物理作业卷详细答案练习6

P1 0 ( r 1 1 ) E 1 1 . 416 10 P2 0 ( r 2 1 ) E 2 8 . 85 10
5
c/m
2
6
c/m
2
且： D E P 板面
U
A
UB 0

A B
(3)
' P n
Wi
2 2 1 1 2 ( 4r 2 ) 4r dr 8 R Q Q
We 0 (
r
1
1)
。
真空= 0，介质： = 0r
6. 一平行板电容器两极板间电压为U12，其间充满相对介电常数为r 的各向同性均匀电介质，电解质厚度为d，则电介质中的电场能量 密度=
r1
解： ⑴ 作半径为r的同心高斯球面 静电平衡的导体等势，则上下两部分电势 差也相等，均等于内外导体壳间的电势差UAB
R2
r
R1
Q
R2
Q


R1
E1 dl
R2

R1
E 2 dl


E1 E 2 记 E
D1 0 r 1 E D 2 0 r 2 E
0 SU
2x
2
dx

1 2
CU
n
2.平行板电容器的两极板面积为S=200cm2，板间距d=5.0mm。板 间充以 r1=5.0 和 r2=3.0 的两层均匀电介质，厚度分别为 d1=2.0mm 、d2=3.0mm 。若以3800V的电势差加在此电容器的两 极板上，求： ⑴板上的电荷面密度；(2) 介质内的电位移和场强； UB ⑵ 介质表面上的激化电荷密度 UA d1 d 2 1 2 解： ⑴ U E1d1 E2d 2
P cos( P, n )

左侧： 1 ' P1 cos 1 . 416 10
5
c/m
2
2
2 ' P2 cos 0 8 . 85 10
6
c/m
解法2：
Gause定理
3.球形电容器由半径为R1的导体球壳和半径为R2的同心导体球壳 构成，其间各充满一半相对介电常数分别为r1和 r2的各向同性均 匀介质（如图），当内球壳带电为-Q外球壳带电为+Q时，忽略边 缘效应。试求：⑴ 空间中电位移和场强分布；(2) 电容器的电容； (3) 电场能量
2 (C C )
1Q
2
1 ( 2Q )
2

10Q 4C
2

C 2 9Q
4C

We W2 W1
2 C'
5. 一个带电的金属球,当其周围是真空时,储存的静电能量为We0，使 其电量保持不变，把它浸没在相对介电常数为r的无限大各向同性 均匀电介质中，这时它的静电能量的增量We=
2
dr
Q
2 0 ( r 1 r 2 ) R 2
(
1

1 R1
)
Q U
AB

2 0 ( r 1 r 2 ) R 1 R 2 R 2 R1
或采用两电容器并联解
(3)
We
Q
2

Q ( R 2 R1 ) 4 0 ( r 1 r 2 ) R 1 R 2
r2
根据高斯定理：
r R1 :
q0 0

D E 0
R2

R1
E1 dl
R2

R1
E 2 dl

E1 E 2 记 E

D1 0 r 1 E
D 2 0 r 2 E
根据高斯定理：
r R1 : R1 r R 2 :
。

1 2
C
CU
Q
2
We
2
U不变
(a )
q不变
(b )
K

(b )
We

2C
4. 将带电量为Q电容为C的电容器A，与带电量为2Q电容也为C的电 容器B并联后，系统电场能量的增量We=
W1 W A W B
W2 1 Q'
2
Q
2
4C
。

2 C 2 2 1 ( 2Q Q )
且： D E r

r R2 :
R2
D1
D2
r 2Q 2 ( r 1 r 2 ) r
2
q0 0
E dl
R2
D E 0
(2) U AB
C


R1

R1
Q 2 0 ( r 1 r 2 ) r
q0 0
D1 2 r
2

D E 0
2
D 2 2 r
Q

( r 1 r 2 ) 0 E 2 r
2
Q

E
Q 2 0 ( r 1 r 2 ) r r 1Q 2 ( r 1 r 2 ) r

2 2
0 r 1 0 r 2
S
E1
E2 D2

U
1
0 r1
(
d1

5
d2
r2
) 1.77 10 E2
5
c/m
2
D1
d1
d2
(2)
E1
0 r 1
4 10 V/m
0 r 2
1 10 V/m
6
D1 0 r E 1 D 2
We=
E dV
V
1
2
1 2
2
E (
R1
2
R2

2 0 r
) 2 rdr
2

2
4 0 r
ln
R2 R1
。
3. 用力F把电容器中的电介质板拉出，在图(a)和图(b)的两种情况下， 电容器中储存的静电能量将(a) 减少 ； (b) 增加
F F
C r C0

(a )
2 1 E 2
1 0 r (
2
U12 2 ) d
E 。 U12 d
三、计算题： 1. 用输出电压为U的稳压电源为一电容为C 的空气平板电容 器充电。在电源保持连接的情况下，求把两个极板间的距 离增大至n 倍时，外力所作的功。 解：
C C '
0S
d

q CU q ' C 'U
0S
nd
CU n

q n
方法Ⅰ： 带电系统功能原理。
A外 A电源 W e
其中：电源做功

1 2
C 'U
2

1 2
CU
2
A电源 q U
( q ' q )U
C
0S
d
C '
C n 1 2 ( C ' C )U
2
q CU
q' 1 2 CU
q n

A外 W e A电源
二、填空题： 1. C1和C2两空气电容器并联起来接上 电源充电，然后将电源断开， 再把一电介质板插入C1 中，则C1极板上电量 增大 ，C2极板上电
q 量 减小 。 q1 q2 q1' q2 '
C1 ' C2

U1 U 2 U
q1 '
U1 ' U 2 ' U '

q2 ' q2

q1 ' q1
2. 半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为
r的均匀介质，设两筒上单位长度带电量分别为+和-，则介质中 的电位移矢量大小D= /2 r ；电场强度的大小E= /20r ；单位长度的电容C= 20r /ln(R2/R1) ；电场能量
( q ' q )U
2 n1
n
方法Ⅱ： 积分法。
电源连接则电压不变。 建立图示坐标系。
q CU

0S
x
U

1
2
o
x
x

板 2 受板 1的作用力：
F qE
q
2
2 0 S
2

0 SU
2x
2
2

d A外 F d x

0 SU
2x
2
dx
2
2 n1

A外 d A外 nd d
2
2C
工科大学物理练习
之
六
一、选择题： U1+U2不变 1.C1和C2两空气电容器串联起来接上 电源充电，保持电源联接，再 把一电介质板插入C1 中，则： (A) C1 上电势差减小，C2 上电量增大
U1 ' U1
r
,
U U1 U 2 U 2 ,
C2
Q2 U2
Q2
C2 2.一个带电量q、半径为R的金属球壳，壳内是真空， C1 壳外是介电常数为 的无限大各向同性均匀电介质， 则此球壳的电势U= (A) q /4R 3.真空中有一均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和 所带电量都相等，则它们的静电能之间的关系是：
q1 ' U' q2 U
r C1 r

q1 U

r q1
q2 ' q2

U' U
q1 ' q2 '

r q1
q2
C2
C1
q2 ' U'
q2 r q1 q2
q q2 '

U' U
q1 ' q2 ' q2 '
q ( r 1)q1 q2
(B) 球体的静电能大于球面的静电能 球体：
r R, r R , E Qr 4 0 R Q 4 0 r
2 3
球面：
We
r R , r R,
E0 E Q 4 0 r
2
b
E
2 E dV V
1
2
4.一球形导体，带电量q，置于一任意形状的空腔导体中，当用导线 将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能将：(C) 减小