第5讲 高斯光束

x2 y 2 kz k ;z R 2R
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 瑞利长度
– 当光束从束腰传播到 z z 0处时，光束半径 ( z ) 2 0 ， 即光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范 围，从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度，通 常记作 f 。 – 在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围 内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直距离。 从瑞利长度表达式 z 0 20 / 可以得出结论，高斯 光束的束腰半径越小，其准直距离越长，准直性越好。
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯光束的孔径
– 从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为： – 则其光强分布为：
– 考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一 半径为a的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计 算可以得到不同孔径的功率透过率。
2r 2 I (r ) I 0 exp 2
• q0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到 的光线矩阵比较：
k2 cos k0 z A B C D k2 k2 sin k0 z k0 k2 k0 sin k0 z k2 k2 cos k0 z
– C1不影响振幅和相位的分布，因此可以设C1=0。
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 将上述结果代入到 的表达式中有：
z K 2 E 0 exp i i ln 1 r q 0 2(q 0 z )
Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
0 r2 E E0 exp 2 ( z) ( z)
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯光束基本特性
– 振幅分布特性 由高斯光束的表达式可以得到：
0 r2 E E0 exp 2 ( z) ( z)
98.89%
2ω
99.99%
功率透过比
– 在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只 要光学元件的孔径大于3ω/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透 过。
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 远场发散角
– 从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利 长度之外，高斯光束迅速发散，定义当 z 时高斯光束振幅减小到 最大值1/e处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）：
r2 A(r ) A0 exp 2
P T P
I (r )2 rdrd 1 exp 2 I (r )2 rdrd 孔径半径a
0 0 2 0 0

2
2
2

ω/2
39.3%
ω
86.5%
3ω/2
(1)
• 满足该表达式的q0有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的q0可以 得到有物理意义的波，因此假设q0具有如下表达形式：
2 2 0 q0 i , k
• 将q0的表达式带入（1）式中，其指数的两项可以分别表示为： z 1 z 1 exp ln 1 i 2 exp i tan 2 0 1 ( z / 20 ) 2 0
• 人为定义以下参数：
2 z 2 z2 2 2 ( z ) 0 1 2 0 1 2 z0 0 20 2 z 20 R ( z ) z 1 z 1 2 z z z 1 z 1 ( z ) tan 2 tan z0 0 20 z0
1 1 20 i (2) 仍取 q 0 i ，则q(z)可以表示成： 2 q( z ) R( z ) ( z )
r2 kr 2 i 将(2)式代入(1)式可以得到： exp 2 ( z ) 2 R( z )
其中ω(z)是光斑半径，R(z)是等相位面曲率半径，其物理意义同均 匀介质中的基本高斯光束解相同，然而数学表达式比较复杂。
在z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。 将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e时，离光轴的距离 r 定义为该处的光斑半径。 2 由 ( z ) 的定义可以得到： ( z )
1
20 即光束半径随传输距离的变化规律为双
曲线，在z=0时有最小值 被称为高斯光束的束腰位置。
( z) z2 2 1 z0
•上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项。 •为什么是这个解？还有其他解吗？
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯分布：
– 在统计学中更多的被称为正态分 布，它指的是服从以下概率密度 函数的分布： x 2 1 f ( x; , ) exp 2 2 2
lim
z
( z)
z

wenku.baidu.com 0 z0
– 包含在全远场发散角内的光束功率占 高斯光束总功率的86.5%
• 高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波，在传播过程中 曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一高斯分布，强度集中在轴 线及其附近，且等相位面保持球面。
5.2 类透镜介质中的高斯光束
Aq 0 B q( z ) Cq 0 D
5.3 均匀介质中的高阶高斯光束
• 前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位 0 ，则算符可以表示为： 角无关，如果考虑方位角的变化
2 1 1 2 2 2 r r z 2 r r
2
• 此时波动方程的特解为：
– 可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球 面，球面的球心位置随着光束的传播不断变化，由R(z)的表达式可知： – z=0时， ( z ) ,此时的等相位面是平面； R – z 时， R( z ) z ， 此时等相位面也是平面； – z z 0 时，R( z ) 2 z 0 ， 此时的等相位面半径最小；
kr 2 r 2 ikr 2 exp exp 2 2(q 0 z ) 0 1 ( z / 20 ) 2 2 z 1 ( z / 20 ) 2
5.1 均匀介质中的高斯光束
激光原理与技术·原理部分
第5讲 高斯光束
5.0 类透镜介质中的波动方程
• 从麦克斯韦方程组出发，推导出各向同性、无电荷分布介质中的波动 2 方程为： E 2
u
• 若假设其解为修正平面波，且将类透镜介质折射率表达式带入其中可 以得到： 2 2ik ' kk 2 r 2 0
• 类透镜介质中k2≠0，此时的简化波动方程为：
1 2 1 ' k 2 0 q( z ) q( z ) k p '( z ) i q( z )
• 其解仍可以采用与均匀介质中相类似的处理方式得到，最终可以求出：
k2 k2 k q 0 cos z sin z k k2 k q( z ) k2 k2 k2 q 0 sin z cos z k k k
5.1 均匀介质中的高斯光束
– 均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2=0时的类透镜介质， 此时简化波动方程为：
1 S '( z ) 代入上式得到 S ' S " S ( S ') 0 – 引入一中间函数S，使 S2 S q( z ) S ( z )
2 2
将上述参数带入到光场的表达式， 整理可以得到光场的表达式： E ( x, y , z ) ( x, y, z )e ikz
0 kr 2 E0 exp i kz ( z ) i ( z) 2q ( z ) E0 1 0 ik exp i kz ( z ) r 2 2 ( z) ( z ) 2 R( z )
0 ，这个位置
1/ e
Z
Z
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 等相位面特性
– 从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为： kr 2 r2 1 z ( x, y, z ) kz ( z ) k z tan 2 2 R( z ) 2 R( z ) 0 – 将上式同标准球面波的总相移表达式比较：
t
2
E
• 其中
( x, y, z ) 为修正因子，若假设其形式为：
k 2 E 0 exp i p ( z ) r 2q ( z )
• 可得到简化的波动方程：
1 2 1 ' k 2 0 q( z ) q( z ) k p '( z ) i q( z )
0 r 2 kr 2 E0 exp 2 exp i kz ( z ) ( z) ( z) 2 R( z ) •该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解，其横向依赖 关系只包含r，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。
5.2 类透镜介质中的高斯光束
• 前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形 k2 k2 式： k
q 0 cos z sin z k2 k k q( z ) k2 k2 k2 q 0 sin z cos z k k k
1 1 ' 0 2 q q
– 得出 S " 0 该微分方程的解为 – 则
S az b ，a、b为复常数
b z q0 a
1 a q ( z ) az b
q z
– 由p与q的关系得到
p'
i i q z q0
z p i ln 1 C1 q0
5.2 类透镜介质中的高斯光束
• 类透镜介质中的基本高斯光束解仍然可以采取 E 0 exp i p( z ) k
的形式，如果我们只讨论其中包含r2的指数部分：
kr 2 exp i 2q ( z ) (1)


r 2 2q ( z )