经济博弈论 02 完全信息静态博弈(Park)

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第二章 完全信息静态博弈
分析思路 纳什均衡 混合策略和混合策略纳什均衡 * 纳什均衡的存在性 * 纳什均衡的选择和存在性

2014-6-24
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楔子
本章介绍完全信息静态博弈。完全信息静态博弈即 各博弈方同时决策，且所有博弈方对各方得益都了解 的博弈。囚徒的困境、齐威王田忌赛马、猜硬币、石 头剪子布、古诺产量决策都属于这种博弈。完全信息 静态博弈属于非合作博弈最基本的类型。 本章介绍完全信息静态博弈的一般分析方法、纳什 均衡概念、各种经典模型及其应用等。
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2.1 Cont.
妻（囚徒 2 ） 坦白 不坦白 夫 （囚徒1 ） 坦白 不坦白 -5， -5 -8， 0 0， -8 -1， -1
Payoff
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2.1 Cont.
二、下策均衡

严格下策（dominate str.）：不管其它博弈方的策略
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
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2.2 纳什均衡
一、纳什均衡的定义 博弈方：1,…,n ；表示有n个博弈方 策略空间：S1, ...,Si,…Sn,博弈方 i 的第 j 个策略 Sij∈ Si 博弈方 i 的得益： ui 博弈：G={S1, ...Sn; u1, ...un} 纳什均衡：在博弈 G={S1, ...Sn; u1, ...un}中，如果由各个博 弈方的各一个策略组成的某个策略组合 {S1*, ...Sn*}中，任一 博弈方 i 的策略 Si*, 都是对其余博弈方策略的组合 {S1*, ... Si-1*, Si+1*,… Sn*}的最佳对策，也即对任意

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2.4 混合策略和混合策略纳什均衡

一、猜硬币博弈
猜硬币方
正面 反面
正面 盖硬币方 反面
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
（1）不存在前面定义的纳什均衡策略组合 （2）关键是不能让对方猜到自己策略
这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念
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守卫睡觉时的得益
守卫不睡觉 时的得益
-D - D’
0
p*
p=1
加重对首位的处罚：短期中的效果是使守卫真正尽职 在长期中并不能使守卫更尽职，但会降低盗窃发生的概略

maxu1=maxq1[100- (q1+q2+q3); ] –q1c; q1 maxu2=maxq2[100- (q1+q2+q3); ] –q2c; q2 max q3 u3=maxq3[100- (q1+q2+q3); ] –q3c; q1*=q2*= q3*= 24, u1*=u2*= u3*= 576
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Cont
证明：纳什均衡与严格下策反复消去法(反证法) 命题1：如果 消去所有后余下的{Si*, S-i*}不是纳什均衡 不是纳什均衡，一定存在那么{Si’, S-i*}， 使得{Si*, S-i*}<{Si’, S-i*}。 然而，反复消去法消去了{Si’, S-i}， 说明{Si*, S-i}>{Si’, S-i} {Si*, S-i*} in{Si*, S-i}, {Si’, S-i*} in {Si’, S-i} 所以， {Si*, S-i*} > {Si’, S-i*} 命题2： 如果纳什均衡{Si*, S-i*} 被严格下策反复消去; 那么必然存在一个Si‘, 使得{Si’, S-i} >{Si*, S-i} 进而， {Si‘, S-i*} > {Si*, S-i*} 与纳什均衡的定义，矛盾

