《应用数理统计》吴翊李永乐第一章数理统计的基本概念课后习题

第一章 数理统计的基本概念

课后习题参考答案

设对总体X 得到一个容量为10的子样值：，，，，，，，，，，试分别计算子样均值X -

和子样方差

2S 的值。

解：12,n X X X 为总体X 的样本，

根据 121

()n X X X X n

=

+++ 求得X =；

根据2

21

1()n i i S X X n ==-∑ 求得2

S =。

设总体X 的分布函数为()x F ，密度函数为()x f ，n X X X ,,,21 为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 与最小顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。 解：

将总体X 中的样本按照从小到大的顺序排列成()()()n X X X ≤≤≤ 21

()()()()()()[]n

n n n x F x x P x x P x x P x x P x F =<<<=<= 21

()()[]()()x f x nF x F x f n n n 1'

-==

()()()()()

()[]()[]()[]()[]

n

n n x F x x P x x P x x P x x P x x P x x P x x P x F --=<-<-<--=≥≥≥-=<=1111111212111

()()[]()[]

()x f x F n x F x f n 1

111'--==

设总体X 服从正态分布N(12,4),今抽取容量为5的子样521,,,X X X ，试问： (1)子样的平均值X 大于13的概率为多少

(2)子样的极小值(最小顺序统计量)小于10的概率为多少 (3) 子样的极大值(最大顺序统计量)大于15的概率为多少 解：

(

)

∑==n

I i X n X N X 1

2

1,,~σμ

()()⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=

=⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∑∑==5412,N ~X 54

11212121n

X D n X D X E n X E n i i n i i σμ，

(1)()()

1314.08686.0112.1n /-X 15/41213n /-X P -113X P -113X P =-=⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛≤-=⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-≤=≤=>σμσμP

(2) ()()()5785

.08412.011-X P -121210-X P -110P -110P 5

5

1

i 5

1

i 5

1min =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪

⎭⎫ ⎝⎛->=>=<∏∏∏===i i i i X X σμσμ

(3) ()()()2923

.093315.015.1-X P -121215-X P -115P -115P 5

5

1

i 5

1

i 5

1max =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪

⎭⎫

⎝⎛->=≤=>∏∏∏===i i i i X X σμσμ

试证： （1）

2

2

21

1()()

()n n

i

i

i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑ 对任一实数a 成立。并 且此证明当

a x =时，21

()n

i i x a =-∑达到极小。

（2）2

2

2

11

()n n

i i i i x x x nx ==-=-∑∑ 其中 11n

i i x x n ==∑

证明：

（1）

2

2

1

1

()()

n n

i

i

i i x a x x x a ==-=-+-∑∑

2

2

1

1

1

()()

2()()n

n

n

i

i i i i x x x a x x x a ==-=

-+-+--∑∑∑

2

2

1211()()

2()()n n

i

n i i x x x a x x x nx x a ===

-+-++++--∑∑

2

2

11

()()

n

n

i

i i x x x a ===

-+-∑∑

2

21

()

()n

i

i x x n x a ==

-+-∑

2

22

1

11

()2n

n

n

i

i

i i i i x a x

na a x ===-=+-∑∑∑

2

1

(2)n

i

i x n a

ax ==

+-∑

求函数的极值，对变量进行求导，这里对变量a 求导 得 220a x -= 即 a x =

根据数学分析中的结论，当仅有一个极值时，那么同时也 是其相应的最值。 (2)

2

2

1

11

()2n n

n

i

i

i i i i x x x nx

x x ===-=+-∑∑∑

2

1212()n

i n i x nx x x x x ==

+-++

+∑

2

2

12n

i i x nx

nx ==

+-∑

2

1

n

i i x nx ==

-∑

设n X X X ,,,21 为正态总体()2

,σμN 的样本，令∑=-=n

i i X n d 1

1μ

试证：()()n d d E 2

21D 2

σ

πσπ⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-==， 证明:

令μ-=i i x y 则()

2

,0~σN y i

()()()σπ

σ

πσ2

21220

2

20

2

⎰

⎰

∞

+-∞

+=

===i y i

i i i i dy e

y dy y f y y E d E i