河南省豫南九校联考高三(上)期末数学试卷(理科)

河南省豫南九校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|y=log2x，y∈Z}，B={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4}B．{2，4，6，8}C．{1，2，4，8}D．{2，4，8}2．设复数z满足（﹣1+3i）z=2（1+i），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：“∃x0∈R，x02﹣2x0+3≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”，命题q：椭圆+=1的一个焦点坐标为（3，0），则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∨q4．为了得到函数y=1﹣2sin2（x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．已知一个路口的红绿灯，红灯的时间为35秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为60秒，老王开车上班要经过3个这样的路口，则老王遇见两次绿灯的概率为（）A． B． C． D．6．函数f（x）=的图象可能是下列图形中的（）A． B． C． D．7．已知向量||=3，•=，|+|=，则向量在上的投影为（）A． B． C． D．28．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．99．已知实数x，y满足不等式组，若直线y=k（x+1）把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1：2，则k=（）A．B．C．D．=（n∈N*），则=（）10．已知数列{a n}满足a1=，a n+1A．2015 B．2016 C．2017 D．201811．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为抛物线C2：y2=2px的焦点F，且点F到双曲线的一条渐近线的距离为，若双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P（x0，2），则该双曲线的离心率e为（）A．B．2 C．D．1+12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）﹣f（x）=0，且f（x）=，若函数y=f（x）﹣x（t＞0）至少有9个零点，则t的取值范围为（）A．（0，）B．（0，54﹣24]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0上的点到直线x﹣y+5=0的距离的取值范围为．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．15．（x+﹣2）6的展开式中，x的系数为．16．已知函数f（x）=，若对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，恒有af（1）≥|f（x1）﹣f（x2）|成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，且b=4．（1）求角B；（2）求△ABC的面积的最大值．18．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a5=2a3+a4，且S5=62．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．19．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的五副羽毛球拍，现从袋中任取4支球拍，每支球拍被取出的可能性都相等（1）求取出的4支球拍上的数字互不相同的概率（2）用ξ表示取出的4支球拍上的最大数字，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，M，N分别为BC，PA的中点（1）求证：BN∥平面PDM（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△F1AB的面积的最大值．22．已知函数f（x）=alnx﹣（a+1）x﹣（1）当a＜﹣1时，讨论f（x）的单调性（2）当a=1时，若g（x）=﹣x﹣﹣1，证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的图象上方（3）证明： ++…+＜（n∈N*，n≥2）河南省豫南九校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|y=log2x，y∈Z}，B={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4}B．{2，4，6，8}C．{1，2，4，8}D．{2，4，8}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，结合对数运算，再由交集定义即可得到所求．【解答】解：集合A={x|y=log2x，y∈Z}={x|x＞0，且为2的偶次幂}，B={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B={2，4，8}．故选：D．2．设复数z满足（﹣1+3i）z=2（1+i），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的坐标得答案．【解答】解：由（﹣1+3i）z=2（1+i），得=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．已知命题p：“∃x0∈R，x02﹣2x0+3≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”，命题q：椭圆+=1的一个焦点坐标为（3，0），则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∨q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判定命题p、q的真假，再根据复合命题的真值表判定．