1 n (i / n) ... PnCn (i / n) n Qi P0Cn (1 i / n) P 1C n (1 i / n) ... Qn Pn
17
4.6 Bezier曲线
二次Bezier曲线
n=2,抛物线 P(0)=P0,P(1)=P2; P'(0)=2(P1- P0), P'(1)=2(P2- P1) P(1/2)=[P1+ (P0+ P2)/2]/2
P1
P(0.5)
P(0)
P0
M
P2
P(1)
说明二次Bezier曲线在 t=1/2 处的点经过P0P2 上 的中线P1M的中点。
优于Bezier曲线之处：
26
4.7 B样条曲线
三次B样条曲线对三次Bezier曲线进行改进， 它克服了Bezier曲线的不足，同时保留了 Bezier曲线的直观性和凸包性，是一种工程设 计中更常用的拟合曲线。
三次B样条曲线的构造:
由前面可知，三次参数曲线可以表示成： P(t)=F0,3(t)P0 + F1,3(t)P1 + F2,3(t)P2 + F3,3 (t)P3 F0,3(t) ，F1,3(t) ，F2,3(t) ，F3,3 (t)是待定参数 P2 P1 P(t) 由P0，P1，P2，P3确定 Q(s) 由P1，P2，P3，P4确定 P3 P4
计算机图形学
计算机图形学定义：计算机图形学是研究怎样用数字计算机生成、处理和显示图形的一门学科。
图形：表示和绘制+ 输入/输出设备计算机图形学：计算机科学中，最为活跃、得到广泛应用的分支之一数据计算机图形系统图形图形及图形的表示方法图形：计算机图形学的研究对象能在人的视觉系统中产生视觉印象的客观对象包括自然景物、拍摄到的图片、用数学方法描述的图形等等构成图形的要素几何要素：刻画对象的轮廓、形状等非几何要素：刻画对象的颜色、材质等表示方法点阵表示枚举出图形中所有的点(强调图形由点构成)简称为图像（数字图像）参数表示由图形的形状参数(方程或分析表达式的系数，线段的端点坐标等)+属性参数(颜色、线型等)来表示图形简称为图形图形主要分为两类：1、基于线条信息表示2、明暗图(Shading)第一章绪论1.2.2 图象处理研究如何对一幅连续图像取样、量化以产生数字图像，如何对数字图像做各种变换以方便处理如何滤去图像中的无用噪声，如何压缩图像数据以便存储和传输，图像边缘提取，特征增强和提取1.2.3 计算机视觉和模式识别图形学的逆过程，分析和识别输入的图像并从中提取二维或三维的数据模型（特征）。
手写体识别、机器视觉计算几何几何问题的计算复杂性发展特点内容交叉、界限模糊、相互渗透1.3 CG的应用1.3.1 计算机辅助设计与制造（CAD/CAM）CAD/CAM是计算机图形学在工业界最广泛、最活跃的应用领域1、飞机、汽车、船舶的外形的设计,如波音777飞机的设计和加工过程2、发电厂、化工厂等的布局3、土木工程、建筑物的设计4、电子线路、电子器件的设计,设计结果直接送至后续工艺进行加工处理1.3.2 科学计算可视化科学计算可视化广泛应用于医学、流体力学、有限元分析、气象分析当中⏹在医学领域，可视化有着广阔的发展前途⏹是机械手术和远程手术的基础⏹将医用CT扫描的数据转化为三维图象，帮助医生判别病人体内的患处⏹由CT数据产生在人体内漫游的图象⏹可视化的前沿与难点⏹可视化硬件的研究⏹实时的三维体绘制⏹体内组织的识别分割——Segmentation1.3.3 真实感图形的绘制与计算机仿真1、计算机中重现真实世界的场景叫做真实感绘制2、真实感绘制的主要任务是模拟真实物体的物理属性，简单的说就是物体的形状，光学性质，表面的纹理和粗糙程度，以及物体间的相对位置，遮挡关系等等1.3.4 其他应用⏹GIS⏹娱乐⏹多媒体⏹虚拟现实（VR)1.3.5 当前研究的热点⏹计算机动画⏹用户接口⏹计算机艺术1.4 常用图形设备图形输入设备键盘、鼠标、光笔、触摸屏、扫描仪等图形输出设备阴极射线管（CRT)、显示器（光栅扫描显示器、液晶显示器）、打印机、绘图仪等作业1.写出对计算机图形学的认识,谈谈学科发展的关键因素2.计算机图形学的主要研究内容是什么?3.计算机图形学最具潜力的应用是什么?4.谈谈对计算机图形学的前沿领域的设想和体会?第二章基本二维图形的生成概念光栅显示器显示的图形是由一系列紧靠该图形路径的像素表示的，可看作具有一种或多种颜色的像素的矩阵或集合。
