实际问题驱动下的线性代数课程教学探索

实际问题驱动下的线性代数课程教学探索

江新华姜广峰姜冬青郭玲李秋姝

（北京化工大学理学院，北京，100029）

摘要

现行的非数学专业线性代数教材各有特色，多侧重理论知识体系建立，有些教材结合现代数学软件、应用数学理论知识解决实际问题。我们在教学中注重于从实际问题出发建立数学模型，从而引入相关数学概念和理论，再利用这些理论方法，结合数学软件去解决实际问题。这种以实际问题驱动的数学理论教学方法，体现出“实际—理论—实际”的理论发展和应用的过程，有助于学生理解数学概念、理论思想和方法，培养学生的应用能力和创新能力。

关键词：实际问题驱动、数学理论和应用、创新能力培养

一、 现行线性代数教材的现状

线性代数课程是理工农医经管等学科的一门非常重要的基础课程，也是研究生入学考试必考的一门数学课程，在后续课程的学习中会反复地用到课程的基本知识。目前的研究生入学考试《高等数学》中，微积分占40%、线性代数占30%、概率统计占30%，由此可见，线性代数课程在研究型和创新型人才培养中的重要性。

传统的线性代数教材大体上是数学专业高等代数教材的简化版，理论体系比较完善，重视数学基本功的训练。然而，从学生对这门课程内容的掌握情况看，传统的教材也存在若干缺点，可归结为以下几点：1.线性代数课程内容很抽象，学生不知道为什么学、学了有什么用，从而失去学习的兴趣。例如，有同学在学过数学建模相关内容后，对我说：“没想到矩阵特征值还有这么多用处!当初学代数的时候一点都不知道，没有好好学。”2.有些概念相当抽象，现行教材由于各种原因，往往不能或没有给出具体的例子给予解释，学生觉得难懂、难学。3.学生对计算过程和方法没有真正掌握。正因为这样,

对于刚刚接触这门课程的学生来说, 由于课程中的概念非常抽象，他们不知道为什么学、学了有什么用、如何用，给学生的印象是一门“折磨人的”智力训练课，很多学生开始学习不久就对这门课程的学习失去了兴趣和信心。

近几年的教材改革取得了很多成果，主要有以下几条思路：

（1）以某种数学软件为平台的方式展开教学：如北京联合大学王信峰、车燕等老师的高专类序列教材以Mathematica为平台[1][2]；David Lay的《线性代数及其应用》[3]和北京交通大学王亮等编的《基于MATLAB的线性代数实用教程》[4]。这类教材在讲授课程基本内容后，应用相关专业知识对实际问题数学建模并应用软件平台求解，部分解决了数学知识的应用问题，但对相关理论知识的训练有所减弱；

（2）以数学理论知识教学为基础，加强理论应用环节。如：北京化工大学刘慧等人编的《线性代数》[5]；李尚志《线性代数》[6]等。这类教材强调基本理论训练，在此基础上引入了一些数学建模的思想；

（3）除讲解传统的线性代数教程所含知识外，加入了现代代数学的基本知识内容（如群、环等概念），以清华大学的序列教材为代表[7]。这类教材理论性强，水平高，所以对学生的要求也高，不太适合一般院校的大多数学生。

上述列举的几类教材各有特色。有的侧重于借助数学软件平台，将数学知识应用于解决实际；有的侧重于介绍课程相关理论知识，注重基础知识的训练，介绍了相关数学知识的一

些应用；有的则针对数学基础好、能力强的学生加强数学素养的培养，教授更多的数学理论。他们都有各自的适用对象。

大学的教育任务不仅要培养具有知识的人才，更重要的是培养具有能力的人才。这里的“能力”至少包括学生将来发展应该具备的自学能力、研究能力、创新能力。如何在基础课程学习阶段就开始培养学生的这些能力，是十分值得探索的一个课题。我们在这方面结合课程教学作了一些尝试。

二、 实际问题驱动的教学实践探索

在2005年10月上海召开的大学数学课程论坛上，教育部副部长吴启迪在报告[8]中说：“数学建模活动的意义所在，正是在于它和各个领域之间的关系，它是对客观世界的描述。”“把数学教育提高到一个非常重要的地位上去，在大学，特别是在一些研究型大学里是绝对必要的。”我校一直很注重数学基础课程和教材的建设，《数学建模》和《线性代数》课程都是北京市精品课程。如何提高学生学习《线性代数》课程的兴趣和信心一直是我们十分关注的研究课题。

