清华大学电力系统不确定性分析-----05蒙特卡罗模拟法_108801540

9
蒙特卡洛法的一般性原理
确定性问题
y
1
在正方形 0 x 1 ， 0 y 1 中随机地均匀地 投掷一点(ξ,η)，试求该点落在曲线 y f ( x) 下的
y=f(x)
概率 p。用 S 表示曲线 y f ( x) 下的区域；设ξ和η
S
相互独立，在[0,1]上满足均匀分布。于是有


u1 1 2 n2 exp n12 n2 n2 2 u2 1 n 2 1 2 n2 2 n1 n2


g n1 , n2 J
n12 exp 2 2 1
21
2 1 n2 2 exp 2
0.06 0.05
500000
0.04 0.03 0.02 0.01
1000000
1500000
2000000

> >

0 10000
30000
16
50000
70000
90000
蒙特卡洛法的基本特点
优点： ① 收敛速度与问题的维数无关 ② 受问题的几何条件影响不大 ③ 具有处理连续问题的能力 ④ 具有直接处理随机性问题的能力 缺点： a) 对于维数少的问题，一般是一维和二维问题，其 收敛速度慢 ，效率不及其它方法 b) 大的几何系统问题和小概率计算问题的求解偏差 c) 误差是概率误差而不是一般意义下的误差
0.00021
13787 33840 34366 20503 8164 2429 544
101
458166.0 699144.9 506523.4 236566.1 76105.1 18995.7 3744.1
587.0
0.22908 0.34957 0.25326 0.11828 0.03805 0.00950 0.00187
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蒙特卡洛法的收敛性
根据概率论中的强大数定理， 蒙特卡罗法的估计值 GN 依概率 1 收敛于 G，即 GN 满足 P lim G N G 1 的充要条件是随机变
N


量 g(X)满足条件 E g 还满足条件 E g
r
g ( x) f ( x)dx 。若随机变量 g(X)

