第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。
例1、柱面的准线方程为
x2 y 2 z 2 1 2x2 2 y 2 z 2 2
而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。
例2 已知圆柱面的轴为
x y 1 z 1 1 2 2 点 M（1 1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面 的方程
例1: 已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z2 = 1
和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.
解: 联立两个方程消去 z ,得
2x2 4( y1)2 1 2
这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的 交线C在xOy面上的投影曲线方程为
的平面.
z
o
y
xy = 0
x
3、 母线平行于坐标轴的柱面方程.
一般地,在三维空间
z
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
解析几何的基本思想是用代数的方法来研 究解决几何问题，其主要内容可示意如下：
点 轨迹
第一章 第二章
坐标 方程
曲曲 面线
平面与直线 一般曲面 一般曲线
第三章 第四章 第五章
普参 通数
方程与关系 常见曲面和二次曲面 二次曲线的一般理论
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
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第一节 柱面
目标：通过本节的学习，了解柱面的有 关概念，掌握柱面方程的求法.
空间曲线在坐标面上投影
重点难点：柱面方程的求法.
空间曲线在坐标面上投影
一. 概念
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
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建立曲面方程的两种方法: 一是看成点的轨迹， 二是看成曲线产生的。
1、已知柱面的准线为：(x 1)2 ( y 3)2 (z 2)2 25 x y z 2 0
x 且（1）母线平行于 轴；（2）母线平行于直线
x y, z c ，试求这些柱面的方程。
2 x 2 4 ( y 1 ) 2 1
2
z 0
例2: 设一个立体由上半球面 z 4 x 2 y 2 和锥面
z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求它在xoy面上的投影.
z
解: 半球面与锥面的交线为
C
:
z
z
4x2 y2 3( x 2 y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1
O y
x x2 + y2 1
这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为
x2 + y2 = 1 z=0
这是xoy面上的一个圆.
所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
一 作业: 第145页1,2题; 二 论文 三 预习 类比法
FF12((xx,,
y, y,
z) z)
0 0
(1)
母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线
上一点，则过点M1的母线方程为
且有
x x1 y y1 z z1 (2)
Xபைடு நூலகம்
Y
Z
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0
(3)
从（2）（3）中消去x1,y1,z1得 F(x,y,z)=0
( x z)2 ( y z)2 1为柱面方程。
三. 特殊柱面(母线平行于坐标轴)
例1: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x, 该柱面叫做抛物柱面.
z
y
y2 =2x
o
x
例2: 方程 xy = 0表示. 母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的直线xy = 0, 所以它是过z轴
例3 柱面的准线是xoy平面的圆周(中心在原点，半径 为1),母线平行于直线l：x y z,求此柱面方程。
解：设M( x, y, z)为柱面上任意一点
沿母线, M对应准线上一点 M0 ( x0 , y0 ,0) M
则M0M // l
M0
x x0 y y0 z
1
11
x0 x z, y0 y z
1. 椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
2. 双曲柱面
x2 y2 a2 b2 1
z
o
y
O
y
x
x
四、空间曲线在坐标面上投影
设空间曲线C的一般方程
F (x, y, z) = 0
G (x, y, z) = 0
(3)
由方程组(3)消去z后得方程
H (x, y) = 0
(4)
方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线C 一定在曲面上.
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点或曲线的轨迹时，求曲面方程． （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
知识结构:
图形 → 方程
柱面
锥面
旋转曲面
方程 → 图形
椭球面 双曲面 抛物面
→曲面直纹性.
根据图形的几何特征建立它们的方程， 和从方程出发讨论它们的图形的几何特性， 是学习本课程所应掌握的基本技能．
3、求过三条平行直线
x y z, x 1 y z 1, 与x 1 y 1 z 2
的圆柱面方程。
4、已知柱面的准线为 (u) x(u), y(u), z(u)
母线的方向平行于矢量 S X,Y, Z
试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数 方程分别为：
x Y(u) vS
与
x x(u) Xv
x l1
y z l2
y
x z l3
母线 平行于 y 轴;
x
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
例3、下列方程各表示什么曲面？
(1)
x2 a2
y2 b2
1
（母线平行于z轴的椭圆柱面）
(2) y2 z2 4
（母线平行于x轴的双曲柱面）
(3) x2 2x z 0（母线平行于y轴的抛物柱面）
注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。
这条定曲线叫柱
面的准线，那族
母线
平行直线中的每
一直线，都叫做
叫柱面的母线.
观察柱面的形
准
成过程:
线
注
显然，柱面被它的准线和直母线方向完全确 定．但是对于一个柱面，它的准线并不是唯一的．
例如，任何—个与直母线不平行曲平面和柱面 的交线部可以作为它的准线．
准线不一定是平面曲线．
二. 求柱面方程
设柱面的准线为
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y2 R2 表示圆柱面
定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与 一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面 叫做柱面.
以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面) 的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱 面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影 曲线, 或简称投影.
所以方程 H (x, y) = 0 所表示的曲线必定包含 z=0
了空间曲线C在xOy面上的投影.
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线 方程.
y
y(u) Yv
z z(u) Zv
式中的 u, v 为参数。
❖ 1. 缺某一坐标变元的方程表示 ❖ 的曲面为柱面。 ❖ 2. 《柱面方程的特点》