届高考数学一轮复习讲义第一章集合与常用逻辑用语的综合应用

围是[7，＋∞)．
探究提高
求得 P，Q 后，也可得到“非 p”：P0＝(－∞，－4)∪(8，＋∞)， “非 q”：Q0＝(－∞，1－m)∪(1＋m，＋∞)．于是由“非 p” 是“非 q”成立的必要但不充分条件，知 Q0 P0.
变式训练 2
已知数列{an}满足 an＋an＋1＝2n＋1 (n∈N*)，求证：数列{an}为等 差数列的充要条件是 a1＝1. 证明 (1)必要性 若数列{an}为等差数列，则 a1，a2，a3 也成等 差数列，∴2a2＝a1＋a3.
又 a2＝3－a1，a3＝5－a2＝2＋a1， 从而，2(3－a1)＝a1＋(2＋a1)，∴a1＝1.
(2)充分性 由 a1＝1，得 a2＝3－a1＝2.
因为(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝[2(n＋1)＋1]－(2n＋1)＝2，
即 an＋2－an＝2，所以数列{a2k－1}是首项为 1、公差为 2 的等差数列， 数列{a2k}是首项为 2、公差为 2 的等差数列，从而 a2k－1＝1＋2(k －1)＝2k－1，a2k＝2＋2(k－1)＝2k，故 an＝n，进而 an＋1－an＝1， ∴{an}为等差数列. 故数列{an}为等差数列的充要条件是 a1＝1.
探究提高
在将 A，B 具体化后，宜结合图形(本例为数轴)分析集合间的关 系；对题(2)还可以进行反面思考：若 A∩B＝∅，则 a＋1≥0 或 a ＋4≤－1，即 a≥－1 或 a≤－5，从而得到 A∩B≠∅时，a 的取 值范围是(－5，－1)．
变式训练 1
已知集合 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，当 A∪B＝B 时，求实数 a 的取值组成的集合 P.
∵“p 或 q”为假命题，∴“p 假且 q 假”， －2a>1，
∴1a>1， a≠2，
解得 0<a<1，即 a 的取值范围是(0,1)．
易错警示
对命题否定不当致误
(14 分)已知 p：|3x－4|>2，q：x2－1x－2>0，r：(x－a)·(x－a－1)<0. (1)綈 p 是綈 q 的什么条件？
同理可得，q 为真时 x 的取值范围是集合 Q＝[1－m,1＋m]．
因为“非 p”是“非 q”成立的必要但不充分条件，所以“若非 q，
则非 p”是真命题，但“若非 p，则非 q”是假命题，即“若 p，则 q”
为真，“若 q，则 p”为假，故 P
Q，从而
1 m 4 1 m 8
，且不
等式组中两个等号不能同时成立，由此解得 m≥7，即 m 的取值范
由 A∪B＝B 知 A⊆B.
又 A＝{－4,0}，故此时必有 B＝{－4,0}， 即－4,0 为方程 x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0 的两根，
于是－(－44＋)×0＝0＝－a22－(a＋1，1)，
得 a＝1.即 P＝{1}．
充分条件、必要条件问题
例 2 已知 p：x2－4x－32≤0；q：[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0 (m>0)．若“非 p”是“非 q”成立的必要但不充分条件，求 m 的取值范围． p：－4≤x≤8，从而 p 为真时 x 的取值范围是集合 P＝[－4,8]．
规范解答
(1)p：|3x－4|>2，∴3x－4>2 或 3x－4<－2，
∴x>2 或 x<23，∴綈 p：23≤x≤2. q：x2－1x－2>0，即 x2－x－2>0，
[2 分]
令 x2－x－2＝0，得 x1＝－1，x2＝2. ∴x2－x－2>0 的解集为{x|x<－1 或 x>2}．
[4 分]
∴綈 q：{x|－1≤x≤2}，
(2)若綈 r 是綈 p 的必要非充分条件，求实数 a 的取值范围．
学生解答展示
审题视角
(1)可以求出 p、q 的不等式的解集，再对 p、q 否定，即求出 它们对应不等式的解集的补集，也可以直接对不等式否定，但 注意对分式不等式否定时，注意分母为零的情况． (2)綈 r 是綈 p 的必要非充分条件等价于綈 p⇒綈 r 且綈 r⇒ 綈 p.
一轮复习讲义
集合与常用逻辑用语 的综合应用
集合问题
例 1 已知集合 A＝{x|y＝ 1 2 x 1 }，B＝{x|[x－ x 1
(a＋1)][x－(a＋4)]<0}，分别根据下列条件，求实数 a
的取值范围．
(1)A∩B＝A； (2)A∩B≠∅.
由1 2 x 1 ≥0，得 x 1
x x1
有关逻辑联结词的问题
例 3 已知 a>12且 a≠1，条件 p：函数 f(x)＝log(2a－1)x 在其定义域 上是减函数，条件 q：函数 g(x)＝ x＋|x－a|－2的定义域为 R.
如果“p 或 q”为真，试求 a 的取值范围．
若 p 为真，则 0<2a－1<1，得12<a<1. 若 q 为真，则 x＋|x－a|－2≥0 对∀x∈R 恒成立．
变式训练 3
已知 a>0，命题 p：方程 a2x2＋ax－2＝0 在[－1,1]上有解；命题 q：只有一个实数 x 满足不等式 x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p 或 q” 是假命题，求 a 的取值范围．
方程 a2x2＋ax－2＝0，即(ax＋2)(ax－1)＝0， ∴x＝－2a或 x＝1a. 不等式 x2＋2ax＋2a≤0 只有一个实数解， 即 Δ＝(2a)2－8a＝0，∵a>0，∴a＝2.
记 f(x)＝x＋|x－a|－2，
则 f(x)＝2ax－－2a，－2，
x≥a， x<a，
∴f(x)的最小值为 a－2，故 q 为真即为 a－2≥0，即 a≥2.
∵“p 或 q”为真，∴p 真或 q 真． ∴a 的取值范围为12<a<1 或 a≥2.
探究提高
(1)首先求出 p 真、q 真的条件，即 a 的范围． (2)由“p 或 q”为真，判断出 p、q 的真假．
≥0，即
x ≤0＋4)． a 1 1,
(1)A∩B＝A，即 A⊆B，故 a 4 0, 得－4<a≤－2，故 a 的取值范围是(－4，－2]．
(2)若 A∩B≠∅，则
a 4 1 a 1 0
，得－5<a<－1，
故 a 的取值范围是(－5，－1)．