控制系统的超前校正设计
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控制系统的超前校正设计
1 设计原理
本设计使用频域法确定超前校正参数。
首先根据给定的稳态性能指标,确定系统的开环增益K 。因为超前校正不改变系统的稳态指标,所以,第一步仍然是调整放大器,使系统满足稳态性能指标。
再利用上一步求得的K ,绘制未校正前系统的伯德图。
在伯德图上量取未校正系统的相位裕度和幅值裕度,并计算为使相位裕度达到给定指标所需补偿角的超前相角εγγσϕ+-=0。其中γ为给定的相位裕度指标;0γ为未校正系
统的相位裕度;ε为附加角度。(加ε的原因:超前校正使系统的截止频率c ω增大,未校正
系统的相角一般是较大的负相角,为补偿这里增加的负相角,再加一个正相角ε,即
|
)()(||)()(|0''0c c c c j H j G j H j G ωωωωε∠-∠≥ 其中,c 'ω为校正后的截止频率。当系统剪切率对应的ε取值为:当剪切率为-20dB 时,
deg 10~5=ε,剪切率为-40dB 时,deg 15~10=ε,剪切率为-60dB 时,deg 20~15=ε。)
取σϕϕ=m ,并由m m a ϕϕsin 1sin 1-+=求出a 。即所需补偿的相角由超前校正装置来提供。
为使超前校正装置的最大超前相角出现在校正后系统的截止频率c 'ω上,即
c m 'ωω=,
取未校正系统幅值为)(lg 10dB a -时的频率作为校正后系统的截止频率c 'ω。 由T a m 1
=ω计算参数T ,并写出超前校正的传递函数Ts aTs
s G c ++=11)(。
校验指标,绘制系统校正后的伯德图,检验是否满足给定的性能指标。当系统仍不满足要求时,则增大ε值,从ε取值再次调试计算。
2 控制系统的超前校正
2.1 初始状态的分析
由已知条件,首先根据初始条件调整开环增益。根据:
)3.01)(1.01()(s s s K s G ++=
要求系统的静态速度误差系数6≤v K ,
K s s K S sG k s v =++=
=→)3.01)(1.01()(lim 0
可得K=6,则待校正的系统开环函数为
)
3.01)(1.01(6)(s s s s G ++= 上式为最小相位系统,其MATLAB 伯德图如图1所示。
程序:
G=tf(6,[0.03 0.4 1 0]);[kg,r]=margin(G)
G=tf(6,[0.03 0.4 1 0]);margin(G)
图1 系统校正前的伯德图
频率的相对稳定性即稳定裕度也影响系统时域响应的性能,稳定裕度常用相角裕度γ和幅值裕度h 来度量。由图1可得:
截止频率
sec /74.3rad c =ω 穿越频率 sec /77.5rad x =ω
相角裕度 deg 2.21=Pm
幅值裕度 dB h 4.96=
显然deg 45≤γ,需要进行超前校正。
用MATLAB 画出其校正前的根轨迹,如图2所示。
其程序:
num=[6]; %描述系统分子多项式
den=[0.03,0.4,1,0];
%描述系统分母多项式 rlocus(num,den);
%计算出系统根轨迹
图2 系统校正前的根轨迹
2.2 超前校正分析及计算
2.2.1 使用频域法确定超前环节函数
利用超前网络的相位超前特性,正确的将超前网络的交接频率1/aT 和1/T 选在待校正系统截止频率的两旁,并选择适当参数a 和T ,就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求。
计算为使相位裕度达到给定指标所需补偿的超前相角
εγγσϕ+-=0
取|)()(||)()(|0''0c c c c j H j G j H j G ωωωωε∠-∠≥,由未校正系统的伯德图可知当前未校正系统的剪切率为-40dB ,可取deg 15~10=ε,其中:
deg 45=γ deg 2.210=γ deg 10=ε
deg 8.33=σϕ
取deg 8.33==σϕϕm
并由m
m a ϕϕsin 1sin 1-+= 求出 51.3=a 作45.551.3lg 10-=-dB 直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于sec /28.5rad =ω ,如图3所示。
图3 deg 10=ε时的ω取值
取sec /28.5'rad m c ==ωω
由T a m 1=
ω,得101.0=T
因此超前传递函数为
s s s G c 101.01354.01)(51.3++= 为了补偿无源超前网络产生的增益衰减,放大器的增益需提高3.51倍,否则不能保证稳态误差要求。
超前网络参数确定后,已校正系统的开环传递函数为
)
101.01)(3.01)(1.01()354.01(6)()(s s s s s s G s G c ++++= 因此,已系统校正后程序及伯德图如图4所示。
num=[2.134,6]; %描述开环系统传递函数的分子多项式 den=[0.00303,0.0704,0.501,1,0]; %描述开环系统传递函数的分母多项式
margin(num,den); %画出伯德图
title('校正后的系统伯德图'); %标题
[kg,r,wg,wc]=margin(num,den) %求出各个参数
图4 deg 10=ε时校正后的伯德图
kg =3.1130
r =38.0727
wg =10.4196
wc =5.3069
可见deg 45deg 07.38<=γ,因此不满足要求,说明σϕ还不够大。试取deg 15=ε
εγγσϕ+-=0
其中
deg 45=γ deg 2.210=γ deg 15=ε
deg 8.38=σϕ
取deg 8.38==σϕϕm
并由m
m a ϕϕsin 1sin 1-+= 求出 35.4=a 作39.635.4lg 10-=-dB 直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于sec /59.5rad =ω,如图5所示,取:
sec
/59.5'rad m c ==ωω
由T a m 1=
ω,得085.0=T
因此超前传递函数为
图5 deg 15=ε时ω的取值