一元二次方程、二次函数知识点总结

一元二次方程重要知识点

1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2

≠++=a c bx ax y

（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）

的方程，叫做一元二次方程。

（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为

一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法

（1）配方法：将方程整理成(x+p)2=q ，方程的根是x=-p ±q

注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。

（2）公式法：x =（240b ac -≥） （3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别（2

4b ac ?=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根 （2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根

（3）△＜0，方程没有实数根，方程无解

4.韦达定理（根与系数关系）一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a

-； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用

①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；

②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；

③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解；

⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程

二次函数重要知识点

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，

）的函数，叫做二次函数。 注意 ：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．

2. 平移规律：

（1）将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； （2）左加右减（h ）：x 值的变化，上加下减(k)：y 值的变化

3.二次函数2y ax bx c =++图象的画法

绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向(a)、对称轴(h)及顶点坐标(k)，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的

五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，

4.二次函数2y ax bx c =++的性质

(1)当时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a

=-时，y 有最小值2

44ac b a

-． (2) 当时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-

时，y 随x 的增大而减小；当2b x a

=-时，y 有最大值2

44ac b a

-． 5.二次函数解析式求法 (1)一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，）；需要三个坐标点

(2) 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，）；顶点坐标和其他任一坐标

6.二次函数的图象与各项系数之间的关系

(1)a ：抛物线开口的方向（a 的正负）与大小（|a|）

(2)b:在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴(2b x a

=-)的位置(正负).对称轴在y 轴右侧，a 、b 符号相反；对称轴在y 轴左侧，a,b 符号相同。

(3)c:抛物线与y 轴交点的纵坐标

7、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值时的特殊情况

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点

② 当时，图象与x 轴只有一个交点；

③ 当时，图象与x 轴没有交点.

8、二次函数与应用题（与二次函数性质联系）

（1）求最值问题（利润、面积等问题）

（2）实际问题建坐标系（车过隧道、桥下水位等问题）