周世勋《量子力学教程》学习辅导书(量子力学若干进展)【圣才出品】
周世勋《量子力学教程》配套题库章节题库波函数和薛定谔方程【圣才出品】
如果题目中没有给定 为能量本征态，则也可判定它所对应的能量高，因为它可能是 基态、第一激发态和第二激发态的组合（依赖于 b 和 c 的大小）。因此在此态中的能量平均
值也要高于 描写的状态的能量平均值。
3．写出动量表象中的不含时 S．eq。 答：经典能量方程
在动量表象中，算符化规则为
（1）
（2） 将此规则运用于式（1），并将式（1）两边分别作用于动量空间波函数φ（p）上，即得动 量表象中的不含时 S．eq
4．质量为 m 的粒子处于能量为 E 的本征态，波函数为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ问粒
子在什么样的位势中运动?
答：这也是直接应用 S．eq 解题的例子，S．eq 联系了 m，ħ，V，E 和 （x），知道
了其中一部分，就可以求出其他部分。
本题中要求解位势，从 S．eq
出发，只要把已知的
能量本征函数 （x）代入运算，即可得解
3 / 63
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
5．简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。
答：微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。
波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。
微观粒子的状态波函数 用算符 Fˆ 的本征函数 展开（ Fˆn nn ，Fˆ ）：
三、名词解释题 1．基本量子条件。
答：[xˆ , xˆ ] 0 ，[ pˆ , pˆ ] 0 ，[xˆ , pˆ ] i 。
2．能级简并、简并度。 答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为能级简并； 把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。
四、简答题 1．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ 答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征 值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的 个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差 一个负号，则称其为负宇称态。
《量子力学教程》第二版答案周世勋原著
《量子力学教程》第二版答案周世勋原著量子力学，作为现代物理学的重要支柱之一，其深奥的理论和复杂的数学推导常常让学习者感到困惑。
而周世勋先生的《量子力学教程》则是众多学习者的重要参考书籍。
然而，在学习过程中，课后习题的答案对于理解和掌握知识起着至关重要的作用。
接下来，让我们一起深入探讨《量子力学教程》第二版的答案。
首先，我们需要明确周世勋先生这本教程的重要地位和价值。
它以清晰的逻辑和严谨的体系，为初学者构建了一个逐步深入量子力学世界的桥梁。
书中涵盖了量子力学的基本概念、原理和重要理论，从波粒二象性到薛定谔方程，从态叠加原理到量子纠缠，无一不是量子力学的核心内容。
在面对课后习题时，答案的作用不仅仅是检验我们对知识的掌握程度，更重要的是帮助我们理清思路，发现自己在理解和应用知识方面的不足。
周世勋原著的答案具有以下几个显著特点。
其一，答案的准确性是毋庸置疑的。
每一个解答都经过了精心的推导和论证，确保与量子力学的基本原理和数学方法相一致。
这对于学习者建立正确的物理观念和数学思维非常重要。
例如，在处理涉及薛定谔方程的问题时，答案中会详细展示如何根据给定的初始条件和边界条件求解方程，以及如何对解进行物理意义的解释。
其二，答案具有很好的逻辑性和条理性。
它们通常会按照一定的步骤和思路进行推导，让学习者能够清晰地看到问题的解决过程。
这种清晰的逻辑结构有助于我们培养良好的解题习惯和思维方式。
比如，在解决关于量子态演化的问题时，答案会先分析问题所涉及的物理概念和原理，然后逐步引入相关的数学工具和计算方法，最后得出结论。
其三，答案注重对知识点的拓展和深化。
除了给出基本的解题方法和结果外，还会对一些相关的概念和理论进行进一步的阐述和讨论。
这使得我们在完成习题的同时，能够对量子力学的知识有更全面和深入的理解。