舍选抽样方法
根据满足一定的检验条件进行舍选，以得到所需随机 变量的抽样值
设随机变量 η的密度函数 f x 可以表示 为 f x L

h x

g x, y dy
产生随机数（x，y）
其中 g x, y 是随机变量 X , Y 的联合密 度函数， h x 在 Y 的定义域上取常值，L 为一常量。则随机变量η的抽样过程为：
联合分布密度函数满足：
U 1 h1 X , Y U 2 h2 X , Y
u1 x J u2 x u1 y u2 y
g x, y f u1 , u 2 J
1,0 u1 1,0 u 2 1 f u1 , u 2 0, 其它 g x, y J
G g ( x) f ( x)dx
另一方面，如果该运动员进行了实弹射击，弹着点依次为 x1，x2，……，xN， 则平均分为
1 N G N g ( xi ) N i 1
显然， GN 是 G 的一个估计。蒙特卡罗法计算射击成绩 G（实际上是计算积分） ，正 是用 GN 作为 G 的一个估计。所不同的只是，蒙特卡罗法不是真的进行实弹射击， 而是在计算机上模拟实弹射击，亦即由分布 I(I)中抽样产生 x1，x2，……，xN。
名称起源：蒙特卡洛是摩纳哥的一个著名 “赌城”——博弈，统计试验法 威勒蒙和冯纽曼在20世纪40年代中为研制 核武器而首先提出来的 计算机的出现和高速发展为蒙特卡洛法的 应用提供了可能性
2
解析法和蒙特卡洛法的对比 （IEEE-RTS79系统）
故障 重数 模拟500000小时 状态数 持续时间(h) 概率 状态数 模拟2000000小时 持续时间(h) 概率 状态数 解析法 概率
状态数 概率
5
6
7
8
9
状态数 概率 0.069149334 1 2
4
3
4
5
蒙特卡洛法的基本思想
随机抽样技巧或统计试验方法
对解析法不能解决的复杂问题的一种可行方法
计算机模拟代替真实物理实验
成本昂贵、高危实验：核试验、大型武器实验、 航空航天器实验 不具备实际可操作性的实验：利用蒲丰氏投针 实验来求取圆周率的值（蒲丰氏问题）
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例题——利用变换方法生成标准 正态分布的随机变量
设对随机数 U1，U2 做下列变换：
N1 2 ln U 1 cos 2U 2 N 2 2 ln U 1 sin 2U 2
证明 N1， N2 为相互独立的服从 N(0， 1)分布的随机变量。
u1 1 2 n1 exp n12 n2 n1 2 u2 1 n 2 2 2 n1 2 n1 n2
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2
齐次马尔柯夫过程的抽样方法
齐次马尔柯夫过程可以由初始分布和转移概率矩阵 完全决定
元件 A 运行 故障 元件 B 运行 故障 元件 C 运行 故障 无故障 C故障 B故障 A故障 BC故障 AC故障 AB故障 ABC 故障 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 系统状态
Xn
x3 x2 x1 x0
求出π值
2l 2l N ( ) aP a n
其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。这就 是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
6
蒲丰投针实验的原理说明
针与平行线相 交的充要条件
l x 2 sin
建立随机试验模型
7
部分投针实验的结果
实验者 年份 投计次数 π的实验值
沃尔弗(Wolf)
0
1
x
p P(( , ) S ) dxdy f ( x)dx
S 0
1
f ( x)dx
0
1
即所求的概率 p 正好为所求的积分θ。
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蒙特卡洛法的一般性原理
蒙特卡罗方法的基本思想
由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是 某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学 期望，或者是与概率、数学期望有关的量时， 通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率， 或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均 值，通过它得到问题的解
u
u=F(x)
0
x=F-1(u)
x
U F X
X F 1 U
U是[0,1]上均匀分布的随机变量 X是其它分布的随机变量
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变换抽样方法(2)——多个随机数变换
U1,U2为两个相互独立的满足均匀分布的随机变量
X g1 U 1 ,U 2 Y g 2 U 1 ,U 2
dx 1
成立，其中α为置信度，1-α为置信水平。于是，可以根据问题的要求确定出 置信水平，按照正态分布表确定 cα，从而得到估计 GN 与真值 G 之间的误差
GN G
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c N
蒙特卡洛模拟法计算指标的收敛过程示例
失稳概率 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0
0.00029
1 71 2485 57155 971635 13019909 －
0.230452 0.351080 0.253716 0.115857 0.037572 0.009221 －
8
6
46.16
0.00009
21
143.3
0.00007
9
3
22.82
0.00004
4
24.4
0.00001
>9
1850
5000
3.1596
斯密思(Smith)
1855
3204
3.1553
福克斯(Fox)
1894
1120
3.1419
拉查里尼(Lazzarini)
1901
3408
3.1415929
8
蒙特卡洛法的一般性原理
随机性问题
考虑一个射击运动员的射击成绩 G。令 x 表示弹着点到靶心的距离，g(x)表示 得分，f(x)表示该运动员弹着点分布的密度函数，则
第五章 蒙特卡洛模拟法
本章要点
知识点
蒙特卡洛法的基本原理 随机变量的抽样方法 马尔柯夫过程的抽样方法 降低方差的技巧
教学要求
理解蒙特卡洛法的原理，掌握其基本步骤 了解降低方差技巧的原理和思路
1
蒙特卡洛模拟法概述
以概率和数理统计为基础的计算机数值计 算方法
和一般计算方法（解析/数值）的区别？
0 1 2 3 4 5 6
7
3445 8435 8446 4968 1987 590 135
23
117159.41 176722.24 124122.51 57736.15 18559.41 4597.49 926.23
107.58
0.23432 0.35344 0.24825 0.11547 0.03712 0.00987 0.00919
2
N 1 于任意非负的实数 cα均有 lim P G N G c N 2
因此，当 N 足够大时就可以认为如下的近似等式

c
c
e
1 x2 2
dx
c a 1 P GN G N 2

c
c
e
1 x2 2
5
统计试验方法的经典例子——蒲丰氏问题
为了求得圆周率π值，1777年法国科学家蒲丰 (Buffon)提出一种投针试验方法（needle problem）：将长为2l的一根针任意投到地面上， 用针与一组相间距离为2a（ l＜a）的平行线相交 的频率代替概率P，再利用准确的关系式：