计算机图形学_PPT完整版
图形软件主要类型
3. 专用图形软件包 针对某一种设备或应用，设计/配置专用的图形 生成语言或函数集，例如： 场景描述：Open Inventor 建立虚拟世界的三维模型：VRML 生成三维Web显示：Java3D 创建Java applet中的二维场景：Java 2D 生成各种光照模型下的场景：Renderman Interface（Pixar）……
图元的绘制、显示过程
顶点
法向量、颜色、纹理…
像素
图元操作、像素操作 光栅化（扫描转换）
像素信息 帧缓存 显示器
调用底层函数，如 setPixel (x,y)；将当 前像素颜色设定值存 入帧缓存的整数坐标 位置（x,y）处。
图元描述与操作
几何图元由一组顶点（Vertex）描述 这一组顶点可以是一个或是多个。每个顶点信息二维或 三维，使用 2~4 个坐标。顶点信息由位置坐标、颜色 值、法向量、纹理坐标等组成。 图元操作： 几何变换、光照、反走样、消隐、像素操作等，然后准 备进行光栅化处理。 扫描转换或光栅化（Rasterization ） 将对象的数学描述、颜色信息转换成像素信息（像素段 写入帧缓存），送到屏幕显示。
应用程序
图形应用程序
图形语言连接 外部应用 数据库 内部应用 数据库 API GKS/GKS 3D PHIGS OpenGL
图形编程软件包，如OpenGL、 VRML、Java2D、Java3D……
GKSM
图形设备驱动程序，如显卡驱动、 打印机/绘图仪驱动…… 支持图形处理的操作系统,如 Macintosh、Windows、Unix、 Linux 、各种嵌入式OS…… 图形输
计算机图形软件的标准化意义
可移植性 通用、与设备无关 推动、促进计算机图形学的推广、应用 资源信息共享
计算机图形学习题参考答案(完整版)
计算机图形学习题参考答案第1章绪论1、第一届ACM SIGGRAPH会议是哪一年在哪里召开的？解：1974年，在Colorado大学召开了第一届SIGGRAPH年会。
2、计算机图形学之父是谁？解：Sutherland3、列举一些计算机图形学的应用领域（至少5个）。
解：计算机辅助设计、图示图形学、计算机艺术、娱乐、教学与培训、可视化、图像处理、图形用户界面等。
4、简要介绍计算机图形学的研究内容。
解：（1）图形的输入。
如何开发和利用图形输入设备及相关软件把图形输入到计算机中，以便进行各种处理。
（2）图形的处理。
包括对图形进行变换（如几何变换、投影变换）和运算（如图形的并、交、差运算）等处理。
（3）图形的生成和输出。
如何将图形的特定表示形式转换成图形输出系统便于接受的表示形式，并将图形在显示器或打印机等输出设备上输出。
5、简要说明计算机图形学与相关学科的关系。
解：与计算机图形学密切相关的学科主要有图像处理、计算几何、计算机视觉和模式识别等。
计算机图形学着重讨论怎样将数据模型变成数字图像。
图像处理着重研究图像的压缩存储和去除噪音等问题。
模式识别重点讨论如何从图像中提取数据和模型。
计算几何着重研究数据模型的建立、存储和管理。
随着技术的发展和应用的深入，这些学科的界限变得模糊起来，各学科相互渗透、融合。
