1.1.1 正弦定理1

无解 若A为直角或钝角时: a b a b 一解锐角
判断满足下列的三角形的个数: 两解 (1)b=11, a=20, B=30o 一解 (2)c=54, b=39, C=120o 两解 (3)b=26, c=15, C=30o
(4)a=2,b=6,A=30o 无解
通过本节学习,我们一起研究了正弦 定理的证明方法,同时了解了向量的工具 性作用,并且明确了利用正弦定理所能解 决的两类有关三角形问题:已知两角一边; 已知两边和其中一边的对角.
两角和任意一边,求其他两边和一角 两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而
可求其他的边和角

1:已知在 ABC 中, 求 a, b 和 B
c 10, A 45, C 30
,
点评:正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边 和一角的问题.
例2:已知在 ABC 中, b
C A
C
j
(2)钝角三角形
A
j
C
j
如图:
C C 1
c c 2R 1 sin C sin C
B a c A O C
b
C1
b a 同理： 2 R， 2R sin B sin A
a b c 即得： 2 RR为外接圆半径 sin A sin B sin C

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即
直角三角形中:
a b sin A , sin B , sin C 1 c c
A
a b c 即c ,c ,c sin A sin B sin C
b
c
a b c sin A sin B sin C
C 斜三角形中这一关系式是否仍成立呢?
a
B
(1)锐角三角形
B
B
j
A
B
a b c 2 RR为外接圆半径 sin A sin B sin C
变式:

1
a b b c c a ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin来自百度文库B : sin C a : b : c
从理论上,正弦定理可解决两类问题:
3, B 60, c 1 ,
求 a 和 A, C
点评:正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求 其他边和角的问题.
若A为锐角时:
无解 a b sin A a b sin A 一解直角 b sin A a b 二解一锐、一钝 ab 一解锐角