《特征值与特征向量》习题

《..－特征值与特征向量》习题
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《３.1.１ 特征值与特征向量》习题 2
错误! １．求矩阵 M＝
的特征值和特征向量．
错误! ２. 已知矩阵 M＝
的一个特征值为３，求另一个特征值及其对应的一个特征
(1)求证 M 和Ｎ互为逆矩阵;
(2)求证 α1 和 α２都是矩阵Ｍ的特征向量.
错误! 错误! １０．给定矩阵 M＝
及向量 α＝
．
(1)求矩阵 M 的特征值及与其对应的特征向量 α１,α２; (2)确定实数 a,b,使向量 α 可以表示为 α=aα1＋bα2; (3)利用(2）中的表达式计算Ｍ3α，Ｍnα; (４)从(3）中的运算结果，你能发现什么？
来的 2 倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转 90°．
(1)求矩阵Ａ及 A 的逆矩阵 B;
错误! （2)已知矩阵 M＝
，求 M 的特征值和特征向量；
错误! （3)若 α＝
在矩阵Ｂ的作用下变换为 β，求Ｍ50β.(结果用指数式表示）
错误! 8． 已知二阶矩阵 M 的一个特征值 λ＝8 及与其对应的一个特征向量 α1＝
错误! 设 λ2=－1 对应的一个特征向量为 α=
，
则由错误!得 x＝－y
令 x＝1,则 y=－１.
错误! 所以矩阵 M 的另一个特征值为－1,对应的一个特征向量为 α=
.
错误! 错误! 错误! ３. 【解】 （1）因为 2α＋3β=2
＋3
＝
,所以Ｍ(2α+3β)=
错误!错误! 错误! ＝
，所以向量 2α+3β 在矩阵Ｍ表示的变换作用下的象为
由错误!错误!＝错误!,
错误! 得 M 属于 1 的特征向量为 α1=
；
当 λ２=6 时,由错误!错误!＝６错误!，
错误! 得 M 属于６的特征向量为 α2=
.
（3)由 Bα=β,
得 β=错误!错误!=错误!，
设错误!＝mα1＋nα2=ｍ错误!＋n错误!
=错误!，
则由错误!
解得错误!
所以 β＝-α1+2α2． 所以 M50β＝M50（－α1+2α２） =-M50α１+2M5０α2
，
可知错误!错误!＝错误!,所以 3c－2d=-２.②
联立①②可得错误!
解得错误!
错误! 错误! 即 A=
,A 的逆矩阵 A－１＝
.
7．【解】 (1)A＝错误!错误!＝错误!；
错误! B=A-1＝
.
(２)设 M 的特征值为 λ，
错误! 则由条件得
＝0,
即(λ－３)(λ-4)－６＝λ２－7λ＋6=0. 解得 λ１=１,λ２=6. 当 λ1=１时,
错误!．
错误! 错误!错误! (2)向量 γ＝
不是矩阵 M 的特征向量.理由如下：Mγ＝
=
错误!,向量错误!与向量
错误! γ=
不共线,所以向量
γ＝错误!不是矩阵
M
的特征向量．
错误! ４． 【解】 矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=
＝λ2－５λ+6=0,
解得 λ１＝2,λ2＝3.
错误! 当 λ1＝２时,得 α1=
向量.
3. 已知矩阵 M＝错误!，向量 α＝错误!,β=错误!.
(1)求向量 2α＋3β 在矩阵Ｍ表示的变换作用下的象；
错误! (2）向量 γ=
是矩阵 M 的特征向量吗?为什么?
错误! 错误! 4. 已知矩阵 A＝
，设向量 β=
，试计算Ａ5β 的值．
错误! ５． 已知矩阵 A=
，其中 a∈R，若点 P(1，1)在矩阵Ａ的变换下得到点 P′(０,-
参考答案
1.【解】 矩阵 M 的特征多项式
错误! f(λ)＝
=（λ+１)(λ－６).
错误! 令 f(λ）＝0,解得矩阵 M 的特征值 λ1＝-１,λ2＝6.将 λ1＝-１代入方程组
错误! 错误! 易求得
为属于 λ1＝-1 的一个特征向量.将 λ2=6 代入方程组
易求得
错误! 错误! 为属于 λ2＝6 的一个特征向量．综上所述，M＝
的特征值为 λ1＝-1，λ2=6，
错误! 错误! 属于 λ1=-１的一个特征向量为
，属于 λ2＝６的一个特征向量为
.
２.【解】 矩阵 M 的特征多项式为
错误! f(λ)=
=(λ-1)(λ-ｘ)－4
因为 λ1＝３为方程 f(λ)=0 的一根,所以 x=1 由（λ－1)(λ－１）-4=０得 λ２＝-１，
是矩阵 A 的属于特征值 λ2＝3 的一个特征向量．∴矩阵Ａ的特征值
为 λ１＝-1,λ2＝3，
错误! 错误! 属于特征值 λ1=－1，λ2=3 的特征向量分别为 Nhomakorabea,
.
错误! 错误! ６． 【解】 由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量 α1=
,可知
错误!=6错误!，所以 c＋d=6，①
错误! 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量 α2＝
，
并且矩阵 M 对应的变换将点(－１,2)变换成(－2,４）． (1）求矩阵Ｍ; (2)求矩阵 M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量 α２的坐标之间的关系; (3）求直线 l：ｘ－y＋1＝０在矩阵 M 的作用下的直线 l′的方程．
9. 给定矩阵 M＝错误!,Ｎ=错误!及向量 α1=错误!,α2=错误!.
３)
（１)求实数 a 的值；
(２）求矩阵Ａ的特征值及特征向量.
错误! 错误! 6. 已知矩阵 A＝
,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量 α１＝
,
错误! 属于特征值 1 的一个特征向量 α2＝
，求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵.
7. 已知矩阵 A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原
；
当 λ2＝3 时，
得 α2＝错误!,
由 β＝ｍα1＋nα2,
得错误!,
得 m=3,n＝1， ∴Ａ5β＝A５(3α1+α2) ＝3(Ａ５α１）＋Ａ５α2
＝3（λ错误!α1)+λ错误!α２
=3×25错误!+35错误!＝错误!.
5．【解】 （１）∵错误!错误!＝错误!，
∴错误!＝错误!,
∴a=－４.
(2)∵A=错误!，
错误! ∴ｆ(λ）＝
＝λ2-2λ-３.
令 f(λ)＝0，得 λ1=－１,λ2＝３，
错误! 错误! 对于特征值 λ1＝－１，解相应的线性方程组
得一个非零解
，
错误! 因此 α１＝
是矩阵 A 的属于特征值 λ1=-1 的一个特征向量．
错误! 错误! 对于特征值 λ２＝3,解相应的线性方程组
得一个非零解
,
错误! 因此 α2＝