三重积分的计算及重积分的应用

0 r 2a cos : 0 0 2
则立体体积为

r
M
x d v r 2 sin d d dr
o
y
V d xd yd z

2
0
d
0 sin d

2 a cos 2 r dr 0
3 16 a 3 4 a 3 4 cos sin d ( 1 cos ) 0 3 3
D
d x d y
d
1 3 r dr 0
令 x x0 r cos , y y0 r sin
π r r d r d π
2 D
2π
0
π 2
例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的
z
2a
内接锥面所围成的立体的体积.
解: 在球坐标系下空间立体所占区域为
0
t
第四节 重积分的应用
一、立体体积 二、曲面的面积
三、物体的质心
第十章
四、物体的转动惯量
五、物体的引力
二重积分的元素法
若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性： （即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和）， 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时， 相应地部分量可近似地表示为f(x,y) dσ的形式，其中(x,y) 在dσ内。 d f(x,y) dσ称为所求量U的元素， 记为dU，则所求量的积分表达式为：
2
2
所求曲面： z x 2 y 2 投影区域： D : x 2 y 2 x z x z y 2 2 x x y y x2 y 2
A
D
z 2 z 2 1 ( ) ( ) d x y
2d
2 2 4
D
作业
P155
x
k ( k ,k , k )vk
k 1 n
n
( k ,k , k )vk
k 1
令各小区域的最大直径 0 , 即得
x ( x, y, z ) d x d y d z x ( x, y, z ) d x d y d z
同理可得
z 2 z 2 1 ( ) ( ) d x d y x y
A
D
若光滑曲面方程为 x g ( y, z ) , ( y, z ) D y z , 则有
Dy z
若光滑曲面方程为 y h ( z , x) , ( z , x) Dz x , 则有
A Dz x
任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V .
第一步: 求切平面 方程; 第二步: 求 与S2的交线 在xOy面上的投影, 写出所围区域 D ; 第三步: 求体积V .
(示意图)
例1. 求曲面
任一点的切平面与曲面
所围立体的体积 V . 的切平面方程为 解: 曲面 S1在点
2 2 z 2 x0 x 2 y0 y 1 x0 y0 2 2
二、三重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法
练习题 P183 题7 把积分
化为三次积分, 及平面
二、曲面的面积
曲面方程： z f ( x, y ),( x, y ) D D:有界闭区域
求曲面的面积 A
设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M ( x, y, z ) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , 则
z
S
n
M
d cos d A
0
1
其中 由 z x 2 y 2 与 例2 计算 ( x z )dv，

z 1 x 2 y 2 所围成的．
解 关于 yoz 面为对称，f ( x , y , z ) x 为 x 的 奇函数， 有 xdv 0.

( x z )dv zdv
将定积分的元素法推广到二重积分，可得二重积分的元素法：
U dU f ( x, y)d
D D
一、立体体积
一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为
V f ( x, y )d xd y
D
• 占有空间有界域 的立体的体积为
V d xd yd z