一个较完善的应用系统通常综合利用了各个学科的技术。
6、简要介绍几种计算机图形学的相关开发技术。
解：（1）OpenGL。
OpenGL是一套三维图形处理库，也是该领域事实上的工业标准。
OpenGL独立于硬件、操作系统和窗口系统，能运行于不同操作系统的各种计算机，并能在网络环境下以客户/服务器模式工作，是专业图形处理、科学计算等高端应用领域的标准图形库。
以OpenGL为基础开发的应用程序可以十分方便地在各种平台间移植；OpenGL与C/C++紧密接合，便于实现图形的相关算法，并可保证算法的正确性和可靠性；OpenGL使用简便，效率高。
计算机图形学PPT课件
三维图形投影方法
正投影
平行光线垂直投射到投影面上 ，形成物体的正投影。
斜投影
平行光线与投影面成一定角度 投射，形成物体的斜投影。
透视投影
从视点出发，通过透视变换将 三维物体投影到二维平面上。
阴影生成
根据光源位置和物体形状，计 算阴影的位置和形状。
05
真实感图形绘制技术
Chapter
消隐技术
消隐算法分类
计算机图形学PPT课件
目录
• 引言 • 图形系统基础 • 基本图形生成算法 • 三维图形变换与观察 • 真实感图形绘制技术 • 曲线与曲面绘制技术 • 计算机动画技术 • 计算机图形学前沿技术
01
引言
Chapter
计算机图形学概述
01
02
03
计算机图形学定义
研究计算机生成、处理和 显示图形的一门科学。
平移变换 旋转变换 缩放变换 镜像变换
将三维图形沿x、y、z方向移动一 定距离，不改变图形形状和大小 。
在x、y、z方向分别进行缩放，可 改变图形的大小和形状。
三维图形复合变换
变换顺序
先进行缩放、旋转，再进行平移，注意变换顺序对结果的影响。
变换矩阵
将各种基本变换表示为矩阵形式，便于进行复合变换的计算。
医学诊断
通过计算机图形学技术，医生可以更 直观地了解病人病情，进行更准确的 诊断和治疗。
军事模拟
计算机图形学在军事模拟和训练中发 挥重要作用，提高训练效果和作战能 力。
THANKS
感谢观看
通过模拟自然现象或物理过程，生成具有真实感的动画效 果。
过程动画制作流程
建立自然现象或物理过程的数学模型，利用计算机图形学 技术模拟模型的运动和变化过程，生成具有真实感的动画 效果。
计算机图形学-第4章建模的数学基础(自学)
缩放变换是指改变图形的大小，即沿各个方向放大或缩小一定的比例。缩放变换可以通过乘以一个缩放 矩阵来实现，该矩阵描述了各个方向上的缩放因子。
03
曲线与曲面建模
曲线的基本概念与性质
02
01
03
曲线的定义
曲线是空间中点的集合，可以表示为参数方程或隐式 方程。
曲线的性质
连续性、光滑性、可微性、闭合性等。
基于物理模型的过程纹理生成
利用物理模型模拟自然现象的纹理生成方法， 如模拟水流、火焰等效果的纹理。
基于分形的过程纹理生成
利用分形理论生成具有自相似性的纹理，如 山脉、云朵等。
基于噪声的过程纹理生成
利用噪声函数生成随机性纹理，如石头、木 材等。
细节增强技术
位移映射
通过改变物体表面的几何形状来增强细节表现的技术，如凹凸贴 图。
刚体动力学与软体动力学
刚体动力学研究刚体的运动规律，而软体动力学则研究可变形物体 的运动规律，两者在基于物理的建模中都有广泛应用。
碰撞检测与响应
碰撞检测是判断两个物体是否发生接触的过程，而碰撞响应则是处 理物体接触后的行为，如反弹、穿透、粘连等。
数据驱动的建模方法
数据采集与处理
数据驱动的建模方法需要从现实 世界或虚拟世界中采集数据，并 进行预处理和后处理，以便用于 建模。
分形维数与复杂度
分形维数是描述分形结构复杂度的重要参数，对 于刻画自然景物的细节和纹理具有重要作用。
3
分形生成算法