例如，在解答关于量子测量的问题时，答案可能会涉及到测量的不确定性原理以及它与量子态塌缩之间的关系，从而引导我们思考量子力学中一些更深层次的哲学问题。
量子力学周世勋课后答案详解
第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
周世勋《量子力学教程》(第2版)-微扰理论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
第5章微扰理论5.1复习笔记一、定态微扰理论1．适用范围及使用条件求分立能级及所属波函数的修正。
适用条件是：一方面要求H 可分成两部分，即'0H H H +=，同时0H 的本征值和本征函数已知或较易计算；另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰'H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即'(0)(0)(0)(0)1,mnn mn mH E E E E <<≠-（1）非简并情况微扰作用下的哈密顿量可表示为：'0H H H +=第n 个能级可近似表示为：∑+-++=mmnnmnn nn EEH H E E)0()0(2''')0(相应的波函数可近似表示为：∑+-+=mm mn mn nn E E H )0()0()0('')0(ψψψ（2）简并情况能级的一级修正由久期方程0det )1('=-v k v E H μμδ即)1(''2'1'2)1('22'21'1'12)1('11=---nkk k k knknE H H H H E H H H H E H给出。
个实根，记为有k k f E )1(k k f E ,,2,1,)1( =αα，分别把每一个根)1(αk E 代入方程∑==-kf v v v k va E H 1)1('0)(μαμδ，即可求得相应的解，记为v a α，于是可得出新的零级波函数∑>>=vkv vkv a φα||。
相应的能量为：)1()0(αk k k E E E +=。
2．氢原子的一级斯塔克效应（1）斯塔克（Stark）效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。
（2）用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n 个能级有2n 度简并。
量子力学+周世勋(课件)
几何学：量子力学的重要数学工具，用于描述量子态的 几何结构和几何相变
量子力学的物理图像
量子力学的基本概念：波函数、概率幅、薛定谔方程等 量子力学的实验基础：双缝干涉实验、电子衍射实验等 量子力学的应用：量子计算、量子通信、量子加密等 量子力学的发展：从经典力学到量子力学的转变，以及量子力学的发 展历程和现状。
周世勋的量子力学课件的局限性及改进方向
内容深度：部分内容过于深奥，不易理解 讲解方式：部分讲解方式较为单一，缺乏互动性 课件设计：部分课件设计不够直观，不易于学生理解 改进方向：增加案例分析，提高互动性，优化课件设计，增加实践操作环节
周世勋的量子力学课件对未来学科发展的影 响
推动了量子力学的普及和发展 激发了学生对量子力学的兴趣和热情 促进了量子力学与其他学科的交叉融合 提高了量子力学在科研和工业领域的应用水平
量子力学的发展历程
1900年，普朗克提出量子概念，量子 力学的萌芽
1913年，玻尔提出玻尔模型，量子力 学的初步建立
1925年，海森堡提出不确定性原理， 量子力学的进一步完善
1926年，薛定谔提出薛定谔方程，量 子力学的成熟
1927年，狄拉克提出狄拉克方程，量 子力学的进一步发展
1935年，爱因斯坦、波多尔斯基和罗森 提出EPR佯谬，量子力学的深入探讨
量子力学+周世 勋全套课件
PPT,a click to unlimited possibilities
汇报人：PPT
目录 /目录
01
量子力学基础
02
周世勋的量子 力学课件介绍
03
周世勋的量子 力学课件详解
04
量子力学教程习题答案
令
d1 ( x) 0 ，得 dx
x0
x
1
x
x 时， 1 ( x) 0 。显然不是最大几率的位置。 由 1 ( x) 的表达式可知， x 0 ，
d 21 ( x) 2 3 2 2 2 2 3 2 x 2 而 [( 2 6 x ) 2 x ( 2 x 2 x )] e dx2 2 2 4 3 [(1 5 2 x 2 2 4 x 4 )]e x
23
2
23
T 100 K 时， E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h ec 2 ，其中 e 为电子的静止质量，而
