计算方法练习题及答案汇总(共八套)

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有 4 位有效数
字的近似值。
3. 用牛顿切线法求 5 的近似值。取 x0 2 , 计算三次，保留三位小数。
4. 用割线法求方程 x3 3x 1 0 的在 x0 1.5 附近的一个根，精确到小数点
后第二位。
四*、证明题
已知方程 f (x) 0 ，试导出求根公式
xk 1
xk
2[
f
2 f ( xk ( xk )]2
) f (xk ) f ( xk )
f
( xk )
并证明：当 x* 是方程 f (x) 0 的单根时，公式是 3 阶收敛的。
练习题四
一、是非题
3 1 1
A 2 5 3
1．矩阵 1 2 5 具有严格对角优势。
()
3 1 1
A 1 5 3
为
，相对误差限为
；
3. 误差的来源是
；
4. 截断误差为
；
5. 设计算法应遵循的原则是
。
三、选择题
1． x* –0.026900 作为 x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。
(A) 7；
(B) 3；
(C) 不能确定
(D) 5.
2．舍入误差是( )产生的误差。
(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值
练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案
练习题与答案
练习题一
一、是非题
1. x* –12.0326 作为 x 的近似值一定具有 6 位有效数字，且其误差限
1 104
2
。
2. 对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
() ()
3. 一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
2． 1 2 5 是弱对角优势矩阵。
()
3．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。 ( )
4．|| M || 1 是迭代格式 x(k1) Mx(k) f 收敛的必要条件。 ( )
5*. 逐次超松弛迭代法是高斯—赛德尔迭代法的一种加速方法。 ( )
二、填空题
3x1 5x2 1
1.
解方程组
5．1.41300 作为 2 的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题
22 1． 3.142，3.141， 7 分别作为 的近似值，各有几位有效数字？
2． 设计算球体积允许的相对误差限为 1%，问测量球直径的相对误差限最大为 多少？
3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：
1 1 x
x1 1
,
(1) 1 2x 1 x
| x |1 ， (2) x
1 t2 dt
| x |1
(3) ex 1, | x | 1，
(4) ln( x2 1 x) x 1
1 4．真空中自由落体运动距离 s 与时间 t 的关系式是 s= 2 gt2，g 为重力加速度。 现设 g 是精确的，而对 t 有 0.1 秒的测量误差，证明：当 t 增加时，距离的绝 对误差增加，而相对误差却减少。
2. 求方程 x3 x2 1 0 在 x0 1.5 附近的一个根，将方程改写为下列等价形 式，并建立相应迭代公式。
(1)
x
1
1 x2
xk 1 ，迭代公式
1
1 xk2
；
1
(2)
x3 1 x2 ，迭代公式 xk1
1 xk2
3
；
x2 1
xk1
(3)
x 1 ，迭代公式
1 xk 1 ；
5*. 采用迭代法计算 7 ，取
x0
2
xk
1
1 2
( xk
7 xk
)
k=0,1,…,
若 xk 是 7 的具有 n 位有效数字的近似值，求证 xk1 是 7 的具有 2n 位有 效数字的近似值。
练习题二
一、是非题 1. 单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 2. 牛顿法是二阶收敛的。 3. 求方程 x3 x 1 0 在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。 4. 迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。
()
1 x2 4. 用 2 近似表示 cosx 产生舍入误差。
()
5. 3.14 和 3.142 作为 的近似值有效数字位数相同。
()
二、填空题
1.
y 12 为了使计算
x
3
1
x
4
12
x
9
13
的乘除法次数尽量少，应将该
表达式改写为
；
2. x* –0.003457 是 x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限
() () () ()
5. 求非线性方程 f (x)=0 根的方法均是单步法。
()
二、填空题
1. 1. 用二分法求非线性方程 f (x)=0 在区间(a,b)内的根时，二分 n 次后的误差
限为
；
1. 2. 设 f (x) 可微,求方程 x f (x) 的牛顿迭代格式是
；
2. 3. 用二分法求方程 x3 x 1 0 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间
x1
2x2
0
的雅可比迭代格式（分量形式）为
， 该迭代矩阵的谱半径 (B1) ；
2. 解 方 程 组 3x1x125xx2 201 的 高 斯 — 赛 德 尔 迭 代 格 式 （ 分 量 形 式 ）
为
，迭代矩阵 B2
， 该迭代矩阵
的谱半径 (B2 ) ； 3. 幂法的迭代公式为 4*．QR 算法是用来求 5*．雅可比方法是用来求
为 ，要求准确到103 ，则至少应二分 次；
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3. 4. (x) x (x2 5) ，要使迭代格式 xk1 (xk ) 局部收敛到 x* 5 ，则
的取值范围是
；
4. 5. 求方程 x3 x 4 0 根的单点割线法是
双点割线法是
，其收敛阶为 。
，其收敛阶为 ；
三、计算题 1. 用二分法求方程 x2 x 1 0 的正根，使误差小于 0.05。
方法。
； 矩阵的全部特征值的一种方法。 矩阵的全部特征值及特征向量的一种变换
三、选择题
1. 解方程组 Ax b 的迭代格式 x(k1) Mx(k) f 收敛的充要条件是( )
（A）|| A || 1 ；
(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值
3．用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是( )误差。
(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入
1 4．用 s*= 2 gt2 表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，st 是在
时间 t 内的实际距离，则 st s*是（ ）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断