股票和期权的二叉树模型(2)

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比敲出期权高。
9
敲出期权定价
作为对以上方法的验证，我们运用另一种方法计算敲出期权的当期价值。 该期权的最终价格的确定，取决于股票价格的变动路线，而不是仅由最终的 股票价格决定的。我们拟分别用u和d来描述股票价格的上涨和下跌路线，并 按照从左到右的次序。 在上面的约定下我们定义duu表示股票的路径为下跌→上升→上升。最终 价格在障碍之上的路径有：uuu，uud，udu；最终价格在障碍之下的有：
故回望期权现价为：
V0 e3rt E (V3 ) e0.05/4 5.611 5.5414
20
实证数据下二叉树模型分析
金融（或其他领域）中用的数学模型是为了帮助在分析现 在的基础上预测未来。如果模型是成功的，那么模型就应 该与实际相符。
如何确定p、u和d？
我们希望通过股价行为中的重要因素来估计上面这些参数
经理就会以15000点买入日经225指数的看涨期权，这样的看涨期权只有在美 元兑日元汇率低于79时才算敲出。

同样的，设置了敲出障碍的看涨期权会将显著的贴水。期权的这种结构设 置充分利用了日本证券市场对美元的敏感性，美元坚挺日元贬值有可能会使 日本出口贸易型公司的股票价格上升，从而拉动整个证券市场。
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N期二叉树模型的定价和对冲风险
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N期二叉树模型的定价和对冲风险
说明： 可以对冲N期二叉树模型并不意味着可以对冲任意的衍生 产品（比如说连续情形下）。即使二叉树模型通过选取足够大的n
值，以对股价进行合理的拟合，但股价运行中固有的属性，决定
了不可能做出无误差的对冲调整。
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N期二叉树模型的定价和对冲风险
应的常规期权相同；反之该期权作废。
3
敲出期的二叉树图，并在价格$95处画一条虚线作为障碍：
5
敲出期权定价
时刻3期权的价值为
6
敲出期权定价
连锁法计算期权价值
障碍法则
同样的操作：运用连锁法则和贴现的方法计算出期权的价格。
不同的操作：对于障碍(虚线)下方的节点输入值为0。
正（资产） 股票：0.266666×110 负（负债） 衍生产品：12美元 银行：16.507779×1.05 总计：29.33326
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29.33316
N期二叉树模型的定价和对冲风险
套利 如果现实中衍生品定价是11美元，我们可以通过卖掉衍生品并买 入股票对冲，从而获得无风险收益。另一方面，如果衍生品价格是9 元，我们可以通过买入衍生品并卖空股票对冲，从而获得无风险收益， 这样的交易可以使衍生品价格到达10.00756美元的均衡状态。
a
U D Su S
d
C aS
0
U aS
r e u
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N期二叉树模型的定价和对冲风险
股价上升：
资 产 组 合 损 益 aSu U aS0 C e a S u U a S 0 a S 0 U a S u e 0
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N期二叉树模型的定价和对冲风险
以N期股价二叉树为基础的期权价格，可以由期权在期末的价 值完全决定。如果期权的价格与由二叉树算法得到的价格不一样，
则将存在无风险套利机会。即，二叉树算法得出的结果是符合无
套利原则的惟一价格，从这个角度来说，二叉树算法的价格反映 了市场的真实状况。
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N期二叉树模型的定价和对冲风险
漂移率、波动率
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实证数据下二叉树模型分析
S E 1 S0
t

2
S E 1 t S 0
2
t
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实证数据下二叉树模型分析
S S t E 1 E S S 0 0
只讨论模拟股票价格时常用的一些简单方法。
这里用到Hull-White算法
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实证数据下二叉树模型分析
Hull-White算法： 令：
p 1 2
则：
u d 2
1 t t
u d 2
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实证数据下二叉树模型分析
用样本估计值来代替
u 1 t d 1 t
叫做“障碍”水平。一般可以归为两种类型： 敲出障碍期权（Knock-out Options）：当标的资产价格达到一个特定的障碍 水平时，该期权作废（即被“敲出”）；如果在规定时间 内资产价格并未触 及障碍水平，则仍然是一个常规期权。 敲入障碍期权（Knock-in Options）：正好与敲出期权相反，只有资产价格在 规定时间内达到障碍水平，该期权才得以存在（即“敲入”），其回报与相
平均相对回报率：
平均股价比率：
1 t
S 2 t E 1 t S 0
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2