c h ，所以 ，即有 ec
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n ka 0 ka n
1 n [1 cos ( x a)]dx a 2 a
a a
A 2 A 2 a n x cos ( x a)dx 2 a 2 a a A 2 a n A a sin ( x a) 2 n a a
2 a
A 2 a
∴归一化常数 A
1 a
A2 2 T A2 2T pdq A 0 cos t dt 2 0 (1 cost )dt 2 nh ， n 0,1,2,
量子力学教程习题答案周世勋
解：
= 1
= 0
*
= 0
同理可证其它的正交归一关系。
*
1
综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即
2
独态：
*
三重态：
单击添加文本具体内容简明扼要地阐述你的观点
单击此处添加副标题
*
解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程
*
*
两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为
式中
02
为归一化因子，即
03
求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
01
解：
02
*
第五章 微扰理论
*
运营计划简约通用模板
《量子力学教程》 习题解答
单击此处添加副标题
《量子力学教程》 习题解答说明 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
*
01
第一章 绪论
第七章 自旋和全同粒子
03
第三章 力学量的算符表示
单击此处添加正文
05
第五章 微扰理论
单击此处添加正文
02
第二章 波函数和薛定谔方程
单击此处添加正文
04
第四章 态和力学量的表象
单击此处添加正文
周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第4章 态和力学量的表象——第6章
n
中，以 Sn 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。设态 在 A，B 表象中的矩阵表示分别为 a，
b，S 为两表象之间的幺正变换，则态在两表象之间的变换为
b S 1a ，算符在两表象之间的变换为 F ' S 1FS 。
1
(2) 2
动量本征函数，则
C( p,t) 即为该态在动量表象中的波函数。 C( p,t) 的物理意义为： C( p.t) 2 dp 表示在该态
中，测量粒子的动量所得结果在 p 到 p+dp 范围内的几率。
二、幺正变换
1．变换矩阵
满足 S S 1 的矩阵称为幺正矩阵，幺正矩阵不是厄米矩阵。由幺正矩阵所表示的变
1 / 50
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
a1
(t
)
a2 (t) 函数，则 (x,t) 在力学量 Q 表象中矩阵表示可写为： 。
a
n (t
)
aq (t)
3．算符 F 在 Q 表象中的矩阵表示．
算符 F 在 Q 表象中对应一个矩阵（方阵），矩阵元是 Fnm un* Fumdx ，平均值公式是
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
（2）哈密顿量本征方程
H
p ( x)
1
i px
1e
(2 ) 2
本征方程
p p'
p ' p'
C( p,t) ( p' p) p ( p p' ) p' ( p p' )
5．一个典型的例子分析
《量子力学教学教程》周世勋课后答案解析
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学+周世勋(全套课件)
BCS理论
阐述BCS理论的基本思想， 即电子通过交换声子形成 库珀对，从而实现超导。
高温超导
介绍高温超导材料的研究 进展和机制探讨。
量子计算机原理简介
量子比特
阐述量子比特的概念及其与经典比特的区别，介绍量子态的叠加和 纠缠等特性。
量子门操作
介绍常见的量子门操作（如X门、Z门、Hadamard门等），以及它 们对量子态的变换作用。
Born近似方法
Born近似原理
在散射过程中，当入射粒子与靶粒子的 相互作用较弱时，可以采用Born近似方 法求解散射问题。该方法将散射振幅表 示为入射波函数与散射势的乘积的积分 形式。
VS
Born近似应用
