浙江省高中物理选考计算题

选考计算题1.如图，第一象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E ；第二、三、四象限存在方向垂直xOy 平面向外的匀强磁场，其中第二象限的磁感应强度大小为B ，第三、四象限的磁感应强度大小相等。

一带正电的粒子，从P (－d ，0)点沿与x 轴正方向成α＝60°角平行xOy 平面入射，经第二象限后恰好由y 轴上的Q 点(图中未画出)垂直y 轴进入第一象限，之后经第四、三象限重新回到P 点，回到P 点时速度方向与入射时相同。

不计粒子重力，求： (1)粒子从P 点入射时的速度大小v 0； (2)第三、四象限的磁感应强度的大小B ′。

解析 (1)设q v 0B ＝m v 2r，r sin α＝d设Q 点的纵坐标为y Q ，则y Q ＝r －dtan α粒子射入第四象限和射出第二象限时，速度方向与x 轴正方向的夹角相同，则β＝α＝60° 设粒子由x 轴上S 离开电场，粒子在S 点的速度为v ，则 qEy Q ＝12m v 2－12m v 20，v ＝v 0cos β 解得v 0＝E3B (2)设粒子在电场中时间为t ，S 点的横坐标为x S ，则y Q ＝v 0tan β2t x S ＝v 0t解得x S ＝2d3，粒子在S 点速度为v ，在第四、三象限中运动半径为r ′，则q v B ′＝m v 2r ′x S －x P ＝2r ′sin β解得B ′＝2.4 B 。

2.如图所示，在xOy 平面坐标系中，直线MN 与y 轴成30°角，M点的坐标为(0，a )，在y 轴与直线MN 之间的区域内，存在垂直xOy 平面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场。

电子束以相同速度v 0从y 轴上－23a ≤y ≤0的区间垂直于y 轴和磁场射入磁场。

已知从O 点射入磁场的电子在磁场中的运动轨迹恰好与直线MN 相切，忽略电子间的相互作用和电子的重力。

(1)求电子的比荷；(2)若在xOy 坐标系的第Ⅰ象限y >0区域内加上沿y 轴正方向大小为E ＝B v 0的匀强电场，在x 0＝43a 处垂直于x 轴放置一荧光屏，计算说明荧光屏上发光区的形状和范围。

解析 (1)从O 点射入磁场的电子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系有： r ＋r sin 30°＝a ，解得：r ＝a3，电子在磁场中运动时，洛伦兹力等于向心力，即eB v 0＝m v 20r联立解得电子比荷e m ＝3v 0Ba(2)由电子的轨道半径可判断，在O 点射入磁场的电子从(0，23a )的位置进入匀强电场，电子进入电场后做类平抛运动，有2r ＝eE 2m t 2，x ＝v 0t ，将E ＝B v 0代入，联立解得：x ＝23a ，设该电子穿过x 轴时速度与x 轴正方向成θ角，则 v y ＝eEm t ，tan θ＝v y v 0解得：tan θ＝2设该电子打在荧光屏上的Q 点，Q 点离x 轴的距离为L ，则L ＝(x 0－x )tan θ＝43a ，即电子打在荧光屏上离x 轴的最远距离为L ＝43a而从(0，－23a )位置进入磁场的电子恰好由O 点过y 轴，不受电场力，沿x 轴正方向做匀速直线运动，打在荧光屏与x 轴相交的点上，所以荧光屏上在y 轴坐标分别为0、－43a 的范围内出现一条长亮线。

3.如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 间距为L ＝0.5 m ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。

完全相同的两金属棒ab 、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m ＝0.02 kg ，电阻均为R ＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B ＝0.1 T ，棒ab 在平行于导轨向上的力F 作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd 恰好能保持静止。

取g ＝10 m/s 2，问：(1)通过棒cd 的电流I 是多少，方向如何？(2)棒ab 受到的力F 多大？(3)棒cd 每产生Q ＝1 J 的热量，力F 做的功W 是多少？ 解析 (1)对cd 棒受力分析如图所示由平衡条件得 mg sin θ＝BIL 得I ＝mg sin θBL＝2 A 。

根据右手定则可判定通过棒cd 的电流方向为由d 到c 。

(2)棒ab 与cd 所受的安培力大小相等，对ab 棒，受力分析如图所示，由共点力平衡条件知F ＝mg sin θ＋BIL 代入数据解得F ＝0.2 N 。

(3)设在时间t 内棒cd 产生Q ＝1 J 的热量，由焦耳定律知 Q ＝I 2Rt设ab 棒匀速运动的速度是v ，其产生的感应电动势E ＝BL v 由闭合电路欧姆定律知I ＝E2R时间t 内棒ab 运动的位移x ＝v t 力F 所做的功W ＝Fx综合上述各式，代入数据解得W ＝4 J 。

4.足够长的平行金属导轨ab 、cd 放置在水平面上，处在磁感应强度B ＝1.00 T 的竖直方向的匀强磁场中，导轨间连接阻值为R ＝0.30 Ω的电阻，质量m ＝0.5 kg 的金属棒ef 与bc 紧贴在导轨上，处于两导轨间的长度L ＝0.40 m 、电阻r ＝0.10 Ω，如图所示。

