应用回归分析_第3章课后习题参考答案

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第3章 多元线性回归

思考与练习参考答案

见教材P64-65

讨论样本容量n 与自变量个数p 的关系,它们对模型的参数估计有何影响

答:在多元线性回归模型中,样本容量n 与自变量个数p 的关系是:n>>p 。如果n<=p 对模型的参数估计会带来很严重的影响。因为: 1. 在多元线性回归模型中,有p+1个待估参数β,所以样本容量的个数应该大于解释变量的个数,否则参数无法估计。

2. 解释变量X 是确定性变量,要求()1rank p n =+

()1rank p <+X ,则解释变量之间线性相关,1()X X -'是奇异阵,则β

的估计不稳定。

证明 随机误差项ε的方差2的无偏估计。

证明:

2

212

2

2

2

21

1

1

1

1

2

22

1

111

ˆ(),111()()(1)(1)()(1)1

ˆ()()1n i i n n n

n

n

i

i ii ii

ii i i i i i n

i i SSE e e e n p n p n p E e D e h h n h n p E E e n p σσσ

σ

σσσ======='===------∴==-=-=-=--∴==--∑∑∑∑∑∑∑

一个回归方程的复相关系数R=,样本决定系数R 2

=,我们能断定这个回归方程就很理想吗

答:不能。复相关系数R 与样本决定系R 2

数都是用来表示回归方程对原始数据拟合程度的好坏。样本决定系数取值在【0,1】区间内,

()1ˆ2--=p n SSE σ

一般来说,R2越接近1,即R2取值越大,说明回归拟合的效果越好。但由于R2的大小与样本容量n和自变量个数p有关,当n与p的值接近时,R2容易接近1,说明R2中隐含着一些虚假成分。而当样本容量n较小,自变量个数p较大时,尽管R2很大,但参数估计效果很不稳定。所以该题中不能仅仅因为R2很大而断定回归方程很理想。如何正确理解回归方程显着性检验拒绝H0,接受H0

答:一般来说,当接受假设H0时,认为在给定的显着性水平α之下,自变量x1,x2,…,x p对因变量y无显着性影响,则通过x1,x2,…,x p去推断y就无多大意义。此时,一方面可能该问题本应该用非线性模型描述,我们误用线性模型描述了,使得自变量对因变量无显着影响;另一方面可能是在考虑自变量时,由于认识上的局限性把一些影响因变量y的自变量漏掉了,这就从两个方面提醒我们去重新考虑建模问题。

当拒绝H0时,也不能过于相信该检验,认为该模型已经很完美。其实当拒绝H时,我们只能认为该回归模型在一定程度上说明了自变量x1,x2,…,x p与因变量y的线性关系。因为这时仍不能排除我们漏掉了一些重要自变量。此检验只能用于辅助性的,事后验证性的目的。(详细内容可参考课本P95~P96评注。)

数据中心化和标准化在回归分析中的意义是什么

答:原始数据由于自变量的单位往往不同,会给分析带来一定的困难;又由于设计的数据量较大,可能会以为舍入误差而使得计算结果并不理想。中心化和标准化回归系数有利于消除由于量纲不同、数量级不

同带来的影响,避免不必要的误差。

验证ˆˆ,1,2,,j

j

j p β*==

证明:多元线性回归方程模型的一般形式为:

01122p p y x x x ββββε

=+++

++

其经验回归方程式为

01122ˆˆˆˆˆp p

y x x x ββββ=++++,

又01122ˆˆˆˆp p

y x x x ββββ=----, 故111222ˆˆˆˆ()()()p p p

y y x x x x x x βββ=+-+-++-, 中心化后,则有111222ˆˆˆˆ()()()i p p p

y y x x x x x x βββ-=-+-++-,

=

令21

(),1,2,,n

jj ij j i L x x i n ==-=∑,1,2,,j p =

12()ˆˆˆ

ip p

x x y x x βββ-=++

样本数据标准化的公式为

1,2,

,

ij i x x y x y i n **-=

=

=,1,2,

,j p =

则上式可以记为

1

1

2

2

1122ˆˆˆˆˆˆi i i p

ip

i i p ip

L y x x x L x x x βββ

βββ*

*

**

******=++

+=⨯+⨯++⨯

则有

ˆˆ,1,2,,jj j

j

yy

L j p L ββ*==

验证

验证决定系数R 2与F 值之间的关系式:p

p n F F

R /)1(2--+=

验证决定系数R 2与F 值之间的关系式:p

p n F F

R /)1(2--+=

证明:

2/,

/(1)11

1(1)/1

SSR p

F SSE n p F SSE

SSR p

n p F SSE

p

SSR SSR F p F n p R F SSE SST SSR SSE F p n p F n p p

p SSE n p =

--⋅∴=⨯--⋅⨯⨯--∴=====

⋅+⨯+--+--⨯+--

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