适用于处理弱相互作用下的散射问题，如 低能电子与原子的散射、中子与原子核的 散射等。通过Born近似方法，可以得到 散射振幅的解析表达式，进而求得散射截 面和微分截面等物理量。
能级与波函数的关系
无限深势阱中的能级是离散的，波函数与能级之间存在对应关系。
粒子在阱中的运动规律
粒子在无限深势阱中做简谐振动，振动频率与能级差有关。
一维方势阱
1 2
方势阱中的波函数
描述粒子在一维方势阱中的空间分布概率。
能级与波函数的关系
方势阱中的能级也是离散的，波函数与能级之间 存在对应关系。
3
粒子在阱中的运动规律
势阱和势垒的穿透
分析粒子在势阱和势垒中的穿透 现象，以及相关的穿透系数和反 射系数的计算。
能级和波函数的求
解
阐述如何利用WKB近似方法求解 体系的能级和波函数，包括连接 公式的应用和计算精度的提高。
05
散射理论
散射截面和散射长度
散射截面
描述粒子在散射过程中与靶粒子 发生相互作用的概率，与入射粒 子波长、靶粒子性质和相互作用 类型有关。
考研《量子力学教程》周世勋版2021量子力学考研复习笔记
考研《量子力学教程》周世勋版2021量子力学考研复习笔记第1章绪论1.1 复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。
黑体辐射、光电效应和固体的比热等一系类问题是经典物理无法解释的。
之后的旧量子论包括玻尔理论、爱因斯坦的光量子和德布罗意波粒二象性假说给物理学的发展带来了希望，它们也为量子力学的发展奠定了基础。
现代物理学中的两大支柱（量子力学、相对论）逐步验证并解释物理实验中的现象的同时，量子力学自身也在不断完善，并发展出了电磁场量子化理论、解释光子原子相互作用的量子电动力学、应用于原子中核子相互作用的量子色动力学理论，以及当下试图对引力场解释的超弦理论。
所以，不论是为了备考还是为了将来的物理学科研，学习好量子力学是十分重要的。
量子力学是现代物理学的基石，也是物理科研必备的工具。
【本章重难点】1．了解经典物理的成功和所面临的危机，以及量子力学的发展历史；2．掌握德布罗意波粒二象性关系；3．熟练运用玻尔-索末菲量子化条件。
一、波粒二象性（见表1-1-1）表1-1-1 波粒二象性相关概念图1-1-1 康普顿散射二、原子结构的玻尔理论1经典理论在解释原子结构上的困难（1）经典理论不能建立一个稳定的原子模型（运动的带电粒子发射电磁场）；（2）经典理论得出的频率是连续分布的，而实验中的原子光谱是分立的。
2玻尔假设表1-1-2 玻尔假设3索末菲量子化条件的推广式中，q 是电子的一个广义坐标；p 是对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈；n 是0和正整数，称为量子数。
该推广后的量子化条件可应用于多自由度的情况。
4玻尔理论缺陷（1）当理论应用到结构稍复杂于氢原子的其他原子比如氦原子时，结果与实验不符；（2）只能求出谱线的频率，而不能求出谱线的强度。
周世勋《量子力学教程》(第2版)-绪论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
子由能量为 Em 的定态跃迁到能量为 En 的定态时所吸收或发射的辐射频率 满足：
四、微粒的波粒二象性
1．玻尔理论所遇到的困难说明探索微观粒子运动规律的迫切性
在光的波粒二象性的启示下，德布罗意提出微粒具有波粒二象性的假设。
微粒的粒子性（E,p）与波动性（ , 或，k ）的关系满足
E h
p
h
n
k
这公式称为德布罗意公式，或德布罗意关系。
戴维孙-革末的电子衍射实验 该实验充分说明电子具有波动性，验证了德布罗意波的存在。
vd
v
8hv 3 c3
1
hv
dv ，
e kT 1
以及
（1）
v c ，
（2）
v dv d ，
（3）
有
dv d
v
()
d
d
c
v () 2
c
8 hc 1
5
hc
ekT 1
这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零，
的，这样则有
mT
hc xk
把 x 以及三个物理常量代入到上式便知
b mT 2.9 103 m K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较
《量子力学教程》第二版答案周世勋原著
《量子力学教程》第二版答案周世勋原著量子力学，这一神秘而又充满魅力的科学领域，对于许多学习者来说，既是挑战，也是探索未知的奇妙之旅。
周世勋先生的《量子力学教程》第二版无疑是众多教材中的经典之作。
而与之配套的答案，更是帮助我们在学习的道路上拨开迷雾、找准方向的重要工具。
在学习量子力学的过程中，理解那些抽象的概念和复杂的数学推导并非易事。
