数学分析10.4--二元函数的泰勒公式
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§10.4 二元函数的泰勒公式
一.高阶偏导数
二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数x
z ∂∂，
y
z ∂∂ 仍是x 与y 的二元函数。若
他们存在关于x 和y 的偏导数，即
x
∂∂（
x
z ∂∂），
y
∂∂（
x
z ∂∂），
x
∂∂（
y
z ∂∂），
y
∂∂（
y
z ∂∂）.
称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22
个。通常将
x
∂∂（x
z ∂∂）记为
2
2
x
z ∂∂或'
'xx f ),(y x .
y
∂∂（
x z ∂∂）记为
y x z ∂∂∂2
或'
'xy f ),(y x . (混合偏导数)
x ∂∂（y z ∂∂）记为
x y x ∂∂∂2
或'
'yx f ),(y x . (混合偏导数)
y
∂∂（y
z ∂∂）记为
22
y
z ∂∂或'
'yy f ),(y x .
一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.
二元函数的n 阶偏导数至多有2n
个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号
k
k n n
y
x
z ∂∂∂-或 )
(n y
x
k
k
n f -),(y x
表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.
二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.
例1 求函数332
2
3
3
++-=xy
y x y x z 的二阶偏导数.
解 x
z ∂∂=2
3
2
63y xy y x +-，
y
z ∂∂=xy x y x 2332
23+-.
2
2
x
z ∂∂=y xy
663
-.
y x z ∂∂∂2
=y x y x 2692
2+-.
x y z ∂∂∂2
=y x y x 2692
2+-. (
y
x z ∂∂∂2
=
x
y z ∂∂∂2
)
22
y
z ∂∂=x y x 263
+.
例2 证明：若u=r
1,r=2
22)()()(c z b y a x -+-+-,则
22
x
u ∂∂+
2
2
y
u ∂∂+
2
2
z
u ∂∂=0.
证明 由§10.3例2，有
x
u ∂∂=3
r
a x --
，
y
u ∂∂=3
r
b y --
，
z
u ∂∂=3
r
c z --
.
2
2
x
u ∂∂=6
2
3
3)(r
x
r r
a x r
∂∂---
(
x
r ∂∂=
r
a x -)
=6
2
3
3)(r
r
a x r
a x r
----
=3
1r
-
+
5
3r
2
)(a x -.
同样，可得
22
y
u ∂∂=3
1r
-
+
5
3r
2
)(b y -,
2
2
z
u ∂∂=3
1r
-
+
5
3r
2
)(c z -
于是，
22
x
u ∂∂+
2
2
y
u ∂∂+
2
2
z
u ∂∂=3
1r
-
5
3r
+
])()()[(2
22c z b y a x -+-+-
=3
3r
-
+
3
3r
=0.
由例1看到，y
x z ∂∂∂2
=
x
y z ∂∂∂2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求
导的顺序无关。那么是否函数的高阶混合偏导数都与求导顺序无关呢？否！例如，函数
f(x,y)= ⎪⎩
⎪⎨⎧+-02
2
2
2y x y x xy ,0,,0,2
22
2=+≠+y x y x