【解答】解：命题p：“∃x0∈R，x02﹣2x0+3≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”，是真命题；命题q：椭圆+=1的交点在y轴上，一个焦点坐标为（0，3），是假命题；故p∧q为假命题；￢p∧q为假命题；￢p∨q为假命题；p∨q为真命题；故选：D．4．为了得到函数y=1﹣2sin2（x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简可得函数解析式y=sin[2（x+）]，再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵y=1﹣2sin2（x﹣）=cos（2x﹣）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，故把函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=cos2（x+）=1﹣2sin2（x﹣）的图象，故选：D．5．已知一个路口的红绿灯，红灯的时间为35秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为60秒，老王开车上班要经过3个这样的路口，则老王遇见两次绿灯的概率为（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】先求出遇到绿灯的概率，再求出老王遇见两次绿灯的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意知本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为35+5+60=100秒，设绿灯为事件A，满足条件的事件是绿灯的时间为60秒，根据等可能事件的概率得到：P（A）=，∴老王遇见两次绿灯的概率为=．故选C．6．函数f（x）=的图象可能是下列图形中的（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用x的范围，判断函数的值的范围，然后利用函数的导数，判断函数的单调性即可．【解答】解：函数f（x）=，可知x＜0，y＜0；当x＞0时，函数f′（x）=，令f′（x）=0，可得x=1．当x∈（0，1），f′（x）＜0，函数f（x）=是减函数，x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）=是增函数，函数图象B，A满足，C，D不正确；当x＜0时，函数f′（x）=＜0，函数是减函数，所以B正确，A不正确．故选：B．7．已知向量||=3，•=，|+|=，则向量在上的投影为（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|+|=两边平方计算||，根据向量的数量积的定义计算向量的夹角的余弦值，再代入投影公式计算．【解答】解：∵|+|=，∴||2+2+||2=，即9+3+||2=，∴||=，设的夹角为θ，则=||||cosθ，即=3×cosθ，∴cosθ=．∴向量在上的投影为||cosθ=3×=．故选：B．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件S＞1，即可得到n的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=2，S=0执行循环体，S=，n=3不满足条件S＞1，执行循环体，S=+，n=4不满足条件S＞1，执行循环体，S=++，n=5不满足条件S＞1，执行循环体，S=+++，n=6不满足条件S＞1，执行循环体，S=++++=，n=7满足条件S＞1，退出循环，输出n的值为7．故选：B．9．已知实数x，y满足不等式组，若直线y=k（x+1）把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1：2，则k=（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据面积比是1：2，即可确定k的值．【解答】解：作出不等式组对应平面区如图（三角形ABC部分），A（0，1），B（1，﹣1），∵直线y=k（x+1）过定点C（﹣1，0），∴C点在平面区域ABC内，∴点A到直线y=k（x+1）的距离d上=，点B到直线y=k（x+1）的距离d下=，∵直线y=k（x+1）把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1：2，∴2×=，解得k=故选：A=（n∈N*），则=（）10．已知数列{a n}满足a1=，a n+1A．2015 B．2016 C．2017 D．2018【考点】数列递推式．【分析】a1=，a n+1=（n∈N*），取倒数可得：=2，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1=，a n+1=（n∈N*），∴=2，∴数列是等差数列，首项为3，公差为2．∴=3+2（n﹣1）=2n+1，则==7+2×1005+1=2018．故选：D．11．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为抛物线C2：y2=2px的焦点F，且点F到双曲线的一条渐近线的距离为，若双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P（x0，2），则该双曲线的离心率e为（）A．B．2 C．D．1+【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件求出b，通过交点坐标，代入抛物线以及双曲线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为抛物线C2：y2=2px的焦点F，可得=c，点F到双曲线的一条渐近线bx+ay=0的距离为，可得，b=，双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P（x0，2），可得：24=2px0，，可得：a2c2=4，b2=3，可得a=1，c=2．双曲线的离心率为：2．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）﹣f（x）=0，且f（x）=，若函数y=f （x）﹣x（t＞0）至少有9个零点，则t的取值范围为（）A．