这本书的答案就像是一位耐心的导师，在我们困惑时给予指引。
它不仅告诉我们每一道题目的最终结果，更重要的是展示了得出结论的思维过程和推导步骤。
以波函数这一重要概念为例。
在书中的题目中，常常会涉及到波函数的求解和性质的探讨。
答案中会清晰地展示如何根据给定的条件，运用薛定谔方程逐步求解波函数。
通过答案的解析，我们能够明白为什么要采用特定的方法，以及每一步操作的背后原理。
这使得我们不仅仅是机械地记住解题方法，而是真正理解了波函数的本质和其在量子力学中的重要意义。
再来看量子力学中的算符。
算符的运算和性质是学习的重点也是难点。
答案对于涉及算符的题目，会详细地解释每一个算符的作用和运算规则，以及如何将其应用到具体的问题中。
比如，对于动量算符和能量算符，答案会展示如何通过它们来描述粒子的运动状态和能量特征。
这种详细的解释帮助我们建立起对算符的直观认识，从而更好地掌握量子力学的核心内容。
在处理态叠加原理的题目时，答案会通过具体的例子，让我们清楚地看到不同态之间是如何叠加的，以及叠加后的结果所代表的物理意义。
这对于我们理解微观粒子的不确定性和量子态的多样性具有重要的指导作用。
然而，仅仅依赖答案并不能让我们真正掌握量子力学。
答案只是辅助我们学习的工具，我们需要通过自己的思考和努力，去理解每一个概念和方法。
在参考答案的过程中，我们要学会举一反三，思考如果题目条件发生变化，应该如何运用所学的知识去解决问题。
同时，对于答案中的每一个步骤，我们都要认真思考其合理性和逻辑性。
如果有不明白的地方，要及时查阅教材和相关的参考资料，或者与同学、老师进行讨论。
周世勋《量子力学教程》配套题库课后习题态和力学量的表象【圣才出品】
第4章态和力学量的表象4.1求在动量表象中角动量L X ，的矩阵元和L X 2的矩阵元。
解：⎰⋅⋅'-'-=τπd e p z p y e L r p i y z rp i pp x)ˆˆ()21()(3⎰⋅⋅'--=τπd e zp yp e r p i y z rp i)()21(331()()()2i i p r p r z y y zei p p e d p p τπ'-⋅⋅∂∂=--∂∂⎰31()()()2i p p r z y y z i p p e d p p τπ'-⋅∂∂=--∂∂⎰（）()()yz z yi p p p p p p δ∂∂'=--∂∂ 。
同理：⎰''=τψψd L x L px p pp x 2*2)()(22()()y z z yp p p p p p δ∂∂'=--∂∂ 。
4.2求一维无限深方势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。
解：能量表象的基矢n 在坐标表象中表示为：x an a x u n πsin 2)(=相应的能量本征值为：22222a n E n μπ =。
坐标在能量表象中表示矩阵的对角元为：2sin 202a xdx a m x a x amm ==⎰π其非对角元为：02(sin )(sin )a mnm n x x x x dx a a aππ=⋅⋅⎰022221()()cos cos 4(1)1()()a m n m n m n x x x dx a a a a mnm n m n πππ+-+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--≠⎣⎦-⎰动量算符在坐标表象下可写为：p i x∂=-∂动量在能量表象中表示矩阵的对角元为：202sin 0ann i n n x p dx a a ππ-==⎰ 其非对角元为：2022()()sin sin2(1)1()()a mnm nn m n m n p i x x dx a a ai mn m n m n aπππ++-⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--≠⎣⎦-⎰ 4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
量子力学答案课后 习题答案详解(周世勋)
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
周世勋《量子力学教程》配套题库名校考研真题及详解绪论【圣才出品】
第1章绪论
1．设一个粒子的质量与人的质量相当，约为50kg，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。
说明其物理意义。
[电子科技大学2006研]