实证数据下二叉树模型分析
E X DX

pa (1 p ) b
2
p 1 p a b
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实证数据下二叉树模型分析
1

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实证数据下二叉树模型分析
于是得到 μ 和 σ 的估计值为：

U t
s t

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实证数据下二叉树模型分析
以Netscape公司股票为例。
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实证数据下二叉树模型分析
时间间隔为1天，u=1.025，d=0.959。
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实证数据下二叉树模型分析
时间间隔为7天，即以一周为一个时间段。u=1.031,d=0.8567
19
129.6
129.6 108 100 120 100
9.6
9.6 0 0 0 0
回望期权
计算q值：
ert d e0.05/12 0.9 q 0.34725 ud 1.2 0.9
计算E(V3)
E (V3 ) 52.8 q 3 24 q 2 (1 q) 2 9.6 q 2 (1 q) 5.611
S 1 t E pu 1 p d S0

t
S E 1 t S0
2

p 1 p u d

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实证数据下二叉树模型分析
思路整理 1、根据实际金融市场数据的μ 、σ值，推导出u、d、p 2、如何得到μ 、σ 我们下面将依次解决这些问题，有若干模型可以得出u和d，我们
最终以“可观”的代价赢得这场战役的胜利。
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奇异期权
回望期权(lookback options)的收益依附于期权有效期内标的资产达到的最 大或最小价格。 欧式回望看涨期权的收益等于最后标的资产价格超过期权有效期内标的资产 达到的最低价格的那个量。
欧式回望看跌期权的收益等于期权有效期内标的资产价格达到的最高价格超
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敲出期权定价
障碍期权对对冲基金有特别的吸引力。对冲基金可以在卖空的同时买入期 权；试图以小博大。他们在购买敲入或敲出期权时付出的资金相对较少，但
是当期权如他们所愿突破障碍以后，他们就可以大赚一笔。
当价格接近于障碍时，问题就出现了。敲出期权的买方迫切希望将价格保 持在障碍之下；期权的卖方则希望价格在障碍之上。在容量大、流动性高的 市场如外汇市场上，单个投资者可能会认为这过分冒险，不合实际以至于不 能操纵价格。但如果有足够多的大资金投资者有共同的利益，他们肯定能够
7
敲出期权定价
我们使用前面看涨期权的计算结果，概率q=0.7564,1-q=0.2436
其它计算和前面是类似的仍然用回推的方式得期权价格二叉树图为：
8
敲出期权定价
我们最终得到障碍期权的当期价值为11.40美元。注意到该期权比我们在3.1
节中介绍的普通期权价格便宜一些，这是因为普通期权在障碍线以下的收入
t t
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实证数据下二叉树模型分析
S1 X 1S 0
S k 1 X
k 1
Sk
P S k / S k 1 u P S k / S k 1 d

1 2
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实证数据下二叉树模型分析
S S t E 1 E S S 0 0
r

r

r
e
r
股价下跌：
资 产 组 合 损 益 aS d D aS0 C e
由于
aS
d
D aS
u
U
r
资 产 组 合 损 益 aS d D aS0 C e
0
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N期二叉树模型的定价和对冲风险
由此可见，风险已完全对冲了。 在这种情况下，交易商的无风险收益是收取少量的佣金。
股票与期权的二叉树模型（Ⅱ）
王玉婷
Contents
4 5
奇异期权——敲出期权定价
奇异期权——回望期权定价
6
实证数据下的二叉树模型分析
7
N期二叉树模型的定价和对冲风险
2
奇异期权
障碍期权（barrier option ）是指期权的回报（Payoff）依赖于标的资产的价
格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平（临界值），这个临界值就
对市场价格施加压力。
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敲出期权定价
规模小、流动性差的新兴市场极易受这种行动影响。在1994年末和1995 年初，美国投资银行美林证券就和一只由Michael Steinhardt管理的基金在
委内瑞拉债券市场上大动干戈。该基金拥有敲入期权，当债券价格涨到障碍
附近时，期权就会上升。于是基金大量买入债券以推高债券价格。美林证券 作为期权的出售者，则极力使债券价格低于屏障。过去不温不火的市场成交 量飞涨。在这场较量的高潮时期，发行在外的差不多70亿美元委内瑞拉布拉 德利债券中，有1亿5千万美元的债券换手，就此将债券价格推高10%。美林