2-2 平稳随机过程和各态历经过程(课堂PPT)

(x1)d x1
2 X
3
2、性质
二维分布只与时间间隔τ= t2- t1有关，即有
f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2;τ)
fX (x1, x2;t1,t2 ) fX (x1, x2;t1 ,t2 ) 令t1 fX (x1x2;0,t2 t1) fX (x1, x2; )
广义各态历经过程，简称各态历经过程。
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2.2.3各态历经过程
各态历经的含义： 随机过程中的任一次实现都经历了随机
过程的所有可能状态。
具有各态历经性的随机过程一定是平稳 随机过程，但平稳随机过程却不一定都具有 各态历经性。
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例题
例2 某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc 均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。
0
(2)自相关函数各态历经判别定理
平稳过程X(t)的自相关函数具有各态历经性充要条件
1
lim T T
2T 0
(1
1
2T
)[B(1)
R2 X
(
)]d1
0
式中： B(1) E[ X (t 1) X (t 1) X (t ) X (t)]
(1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则E[ X k (t)]与时间t无 关。
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相同的统 计特性。
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2.2.2 宽平稳过程
1、定义 若随机过程 X(t)满足 mX (t) mX RX (t1, t2 ) E( X t1 , X t2 ) RX ( ) 2 (t) E[X 2(t)]
3 、各态历经过程和平稳过程的关系
各态历经过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是各态 历经的。（各态历经过程必定平稳由遍历定义即可知）
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4 、各态历经过程的两个判别定理
(1) 均值各态历经判别定理
平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件
1
lim T T
2T
(1
0
2T
)[RX
(
)
m2 X
]d
RX (t1,t2 ) x1, x2 fX (x1, x2;t)dx1dx2 RX( )
CX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) mX (t1)mX (t2 ) RX ( ) mX2 CX ( )
4
3、严平稳的判断
按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳， 需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难 的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是 严平稳的，具体方法有两个：
2.2 平稳随机过程和各态历经过程
2.2.1 严平稳过程 2.2.2宽平稳过程 2.2.3 各态历经过程 2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
1
2.2.1 严平稳过程
1、定义
一个随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数 与时间起点无关，即对任意的正整数n和所有实数τ， 随机过程X(t)的n维概率密度函数满足：
T /2
T /2
T / 2 cosc dt T / 2 cos(2ct c 2 )dt
A2 2
cosc
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例题
比较统计平均（例1）与时间平均，得
mX= mX
R(τ)= R( )
因此，随机相位余弦波是各态历经过程。
15பைடு நூலகம்
2、应用
一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经过程 的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代 替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T不可能无限长， 只要足够长即可。
讨论X(t)是否具有各态历经性。
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例题
解： X(t)的时间平均为：
lim X (t)
1
T T
T /2
T /2 Acos(ct )dt 0
X(t)的时间相关函数：
lim R( )
1
T T
T /2
T /2 Acos(ct ) Acos[c (t ) ]dt
lim A2 T 2T
f1(x1, t1)=f1(x1)
f X (x1;t1) f X (x1;t1 ) 令t1 fX (x1;0) fX (x1)
E[ X (t)] x1 f X (x1)dx1 mX
E[ X 2 (t)]
x12
fX
(x1)d x1
X2
D[X (t)]
(x1
mX )2
fX
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例题
解：
X(t)的数学期望为
mX (t) E[ X (t)]
2
0
A cos(ct
)
1
2
d
A
2
2
0 (cosct cos sin ct sin )d
A
2
[cosct
2
0
cosd
sin ct
2
0
sind ] 0(常数）
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例题
X(t)的自相关函数为
R(t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
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2.2.3各态历经过程
1、定义
对平稳随机过程，如果它的统计平均值等于它的 任意一次实现（样本）的时间平均值，即：
1
X (t) lim T T
T
2 T
x(t)dt
E[ X
(t)]
mX
2
RX
(
)
T
lim
1 T
T
2 T
x(t)x(t
)dt
E[ X
(t ) X
(t
)]
RX
(
)
2
称平稳随机过程具有各态历经性(遍历性)，X(t)称为
fX(x1,x2,···,xn;t1,t2,···,tn)= fX(x1,x2,···,xn;t1+ τ,t2 + τ,···,tn+ τ)
则称X(t)是严格意义下的平稳随机过程（严平稳随机过
程或狭义的平稳随机过程 ）。
严平稳过程的n维概率密度不随时间起点不同而改变。
2
2、性质
（1）严平稳随机过程的一维分布与时间t无关。
E[ A cos(ct1 ) A cos(ct2 )]
A2 2
E cosc (t2
t1) cos[c (t2
t1) 2 ]
A2 2
cosc (t2
t1)
A2 2
2 0
cos[c (t2
t1)
2
]
1
2
d
A2 2
cosc (t2
t1)
A2 2
cosc
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例题
X(t)的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔τ 有关， 所以X(t)为广义平稳随机过程。
X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过 程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平 稳等价。
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例题
例1 某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc 均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。
讨论X(t)是否是广义的平稳随机过程。