（0，）B．（0，54﹣24]C．（0，）D．（0，]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）满足f（x+3）﹣f（x）=0，得周期T=3，函数y=f（x）﹣x（t＞0）的零点，就是y=f（x ）与y=的交点，作出两个函数的图象，利用图象确定函数零点的个数，求出t的取值范围．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）﹣f（x）=0，∴周期T=3画出函数f（x）在[﹣1，10]的图象，如图所示，当直线y=相切于点A（x0，y0）时刚好9个零点，当x∈（8，10）时，f（x）=﹣（x﹣9）2+1，所以过点A的切线方程为y﹣y0=﹣2（x0﹣9）（x﹣x0）∵切线过原点，﹣y0=﹣2（x0﹣9）（﹣x0），又∵y0=﹣（x0﹣9）2+1，解得x0=4，，=f′（x）=﹣2（x﹣9）=18﹣8，t的取值范围为（0，54﹣24]故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0上的点到直线x﹣y+5=0的距离的取值范围为（2，6）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】将圆的方程转化为标准方程，求出圆心和半径．再求出圆心到直线的距离，把此距离减去、加上半径，即可得到圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0上的点到直线x﹣y+5=0的距离的取值范围．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=8．∴圆心C（1，﹣2），半径r=2．∴圆心C（1，﹣2）到直线x﹣y+5=0的距离为d==4，∴圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0上的点到直线x﹣y+5=0的距离的取值范围为（2，6）．故答案为：（2，6）．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是+．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图是半个圆锥与三棱锥的组合体，由图中数据，可得几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，直观图是半个圆锥与三棱锥的组合体，由图中数据，可得V=+=+，故答案为+．15．（x+﹣2）6的展开式中，x的系数为﹣792．【考点】二项式系数的性质．【分析】化（x+﹣2）6=，利用展开式的通项公式求出展开式中x的系数．【解答】解：∵（x+﹣2）6=，展开式的通项公式=••=（﹣1）r••x6﹣r，T r+1令6﹣r=1，得r=5，∴T6=（﹣1）5•x=﹣792x，∴展开式中x的系数为﹣792．故答案为：﹣792．16．已知函数f（x）=，若对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，恒有af（1）≥|f（x1）﹣f（x2）|成立，则实数a的取值范围是[e2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】求出f（x）的导数，求得在区间[﹣1，2]上的单调性，可得最值，即有|f（x1）﹣f（x2）|≤f （x）max﹣f（x）min=e，由恒成立思想，可得a的不等式，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=的导数为f′（x）=，当﹣1≤x≤0时，f′（x）≤0，f（x）递减；当0＜x≤2时，f′（x）＞0，f（x）递增．则f（0）取得极小值，且为最小值0，f（﹣1）﹣f（2）=﹣=e﹣＞0，则f（x）的最大值为f（﹣1）=e，即有|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=e，对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，恒有af（1）≥|f（x1）﹣f（x2）|成立，即为a•≥e，解得a≥e2．则a的取值范围是[e2，+∞）．故答案为：[e2，+∞）．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，且b=4．（1）求角B；（2）求△ABC的面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由=，且b=4．利用正弦定理可得=，化简再利用余弦定理即可得出．（2）由（1）可得：ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16，解得ac≤16．即可得出．【解答】解：（1）∵=，且b=4．∴=，化为：a2+c2﹣16=ac．∴cosB===．又B∈（0，π），解得B=．（2）由（1）可得：ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16，解得ac≤16．当且仅当a=c=4时取等号．==4，∴S△ABC∴△ABC的面积的最大值为4．18．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a5=2a3+a4，且S5=62．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设公比为q（q＞0），由a5=2a3+a4，且S5=62，得到关于a1，q方程组，解得即可，（2）根据数列求和公式，以及裂项求和，和放缩法即可证明【解答】解：（1）设公比为q（q＞0），由a5=2a3+a4，且S5=62，得，解得a1=2，q=2，∴a n=2n，（2）由（1）可知a n=2n+1，S n==2（2n﹣1），S n+1=2（2n+1﹣1），∴b n===（﹣），∴T n= [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣），∵n+1≥2，∴≤，∴（1﹣）≥，且（1﹣）＜，∴≤T n＜．19．