二次函数知识点总结大全

二次函数

1.二次函数的定义：

形如

(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的函数为二次函数

.

2、二次函数的解析式三种形式

一般式y=ax 2

+bx+c(a ≠0)

顶点式2

()

y a x h k 2

2

4()

24b ac b

y a x

a

a

两根式

12()()

y a x

x x x 3、二次函数

的性质：

对称轴：

2b x

a

顶点坐标：2

4(,)

24b ac b

a a 与y 轴交点坐标（0，c ）增减性：当a>0时，对称轴左边，

y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大当a<0时，对称轴左边，

y 随x 增大而增大；对称轴右边，

y 随x 增大而减小

(1)二次函数y=ax 2

(a ≠0)的图象是一条抛物线，

其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当

a ＜0时，抛物线开

口向下，顶点是最高点；(2)二次函数

当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞-，y 随x 的增大而增大，x ＜-，

y 随x 的增大而减小；当

a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点

(3)当a ＞0时，当时，函数有最小值；当a ＜0时，当时，函数有最大值

.

4.二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的各项系数a 、b 、c 对其图象的影响

(1) a 决定抛物线的开口方向和开口大小：

a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下. |a|的越大，开口越小

.

(2) a 与b 决定抛物线对称轴的位置：a 、b 同号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y 轴左侧；

a 、

b 异号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y 轴右侧；(左同右异)；

b=0时，抛物线的对称轴是

y 轴.

y

x

O

(3) c决定抛物线与y轴交点(0，c)的位置：c＞0，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0，抛物线与y轴交于负

半轴；c=0，抛物线与y轴交点是坐标原点. c相同的抛物线都过点(0，c).这些内容应该能够由数得

形、依形判数.

5.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。

抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0

24

b ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

24

b ac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

24

b ac<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点

6、图象的平移

（1）配方2

y a x h k，确定顶点（h,k）

()

（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减

7、二次函数图像画法：

勾画草图关键点：○1开口方向○2对称轴○3顶点○4与x轴交点○5与y轴交点

【典型例题】

一、选择题（每题5分，共30分）

1．二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点( )

A.(-1,-1)

B.(1,-1)

C.(-1,1)

D.(1,1)

不过第三象限,则抛物线y=ax2+bx的顶点所在的象限是( )

2．若直线y=ax+b(ab≠0)

A.一

B.二

C.三

D.四

3．函数y=ax2+bx+c中,若ac<0,则它的图象与x轴的位置关系为( )

A.无交点

B.有1个交点;

C.有两个交点

D.不确定

4．抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),它的关系式为( )

A.y=2x2-2x-4;

B.y=-2x2+2x-4;

C.y=x2+x-2;

D.y=2x2+2x-4

二次函数的概念

例1（基础）.二次函数2

y x x的图像的顶点坐标是（）

365

A．（-1，8） B.（1，8）C（-1，2）D（1，-4）

例2.下列命题中正确的是

○1若b2－4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3

○2若b2－4ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。

○3当c=－5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。

○4若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。

○5若抛物线y=ax 2

+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC =6，则抛物线解析式为

y=x 2

－

5x+4。○6若抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2

+bx+c=0有两个不相等的实数根。

○

7若抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程

ax 2

+bx+c=0必有一根为0。

○

8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）必过一定点。（提醒：将x=1和x=-1代入）○

10若一元二次方程ax 2

+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数

y=cx 2

+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。

○11若b=0，则抛物线y=ax 2

+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。二次函数的性质例 3 若二次函数2

4y ax

bx 的图像开口向上，与

x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴

为直线x=1，此时12

1,2x x 时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（

）

A ．y 1

B. y 1 =y 2

C. y 1 >y 2

D.不确定

二次函数图像性质（共存问题、符号问题）

例5、函数y=ax ＋1与y=ax 2

＋bx ＋1（a ≠０）的图象可能是（

）

例6 已知=次函数y ＝ax 2

+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，中，其值大于0的个数为（

）

A ．2

B 3

C 、0

D 、1

填空题

1．若抛物线y=x 2

+(m-1)x+(m+3)顶点在y 轴上,则m=_______. 2．把抛物线y=

12

x

2

向左平移三个单位, 再向下平移两个单位所得的关系式为________.

3．抛物线y=ax 2

+12x-19顶点横坐标是3,则a=____________.

4．若y=(a-1)231

a x

是关于x 的二次函数,则a=____________.

5．二次函数y=mx 2

-3x+2m-m2的图象经过点(-1,-1),则m=_________. 6．已知点(2,5),(4,5)是抛物线y=ax 2

+bx+c 上的两点, 则这条抛物线的对称轴是

______.

A ．

B ．

C ．

D ．

1

1

1

1

x

o

y

y

o

x

y

o

x

x

o

y