在水平恒力F 作用下金属棒ef 由静止开始向右运动，其运动距离与时间的关系如下表所示。

导轨与金属棒ef 间的动摩擦因数为0.3，导轨电阻不计，g ＝10 m/s 2求：(1)在4.0 s 时间内，通过金属棒截面的电荷量q ；(2)水平恒力F ；(3)庆丰同学在计算7.0 s 时间内，整个回路产生的焦耳热Q 时，是这样计算的： 先算7.0 s 内的电荷量 再算电流I ＝Q t再用公式Q ＝I 2Rt 计算出焦耳热请你简要分析这样做是否正确？认为正确的，请算出结果；认为错误的，请用自己的方法算出7.0 s 内整个回路产生的焦耳热Q 。

解析 (1)金属棒产生的平均感应电动势E ＝ΔΦΔt ＝BLxt平均电流I ＝ER ＋r电荷量q ＝It ＝6.8 C(2)由表中数据可知3.0 s 以后棒ef 做匀速直线运动 v ＝ΔxΔt ＝2.5 m/sF －μmg ＝BIL 由I ＝ER ＋r ，E ＝BL v解得F ＝BIL ＋μmg ＝2.5 N(3)庆丰同学用电流的平均值计算焦耳热是错误的， 根据能量转化和守恒守律有Fx －μmgx －Q ＝12m v 2解得Q ＝12.7 J5.如图所示，M 、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。

静止的带电粒子带电荷量为＋q ，质量为m (不计重力)，从点P 经电场加速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与N 板的夹角为α＝45°，孔Q 到板的下端C 的距离为L ，当M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，求： (1)两板间电压的最大值U m ；(2)CD 板上可能被粒子打中区域的长度s ； (3)粒子在磁场中运动的最长时间t m 。

解析 (1)M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，所以 心在C 点，如图所示，CH ＝QC ＝L ，故半径r 1＝L ，又因为q v 1B ＝m v 21r 1且qU m ＝12m v 21，所以U m ＝qB 2L 22m(2)设粒子在磁场中运动的轨迹与CD 板相切于K 点，此轨迹的半径为r 2，设圆心为A ； 在△AKC 中：sin 45°＝r 2L －r 2，解得r 2＝(2－1)L ，即KC ＝r 2＝(2－1)L所以CD 板上可能被粒子打中的区域的长度s ＝HK ，即s ＝r 1－r 2＝(2－2)L (3)打在QE 间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半个周期，所以t m ＝T 2＝πmBq。

答案 (1)qB 2L 22m (2)(2－2)L (3)πmBq6.如图所示，竖直平面内的直角坐标系中，x 轴上方有一个圆形有界匀强磁场(图中未画出)，x 轴下方分布有斜向左上与y 轴方向夹角θ＝45°的匀强电场；在x 轴上放置有一挡板，长0.16 m ，板的中心与O 点重合。

今有一带正电粒子从y 轴上某点P 以初速度v 0＝40 m/s 与y 轴负方向成45°角射入第一象限，经过圆形有界磁场时恰好偏转90°，并从A 点进入下方电场，如图所示。

已知A 点坐标(0.4 m ，0)，匀强磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小B ＝210T ，粒子的荷质比qm ＝2×103 C/kg ，不计粒子的重力。

问：(1)带电粒子在圆形磁场中运动时，轨迹半径多大？ (2)圆形磁场区域的最小面积为多少？(3)为使粒子出电场时不打在挡板上，电场强度应满足什么要求？解析 (1)设带电粒子在磁场中偏转，轨迹半径为r 。

由qB v ＝m v 2r 得r ＝m v Bq 代入解得r ＝m v 0Bq ＝0.2 m(2)由几何关系得圆形磁场的最小半径R 对应： 2R ＝2r ，则圆形磁场区域的最小面积S ＝πR 2 ＝0.02 π m 2(3)粒子进电场后做类平抛运动，出电场时位移为L ， 有L cos θ＝v 0t ，L sin θ＝12at 2qE ＝ma ，代入解得E ＝22m v 20qL若出电场时不打在挡板上，则L <0.32 m 或L >0.48 m ， 代入解得E >10 N/C 或E <6.67 N/C 。

7.如图所示，在一个边长为a 的正六边形区域内存在磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。

三个相同带正电的粒子，比荷为qm ，先后从A 点沿AD 方向以大小不等的速度射入匀强磁场区域，粒子在运动过程中只受磁场力作用。

已知编号为①的粒子恰好从F 点飞出磁场区域，编号为②的粒子恰好从E 点飞出磁场区域，编号为③的粒子从ED 边上的某一点垂直边界飞出磁场区域。

求：(1)编号为①的粒子进入磁场区域的初速度大小； (2)编号为②的粒子在磁场区域内运动的时间；(3)编号为③的粒子在ED 边上飞出的位置与E 点的距离。

解析 (1)设编号为①的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为r 1，初速度大小为v 1，则q v 1B ＝m v 21r 1由几何关系可得r 1＝a2sin 60°解得v 1＝3Bqa3m(2)设编号为②的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为r 2，线速度大小为v 2，周期为T 2，则q v 2B ＝m v 22r 2，T 2＝2πr 2v 2解得T 2＝2πmBq由几何关系可得，粒子在正六边形区域磁场运动过程中，转过的圆心角为60°，则粒子在磁场中运动的时间t ＝T 6＝πm 3Bq(3)设编号为③的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为r 3，由几何关系可得 AE ＝2a cos 30°＝3a r 3＝AE sin 30°＝23aO 3E ＝AEtan 30°＝3aEG ＝r 3－O 3E ＝(23－3)a8.如图所示为某发电装置通道的结构示意图。