常见的分形生成算法包括迭代函数系统、L系统、 分形噪声等，可用于生成山脉、云朵、树木等自 然景物的三维模型。
基于物理的建模与仿真
物理引擎的基本原理
物理引擎是一种模拟真实世界物理现象的计算机程序，可用于实现 基于物理的建模与仿真。
计算机图形学第二版(陆枫)课后习题答案部分
计算机图形学第二版（陆枫）课后习题集第一章绪论概念：计算机图形学、图形、图像、点阵法、参数法、图形的几何要素、非几何要素、数字图像处理；计算机图形学和计算机视觉的概念及三者之间的关系；计算机图形系统的功能、计算机图形系统的总体结构。
第二章图形设备图形输入设备：有哪些。
图形显示设备：CRT的结构、原理和工作方式。
彩色CRT：结构、原理。
随机扫描和光栅扫描的图形显示器的结构和工作原理。
图形显示子系统：分辨率、像素与帧缓存、颜色查找表等基本概念，分辨率的计算第三章交互式技术什么是输入模式的问题，有哪几种输入模式。
第四章图形的表示与数据结构自学，建议至少阅读一遍第五章基本图形生成算法概念：点阵字符和矢量字符；直线和圆的扫描转换算法；多边形的扫描转换：有效边表算法；区域填充：4／8连通的边界／泛填充算法；内外测试：奇偶规则，非零环绕数规则；反走样：反走样和走样的概念，过取样和区域取样。
5.1.2 中点 Bresenham 算法（P109）5.1.2 改进 Bresenham 算法（P112）习题解答习题5（P144）5.3 试用中点Bresenham算法画直线段的原理推导斜率为负且大于1的直线段绘制过程（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。
（P111）解： k<=-1 |△y|/|△x|>=1 y为最大位移方向故有构造判别式：推导d各种情况的方法(设理想直线与y=yi+1的交点为Q)：所以有： y Q-kx Q-b=0 且y M=y Qd=f(x M-kx M-b-(y Q-kx Q-b)=k(x Q-x M)所以，当k<0，d>0时，M点在Q点右侧（Q在M左），取左点 P l(x i-1,y i+1)。
d<0时，M点在Q点左侧（Q在M右），取右点 Pr(x i,y i+1)。
d=0时，M点与Q点重合（Q在M点），约定取右点 Pr(x i,y i+1) 。
所以有递推公式的推导：d2=f(x i-1.5,y i+2)当d>0时,d2=y i+2-k(x i-1.5)-b 增量为1+k=d1+1+k当d<0时,d2=y i+2-k(x i-0.5)-b 增量为1=d1+1当d=0时,5.7 利用中点 Bresenham 画圆算法的原理，推导第一象限y＝0到y＝x圆弧段的扫描转换算法（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P5【判别】计算交点个数，如为奇数，则点在多角形 内部，否则在多角形外部。
n
0 i
点在多边形之外
B
E D
A
C
i 1
n
2 i
点在多边形之内
B
E
P
C
D
青岛农业大学
4.1.4包容性测试——角度判别法
夹角如何计算？
大小：利用余弦定理 方向：令
T
x A xP xB xP
y A yP yB yP
( x A xP )(y B y P ) ( xB xP )(y A y P )
4.1.7 线与线的关系
将λs和μs分别代入深度方程 zp=zp1+(zp2-zp1)λs zq=zq1+(zq2-zq1)μs 若 zp > zq P1P2在Q1Q2的前面 zp = zq P1P2与Q1Q2在同一平面上 zp < zq P1P2在Q1Q2后面
青岛农业大学
4.2 距离和面积
N>0，线在面之前（ N=1 和 N=2 ）
青岛农业大学
4.1.6线与面的关系