解：（1）动量ρ＝μv，德布罗意波长λ＝h/p＝h/（μv）＝6.63×10-34/（50×12）＝1.1×10－36m
（2）物理意义：晶体的晶格常数约为10－10m，所以，题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数，因此，无法找到一种仪器，其特征长度与题中的粒子对应的德布罗意波长相比拟。
故题中的粒子的波动性无法表现，无法观测到衍射现象。
2．利用波尔-索末菲量子化条件，求解在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径，相邻轨道的动能间隔。
[电子科技大学2006研]
解：（1）可能的轨道半径由玻尔-索末菲量子化条件
⎰=
⇒=⇒=∙ω
πm n r nh mv r nh dq p n n 2在磁场中作圆周运动的粒子满足Bq m T v r T r v m Bqv ππ222=⇒⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫==因T πω2=，于是：Bq
n r n =。
（2）相邻轨道的动能间隔∵m
Bq n E mr E k n k 22122 =⇒=ω
相邻轨道的动能间隔为
m
Bq E k 2 =∆。
周世勋《量子力学教程》学习辅导书-第4~8章【圣才出品】
5．幺正变换的两条重要性质 （1）幺正变换不改变算符的本征值； （2）幺正变换不改变矩阵 F 的迹。
三、狄拉克符号 1．狄拉克符号定义 量子力学中描写态和力学量，可以不用具体的表象，这样的描
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
—
⌒
为F＝ψ ＋Fψ ，归一化条件为 ψ ＋ψ ＝I，本征值方为Fψ＝λψ 。
【注】此处的态 ψ 已经是其在 Q 表象中的矩阵形式。
【重要结论】算符在其自身表象中是一个对角矩阵，主对角线上的各矩阵元的集就是该
算符所对应的本征值。
二、幺正变换 1．幺正矩阵 S＋＝S－1
A A 【注】幺正矩阵不是厄米矩阵，厄米矩阵满足 †
2．变换矩阵
3 / 116
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换。在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变
换，如 (x) Sn n (x) 中，以 Snβ 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。
n
变换矩阵的作用：通过变换矩阵，将 A 表象的基矢 ψ n 变换为 B 表象的基矢 φ β。 【例】在量子力学中，状态随时间的变化可写为：ψ （t）＝U（t）ψ （0）。其中，U （t）＝eiHt/ħ 是幺正算符。
在 Q 表象中的矩阵形式可以写为
a1
(t
)
ψ
a2
(t
)
,
ψ
(
a* 1
(t
),
a* 2
(t
),
L
,
a* n
(t
))
M
an (t)
【注】上述表达只针对分立谱情况，当同时存在连续谱和分立谱时，任意波函数 ψ（x，
周世勋量子力学教程习题解答
在球坐标中
∇
=
r r0
∂ ∂r
+
r eθ
1 r
∂ ∂θ
+
r eϕ
1 r sinθ
∂ ∂ϕ
(1)
r J1
=
ih 2m
(ψ1∇ψ1*
−ψ 1*∇ψ 1 )
=
ih [1 eikr 2m r
∂ ∂r
(1 e−ikr ) − r
1 r
e−ikr
∂ ∂r
(1 r
eikr
r )]r0
=
广义动量，所以相积分为
∫ ∫ pϕdϕ=
2π 0
pϕdϕ=2πµRv=2πeBR2 =nh，
n=1,2,L，由此得半径为
R=
nh ， n=1,2,L。 eB
电子的动能为
E=
1 µv2 2
=12µeµBR2
=
1 e2B2 2µ
enhB=nµBB
动能间隔为 ∆E=µBB=9×10−23J
热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E=kT，所以当 T=4K时， E=4.52×10−23J ；当
q = Asin(ωt +ϕ) 速度为 q′ = Aωcos(ωt +ϕ)，动量为 p = µq′ = Aµωcos(ωt +ϕ)，则相积分为
∫ ∫ ∫ pdq= A2µω2 T cos2(ωt +ϕ)dt= A2µω2 T (1+cos(ωt +ϕ))dt = A2µω2T = nh， n = 0,1,2,L
−ψ
*
(rr )e
−
i h
Et∇（ψ
(
rr)e
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第8章 量子力学若干进展