例1. 求曲面 分析:
解 在球坐标系下
F ( 0) 0 利用洛必达法则与导数定义,得 2 f ( t ) f ( 0) 4 f ( t ) t F (t ) f ( 0) lim lim lim 3 4 t 0 t 0 t 0 t 0 t 4 t
4 f ( r ) r 2 d r
设曲面的方程为： y h( z , x) 曲面面积公式为：
A
Dzx
y 2 y 2 1 ( ) ( ) dzdx z x
2 2 2 求球面 被平面 z a x y 例3
z h(0 h a) 所截的球冠的面积。
解： z a2 x2 y 2 z h 球冠在 xoy 面上 的投影区域：
它与曲面
的交线在 xOy 面上的投影为
V 2 x0 x 2 y0 y 1 x0 y0 x 2 y 2 d x d y
2 2
D
( x x0 ) ( y y0 ) 1 (记所围域为D )
1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
a z 2 z 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 a x y x y
A
D
D : x 2 y 2 a 2 h2
a z 2 z 2 dxdy 1 ( ) ( ) d 2 2 2 x y a x y D
a 2 h2
d
( 2)当被积函数f ( x , y , z )是关于z的偶函数时, 三重 积分为在xOy平面上方的半个闭区域 的三重积 分的两倍 .
其它情形依此类推.
P182 题1(1) 设有空间闭区域
1 {( x, y, x) | x 2 y 2 z 2 R2 , z 0}
2 {( x, y, x) | x2 y2 z 2 R2 , x 0, y 0, z 0}
解 被积函数仅为z 的函数，截面 D( z ) 为圆域 x 2 y 2 1 z 2，故采用＂先二后一＂ 法．
z z e d v 2 e dv 1
2 [ dxdy ]e z dz
0 D( z )
1
2 (1 z 2 )e z dz 2 .
分wenku.baidu.com积分法 利用对称性
利用对称性简化三重积分的计算： 1. 积分区域关于坐标面的对称性. 2. 被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇 偶性.
只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才 能简化.
三重积分计算的简化
一般地 , 如果积分区域关于xOy平面对称. (1)当被积函数f ( x , y , z )是关于z的奇函数时, 三重 积分为零 .
P175
10
1， 2， 3
习题课
三、物体的质心
三、物体的质心
设空间有n个质点, 分别位于 ( xk , yk , z k ) , 其质量分别 为 mk ( k 1, 2 , , n ) , 由力学知, 该质点系的质心坐标
为
x
x k mk
k 1 n
n
mk
k 1
,
y
y k mk
y 2 y 2 1 ( ) ( ) d zd x z x
且
则
若光滑曲面方程为隐式
Fy Fx z z , , x Fz y Fz
( x, y ) D x y
2
A Dx y
Fx Fy Fz Fz
2
2
dx d y
曲 面 面 积
A 1 f x 2 f y 2 d
z
o x
5 y
z r sin 1 2 2r x 5
:
0 r 10 0 2
2 0
原式 d
0
10 3
250 r dr r 2 d x 3 2
5
三重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性简化计算
3. 消去被积函数绝对值符号
D : x 2 y 2 a 2 h2
z a2 x2 y 2
z x 2 2 2 x a x y
D : x 2 y 2 a 2 h2
z y x a2 x2 y 2
2 2 z 2 z 2 x y 1 ( ) ( ) 1 2 2 2 2 x y a x y a x2 y 2 a a2 x2 y 2
D
其中D是曲面在坐标面z=0上的投影区域 求曲面面积的步骤： （1）求曲面在坐标面z=0上的投影区域D （2）在区域D上计算二重积分：
A 1 f x 2 f y 2 d
D
同理可得 设曲面的方程为：x g ( y, z ) 曲面面积公式为：
A
Dyz
x 2 x 2 1 ( ) ( ) dydz y z

利用球面坐标
2
d
0
2

4d 0
r cos r sin dr
0
1

8
.
例3 其中 F ( t )
2
x y2 z2 t 2

1 求 lim 4 F ( t )， t 0 t f ( x2 y2 z2 )d x d y d z
0
2
a a2 r 2
0
rdr
2 a (a h)
2 aH ( H a h)
A 2 a (a h)
A 2 aH
半球面面积：
A lim2 a(a h) 2 a 2
h0
球面面积：
A 4 a 2
例4
2 2 x y x 求圆锥面 z x y 被圆柱面 所截部分的面积。
k 1 n
n
mk
k 1
, z
z k mk
k 1 n
n
mk
k 1
设物体占有空间域 , 有连续密度函数
则
采用 “分割，近似，求和，取极限” 可导出其质心
公式 , 即:
将 分成 n 小块, 在第 k 块上任取一点 将第 k 块看作质量集中于点 的质点, 此质点
系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如,
则有（
1
( A) xdv 4 xdv
2
C）
( B) ydv 4 ydv
1 2
(C ) zdv 4 zdv
1 2
( D) xyzdv 4 xyzdv
1 2
典型例题
z 2 2 2 例1 计算 e dv， : x y z 1.
cos
(见P99) 1
2 2
o x
n
y d
z
1 f x ( x, y ) f y ( x, y )

d A 1 f x 2 ( x, y ) f y 2 ( x, y ) d
(称为面积元素)
dA d M

故有曲面面积公式
A
即
D
1 f x 2 ( x, y ) f y 2 ( x, y ) d
其中由曲面 所围成的闭区域 . 提示: 积分域为
:
1
原式 d x d y
1
1
x2 y2
x2
f ( x , y, z )dz
0
P183 题8(3) 计算三重积分
其中是由
xoy平面上曲线
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域 . xx 提示: 利用柱坐标 y r cos
y ( x, y, z ) d x d y d z y ( x, y, z ) d x d y d z z ( x, y, z ) d x d y d z z ( x, y, z ) d x d y d z