N=-1， 线贯穿面； 令λ=│D1│/ (│D1│+│D2│) 若N2<0（P2点在面后）， 则棱的[0,λ]间的部份（P1P）在面的前面；
否则，棱的[0,λ]间的部份在面的后面。
青岛农业大学
4.1.7 线与线的关系
青岛农业大学
4.1.5最大最小判别法
如果两图形元素的最小矩形包围盒子不相重迭，则这
两个图形元素不可能相交。
最小最大判定法提供了这样一种快速拒绝判定法，这个 判定法是用图形元素的最小外接矩形(或矩形盒子)来 替代，用以粗略地判定两个图形元素之间的某种关系。 虽然，这种判定条件是一种充分条件，在某些情况下，
P1【建立射线】由点Pt(Xt，Yt)向点(X∞，Yt)建立一
射线向量。其中X∞是一个多角形顶点不可能达到的X
大值，Yt意味着射线和X轴平行； P2【求交点】将此射线向量和多角形的各边向量求
交。并记录交点几何参数和相对于射线的特征值，
并将交点按其射线方向排队；
青岛农业大学
算法P：半射线交点计数包容性测试算法
设空间有两条线，其端点分别为P1、P2和Q1、 Q2，方程分别为：
x x p1 ( x p 2 x p1 ) y y p1 ( y p 2 y p1 ) z z p1 (z p 2 z p1 )
x x q1 ( x q 2 x q1 ) y y q1 ( y q 2 y q1 ) z z q1 (z q 2 z q1 )
其适用性能从凸多边形扩展到一般多边形
青岛农业大学
4.1.4包容性测试——Griffiths判别法
为了在角度判别法中避免求取反三角函数， Griffiths 在 1981年提出了一种近似的方法以加快
运算速度。
基本原理： 矢量积 PtPi×PtPi+1 与 sinαi 成正比，而数量 积 PtPi•PtPi+1 与 cosαi 成正比 , 于是 tgαi 或 ctgαi 可由 这两个积的结果导出。
青岛农业大学
4.1.3 凸包算法
基本思想：用形状简单的几何体（凸包）将形状复杂 的物体包围起来，由物体的凸包进行粗略检测，当两
凸包不相交时，其相应的两原物体间一定不相交，从
而快速排除那些不可能相交的物体。
青岛农业大学
4.1.3 凸包算法——Jarris算法
设S为平面内的点的集合, 从S中将y坐标最小
三个相继的点会组成一个左拐，若三个相继的点组成一
个右拐，即中间点位于三点组成的三角形内，可以直接 去除该点。
青岛农业大学
4.1.3 凸包算法——Graham算法
G1【找内点】：找到点列的一个内点 G，从内 点作水平向右的一向量L； G2【排序】：连接内点和全部点列，根据这些 连线与 L 的夹角按递增次序对点列排序，形成 一个双向链接表； G3【求凸包上的起点】：求取点列中的任一个 极点P0（x或y的最小/最大者）；
的点作为凸包的第一个顶点H1, 找到与以H1为起点
的水平线的叉积为正且夹角最小的点,作为凸包的 第二个顶点H2 , 再求与线段H1H2叉积为正且夹角 最小的点,作为凸包的第三个顶点，……，直到返 回第一个顶点。
青岛农业大学
4.1.3 凸包算法——Graham算法
对于一个有序点集，如果所有点都在凸包上，则每
y
y
A
P B x P
B
A x
青岛农业大学
当T<0时，AP斜率>BP斜率，为顺时针角 当T>0时，AP斜率<BP斜率，为逆时针角
4.1.4包容性测试——角度判别法
这种角度的计算不需要很高的精度，其误 差甚至可以达到π也不失判别的正确性 但是必须计算两向量间的夹角而涉及到反 三角函数的计算，计算工作量较大 计算量虽也是O(n)，但要比符号判别法的 工作增加几倍
若||P1×P2 || > 0，则P2在P1的逆时针方向 若|| P1×P2 || < 0，则P2在P1的顺时针方向 若|| P1×P2 || = 0，则P2与P1共线
青岛农业大学