8.1 复习笔记
二十世纪初物理学初创量子力学和相对论，它们是当代物理学研究的两大基石，尤其是量子力学，影响着物理学研究的方方面面，也已成为物理学研究工作者的日常工作用语，虽然量子力学自身一直发展着，但还存在着很多未解之谜。
相比于经典物理，量子力学有着令物理学家着迷的事情，却又能与物理实验结果完美符合。
对于量子力学的不可思议之处，物理学家费曼曾经说过：“我可以肯定，在这个世界上没有人真正懂得量子力学。
”的确如此，量子力学是一门美妙的学问，一定不要仅仅把它当做一个考试的科目。
在量子力学的世界，有着很多有趣的问题去思考、去发掘。
本章节选了量子力学中典型的三方面内容（朗道能级、AB 效应和Berry 相位）。
虽然这些都不是考试的重点内容，但值得对量子力学感兴趣的读者认真阅读，进一步体会量子力学不同于经典物理的神奇之处。
一、朗道能级 1．能级推导
电子在均匀外磁场B （沿z 方向）中，取朗道规范后，得定态薛定谔方程
ψψψE p p y c B e p m H z y x =⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2
22
21
鉴于力学量（H ⌒
，p ⌒
x ，p ⌒
z ）互相对易，得相应本征态为
)(),,(/)(y e z y x z p x p i z
x
χψ +=
其中，χ（y ）满足谐振子能量本征值方程（平衡位置在y 0）
22
222
02d ()()()()()()2d 22z p m eB y y y y E y m y mc m
χχχ-+-=- 其中，0||x
cp y e B
=。
由此可得出朗道能级
2,1()22
z z p n
c p E n m ω=++
2．结果讨论
（1）从经典观点出发：电子沿磁场方向做螺旋运动。
从量子观点出发：电子沿磁场方向做自由运动，在xy 平面内绕z 轴旋转。
（2）磁场对能量贡献1||
()
2z e n B B mc
μ+=-，μz ＜0称为朗道抗磁性，与电荷正负无关，是自由带电粒子在磁场中的一种量子效应。
（3）二维电子气的朗道能级简并度是外磁场φ中含元磁通量子（0||
hc
e ϕ=）数目。
二、阿哈罗诺夫-玻姆效应
在经典电动力学中，场的基本物理量是电场强度E 和电磁感应强度B ，势A 是为了方便引入的，并不是真实的物理量。
但在量子力学中，势A 具有可观测意义。
1．实验及其现象
如图8-1-1，电子束从电子枪S 出射，流经双缝和两条路径P 1，P 2到达屏上。
在两条路径中放置一个垂直纸面的很长的电流螺线管，管内磁场强度B 垂直纸面向外（取为z 轴）。
当螺线管通以电流时，屏上出现的干涉条纹产生了移动。
图8-1-1 阿哈罗诺夫-玻姆效应实验示意图
2．现象讨论
当螺线管内有磁通Φ时，电子经过的外部空间B ＝0，但A ≠0时，因为对包围螺线管的任一闭合回路路径积分有
d A l ⋅=Φ⎰，矢势A 可以对电子发生相互作用。
因此，A-B
效应表明矢势A 具有可测量的物理效应。
它可以影响电子束的相位，从而使干涉条纹发生移动。
三、贝利相位
量子力学中最重要的是概率幅的存在，而在实验中只能观测到概率幅的模方，因此，存在相位的变化并不影响模方，它是所有干涉现象的根源。
1．贝利相位的引入
在绝热变化过程中，系统每一瞬间都是准静止的，满足瞬时定态薛定谔方程
H ⌒
（R （t ））|n （R （t ））〉＝E n （R （t ））|n （R （t ））〉 其中，〈n （R （t ））|m （R （t ））〉＝δmn 。
可以解得
()()()
()()
m
m i t i t t e e
m R t γ
αψ=
其中
()()0
1
d t
m m
t E R t α''=-
⎰
称为动力学相位。
()()()
()()0
d t
m t i t m R t m R t t γ∂
'''='
∂⎰
称为贝利相位，是实的。
2．贝利相位的意义 首先引入R 空间的“矢势”
()()()
m R A R i m R m R =∇
则贝利相位γm （C ）可表示为
()()d m m m S
C S B R γϕ=-⋅=-⎰⎰
上式说明贝利相位是参数空间磁场强度的磁通量的负值，与演化路径的几何结构有关，又称几何相位。
其中
()()
()()()()()()
()()2
Im m m R R n m
m n B R A R m R H n R n R H m R E R E R ≠=-∇⨯∇⨯∇=-⎡⎤⎣⎦
∑
称为参数空间的磁场强度。
8.2 课后习题详解
本章无课后习题。
8.3 名校考研真题详解
本章非重点，相关知识点在考研试题中涉及较少，可做选择性阅读。