q2
R1(q2)
R2(q1)
(3,0) (6,0) q1 古诺模型的反应函数图示
maxu1 max(6q1 q1q2 q12 )
q1
(0,6) (0,3)
q1 R1 (q2 ) 1 2 ( 6 q2 ) q2 R2 (q1 ) 1 2 (6 q1 )
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ui(S1*, ... Si-1*, Si*, Si+1*, ... Sn*) ≥ui(S1, ... Si-1*, Sij, Si+1*,… Sn*)
都成立，则称 {S1*, ...Sn*}为G的一个纳什均衡
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Cont.
二、纳什均衡的一致预测性质 一致预测：如果所有博弈方都预测一个特定博弈结果会 出现，所有博弈方都不会利用该预测或者这种预测能力 选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有偏 离这个预测结果的愿望，因此预测结果会成为博弈的最 终结果 只有纳什均衡才具有一致预测的性质 一致预测性是纳什均衡的本质属性 一致预测并不意味着一定能准确预测，因为有多重均衡， 预测不一致的可能
Cont。
伯特兰德寡头模型模型 Player：厂商1，2 Strategy：[0 ,p1max], [0 ,p2max] Payoff: q1(p1, p2)=28- p1-0.5p2 , q2(p1, p2)=28- p2-0.5p1 , c1=c2=2; u1=(p1-2)(28- p1-0.5p2); u2=(p2-2)(28- p2-0.5p1); Howe to find the equilibrium? maxu1=max(p1-2)(28- p1-0.5p2); p1 max u =max(p2-2)(28- p2-0.5p1); p 2
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2.1 基本分析思路和方法
一、上策均衡 上策（dominate str.）：不管其它博弈方选择什么策略， 一博弈方的某个策略给他带来的得益始终高于其它的策 略，至少不低于其他策略的策略 ui (Si*, S-i )≥ ui (Si, S-i)


上策均衡：一个博弈的某个策略组合中的所有策略都是 各个博弈方的上策，则称为上策均衡。 *** 上策均衡必然是该博弈比较稳定的结果 上策均衡不是普遍存在的
p = 0.8， q = 0.8
u 1= 2.6， u 2= 2.6
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Cont.

Player 2 C (q) D (1-q)
博弈方2选C的收益(p混) 2， 3 5， 2 A (p ) 3p+1(1-p)=1+2p Player 1 博弈方2选D的收益(p混) 3， 1 1， 5 B (1-p) 2p+5(1-p)=5-3p 博弈方1选A的收益(q混) Payoff 2q+5 (1-q) =5-3q 博弈方1选B的收益(q混)： 3q+1(1-q)=1+2q
如何变化，给一个博弈方带来的收益总是比另一种 策略给他带来的收益小的策略,


ui (Si’ , S-i) ≥,> ui (Si*, S-i ) ,分别称为弱下策、严格下策 严格下策反复消去 Player 2 R L M
U D 1， 0 0， 4 1， 3 0， 2
Payoff
Player 1
0， 1 2， 0
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2.1 Cont.
寻找均衡的技术技巧 划线法

1， 0 0， 4 囚 徒 困 境 1， 3 0， 2 0， 1 2， 0 夫 妻 之 争
-5， -5 -8， 0
0， -8 -1， -1
2， 1 0， 0
0， 0 1， 3
猜 硬 币
-1， 1
1， -1

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Cont.
三、一个例子 该博弈无纯策略纳什均衡，可用混合策略纳什均衡分析
Player 2 C (q ) D (1-q) A (p) B (1-p)
Player 1
2， 3 3， 1
Payoff
5， 2 1， 5
I 的混合策略(p)：3p+1(1-p)=2p+5(1-p) II的混合策略(q)：2q+5(1-q)=3q+1(1-q) u1 = p[2q+5(1-q)]+(1-p)[3q+1(1-q)]=2.6 u2 = q[3p+1(1-p)]+(1-q)[2p+5(1-p)]=2.6
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二、混合策略、混合策略博弈和混合策略纳什均衡 混合策略：在博弈 G={S1, ...Sn; u1, ...un} 中，博弈方 i 的策 略空间 {Si1, ...Sik} ，则博弈方 i 以概率分布{pi1, ...pik}随机在 其k个可选策略中选择的“策略”，称为一个“混合策略”， 其中0< pij <1 , 对 1< j <k,都成立， pi1+ ...pik=1 混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空间（概率 分布空间）的选择看作一个博弈，就是原博弈的“混合策略 扩展博弈）。 混合策略纳什均衡：包含混合策略的策略组合，构成纳什 均衡。
如果总体来看， maxQ[100- Q ] –Qc; Q*=48,u=2304 公共资源的悲剧！！！
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Cont.
反应函数的问题和局限性 有此博弈中，博弈方的策略是有限且非连续时， 其得益函数不是连续可导函数，无法求得反应 函数，从而不能通过解方程组的方法求得纳什 均衡。 即使得益函数可以求导，也可能各博弈方的得 益函数比较复杂，因此各自的反应函数也比较 复杂，并不总能保证各博弈方的反应函数有交 点，特别不能保证有唯一的交点。