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的五副羽毛球拍，现从袋中任取4支球拍，每支球拍被取出的可能性都相等（1）求取出的4支球拍上的数字互不相同的概率（2）用ξ表示取出的4支球拍上的最大数字，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设事件A表示“取出的4支球拍上的数字互不相同”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣．（2）由题意可得ξ=2，3，4，5．则P（ξ=2）=．P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=．【解答】解：（1）设事件A表示“取出的4支球拍上的数字互不相同”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=．（2）由题意可得ξ=2，3，4，5．则P（ξ=2）==．P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==．∴ξ的分布列为：∴E（ξ）=+3×+4×+5×=．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，M，N分别为BC，PA的中点（1）求证：BN∥平面PDM（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AD中点E，连接BE，NE，则BE∥MD，NE∥PD，利用面面平行，证明线面平行；（2）利用面积关系，求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．【解答】（1）证明：取AD中点E，连接BE，NE，则BE∥MD，NE∥PD，∵BE∩NE=E，MD∩PD=D，∴平面BEN∥平面MDP，∵BN⊂平面BEN，∴BN∥平面PDM（2）解：连接EP，EC，则PE=3，EB=2，EC==2∴PB=，PC=，∴cos∠PAB==﹣，cos∠PDC==﹣，∴sin∠PAB=，sin∠PDC=，∴平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为，大小为arccos．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△F1AB的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的焦点，离心率e，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为x=ty+1，代入2x2+3y2=6得得（2t2+3）y2+4ty﹣4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、换元法、函数单调性，结合已知条件能求出△F1PQ面积的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴2c=2，c=1，又∵e=，∴，∵a2=b2+c2，∴椭圆C的标准方程为：．（2）设直线l的方程为x=ty+1，代入2x2+3y2=6得得（2t2+3）y2+4ty﹣4=0，∴y1+y2=，y1y2=，△F1AB的面积s=2c•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|=，令u=∈[1，+∞），则s==，∵y=2u+在[1，+∞）上是增函数，∴当μ=1，即t=0时，△F1AB的面积的最小值是．22．已知函数f（x）=alnx﹣（a+1）x﹣（1）当a＜﹣1时，讨论f（x）的单调性（2）当a=1时，若g（x）=﹣x﹣﹣1，证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的图象上方（3）证明： ++…+＜（n∈N*，n≥2）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由已知得x＞0，f′（x）=﹣（a+1）+，根据a=﹣2，﹣1＜a＜﹣2，a＞﹣2，利用导数性质分类讨论，能求讨论f（x）的单调性．（2）a=1时，f（x）=lnx﹣2x﹣，g（x）=﹣x﹣﹣1，设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x+1，F′（x）=﹣1=，利用导数性质推导出f（x）＜g（x）恒成立，由此能证明g（x）的图象恒在f（x）图象的上方（3）由lnx﹣x+1≤0 （x＞0），设K（x）=lnx﹣x+1，则K′（x）=﹣1=．从而≤1﹣．令x=n2，得，从而，由此能证明++…+＜（n∈N*，n≥2）【解答】解：（1）∵函数f（x）=alnx﹣（a+1）x﹣，∴x＞0，f′（x）=﹣（a+1）+=，∵a＜﹣1，由f′（x）＞0，得[﹣（a+1）x﹣1]（x﹣1）＞0，当a=﹣2时，由f′（x）＞0，得x≠1，增区间为（﹣∞，1]，[1，+∞），无减区间；当﹣1＜a＜﹣2时，由f′（x）＞0得，x＞﹣或x＜1，增区间为（0，1]，[﹣，+∞），减区间为[1，﹣]；当a＞﹣2时，由f′（x）＞0得，x＜﹣或x＞1，增区间为（0，﹣]，[1，+∞），减区间为[﹣，1]．证明：（2）a=1时，f（x）=lnx﹣2x﹣，g（x）=﹣x﹣﹣1，设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x+1，F′（x）=﹣1=，∵当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0∴F（x）≤F（1）=0，即f（x）＜g（x）恒成立，∴g（x）的图象恒在f（x）图象的上方．（3）由（2）知lnx﹣x+1≤0 （x＞0），设K（x）=lnx﹣x+1，则K′（x）=﹣1=．当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；当x∈（1，∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；∴x=1为k（x）的极大值点，∴k（x）≤k（1）=0．即lnx﹣x+1≤0，∴lnx≤x﹣1．由上知lnx≤x﹣1，又x＞0，∴≤1﹣．∵n∈N，n≥2，令x=n2，得，∴，+∴++…+≤（1﹣）= [n﹣1﹣（）]＜ [n﹣1﹣（）]===（n∈N*，n≥2）∴++…+＜（n∈N*，n≥2）2017年2月28日。