4.1.2折线段的拐向判断
对于有公共端点P2的线段P1P2和P2P3 ，通过
计算||(P2 - P1)×(P3- P2) ||的符号，即
青岛农业大学
4.2 距离与面积
3、点到空间直线的距离
D
p p N
0
L
N
L
其中：NL是直线的方向向量，P0是直线上任意点。
例：求点P（2，-1，1）到直线L的距离D。
x 2 y z 1 0 x 2 y z 3 0
青岛农业大学
4.2 距离与面积
4、点到平面的距离
青岛农业大学
4.1.4包容性测试——符号判别法
在此判别法中，多边形为凸的条件不能少
虽然有
A45xt +B45yt + C45 > 0 而T却在多边形的内部。
青岛农业大学
4.1.4包容性测试——角度判别法
依次将测试点P与多边形各顶点相连,然后计算点P与各 顶点围成的角度之和
A
P
i 1
青岛农业大学
4.1.4包容性测试——Griffiths判别法
角度αi可由下列近似的线性逼近公式求得： arctg x=π/4×x+C 其中
1 4 4 C arctg 1 1 88.35 2 4
青岛农业大学
4.1.4包容性测试——半射线交点判别法
且令：N=N1+N2
青岛农业大学
4.1.6 线与面的关系
则当N≤-2，线在面的后面（ N=-2 ） N=0， 线在面上（正面或背面）
以此线两顶点为端点的两相邻线的另两个端点的状态决定
若另两个端点中有一端点在面的前面，则此线棱在面的 正面； 若另两端点均在面之后，此时线在面的背面
青岛农业大学
4.1.7 线与线的关系
求 得 它 们 在 XOY 投 影 面 上 的 交 点 S （ P1P2 上的 P 点和 Q1Q2 和 μs 若λs∈[0,1]且 μs∈[0,1]， 则这两条线在空间 存在遮挡关系
上的 Q 点在 XOY 上的重 合 投 影 点 ） 的 参 数 λs
青岛农业大学
C= x2 y2 1 便可以确定折线段的拐向。
x3 y3 1 x1 y1 1
若C> 0，则P1P2在P2点逆时针旋转后得到P2P3 若C < 0，则P1P2在P2点顺时针旋转后得到P2P3 若C = 0，则P1 、 P2 、P3共线
青岛农业大学
4.1.3 凸包算法
凸包计算的基本任务就是确定两个或多个物体彼此 之间是否发生接触或穿透。 一个图形的凸包就是包含这个图形的一个面积最小 的凸多边形，构成凸包的点称为凸包点，其余点称为凸 包内点。
1、点到平面上直线的距离
将点的坐标代入直线方程即可。
D ax p b y c
p
2、点到空间直线的垂足
设nL是直线L的单位方向向量，P0是L上的任意一点， P是空间中的任意一点，则P在L上的垂足Pv为：
p
v
p
p p n n
0 l
l
例：已知点P0(0,0,0),PL(1,1,1)，直线L由P0、PL决定， 求点P(0.5,1,0)到直线L的垂足PV。
令R是一条以P为起点任何方向的半射线 当R和多角形的交点个数为奇数个时，点P在多角形 的内部 当交点个数为偶数或为零时，点P在多角形的外部
若选择的半射线通过多角形的顶点，或与多角形的边 重合时，根据向量交点的特征值、重点和重边的处理原则 进行交点的取舍，然后计数。
青岛农业大学
算法P：半射线交点计数包容性测试算法
2）重叠性检验 如果两个多边形的最小包含矩形不发生重叠，则这两个多边 形必定不会重叠，则下式必有一个成立：
x x y y
A max A min
A max A min
x x y y
B min
B max B min
B max
青岛农业大学
4.1.6 线与面的关系
令： D1= Ax1+By1+Cz1+D D2= Ax2+By2+Cz2+D D1(D2)<0 当 D1(D2)=0 分别令： N1(N2)= D1(D2)>0 -2 0 1