“兴趣是学生最好的导师”！经过多年的教学实践经验总结，我们认为：要解决学生学习线性代数课程的问题，首先要引起他们的兴趣，对于非数学专业的学生必须让他们明白“为什么学”，其次，在讲授相关数学概念和理论时，应该让他们明白为什么引入这些概念、为什么要建立相关的理论方法、这些理论和方法有什么用。李大潜教授在第一届数学论坛上说：“数学的教学，不仅要使学生学到许多重要的数学概念、方法和结论，而且应该在传授数学知识的同时，使他们学会数学的思想方法，领会数学的精神实质，知道数学的来龙去脉，在数学文化的熏陶中茁壮成长。为此，应该结合教学课程，使学生了解到他们现在所学的那些看来枯燥无味但又似乎天经地义的概念、定理和公式，并不是无本之木、无源之水”，“而是有其现实的来源和背景，有其物理原形和表现的。” [9]当然，数学理论是千百年来人类理性思维的结晶，在各门学科中得到了越来越广泛的应用和发展，要想在有限的课时内完全展现出她的来龙去脉，既不可能，也没有必要。数学理论来源于实际，很多理论方法都是从实际问题的研究中提升出来，高于实际，应用面已远不是原来的实际问题，在很多领域都有她的应用。针对特定专业的学生，在教学中，我们可以用相关的事例，展现如何从中提炼出数学概念，建立相关数学理论，如何用这些理论去解决实际问题，体现出用数学方法处理实际问题的优势。

在这种“实践-理论-实践”的思想指导下，我们在教学中从实际问题出发，通过数学建模建立数学问题，通过对数学问题的分析引入相关数学概念，再从解决实际问题的需要引入相关数学理论，然后应用相关数学理论，结合数学软件解决实际问题，一方面介绍数学概念和理论建立的必要性和背景，另一方面强调运用数学理论知识解决实际问题的基本方法，培养学生的创新能力和应用数学知识、数学软件解决实际问题的能力。

例1：通过考虑运动会成绩记录和奖金计算问题引入矩阵的概念和矩阵运算；

例2：通过计算机图形学中的图形变换引入矩阵乘法运算；

例3：通过行星轨道计算问题和化学方程式配平问题引入线性方程组的求解问题；

例4：通过信息编码和解码问题引入逆矩阵概念和矩阵求逆；

例5：通过几何向量关系和化学成分结构讨论向量的线性关系；

例6：通过传染病问题和生物种群的发展趋势引入特征值与特征向量概念，讨论特征 值和特征向量相关的理论；

例7：通过行星椭圆轨道的半轴计算和化工机械冷却过程中温度分布问题引入相似矩 阵和矩阵对角化概念。

从教学效果看，这些实际问题的提出，引起了学生浓厚的兴趣，使他们看到了实际问题是如何和数学概念、理论联系起来的，看到了实际问题的数学表述的简洁，从而对数学的基

本概念形成和应用有一定的了解，培养学生的创新意识。

三、研究和学习相辅相成，培养学生的研究能力

数学知识是人类智慧的结晶，是人类探索自然世界过程中思考问题、解决问题而形成的理论和方法体系。一个完整的数学课程体系，正如一支美妙的钢琴曲。如果教师在教学中只是关注如何把这支钢琴曲完整地呈现给学生，那么对于基础好又懂得欣赏的学生也许是一种享受，但大多数初入大学之门的非数学专业学生却没有这样的欣赏水平和兴致，他们通常认为这是数学家们的智力游戏，与他的专业无关，因此对他们而言，这纯粹是一种折磨，必然会消减他们的兴趣和信心。事实上，有不少学生在学完一部分线性代数课程内容后，就对该课程失去了兴趣，很多同学只是为了应付考试而不得不学下去。

年青的学子们大都有好奇的探索之心，也是为了学习有用的东西来的，并且有创新的渴望。如何让他们保持这份兴趣，怀着好奇之心，继续学下去呢？答案无非是：要让他们带着问题去学。但对于为高考而学、刚从中学毕业的一年级学生，让他们提出和正要学的课程相关的问题无疑是困难的。因此，我们通过有意识地引导学生或直接提出问题，引导学生进行思考，从而建立相关数学理论，探讨解决方法。这些理论、方法对于教师和已有的数学理论也许是旧的，但对学生来说是新的，如果引导他们和教师一起去研究我们提出的问题，一起去重新“发现”一次这些理论和方法，无疑会提高学生的研究兴趣、创新意识和创新能力。 通过一个问题接着一个问题的提出，引导学生去思考、研究、总结，从而建立相应的数学理论和方法，让他们“在学习中研究、在研究中学习”，提高了学生的分析、研究能力，让同学们在分析、研究、总结过程中自觉形成从实践到理论、从民歌到音乐的升华，使学生的研究能力和创新能力得到提高。

这里，我们以特征值和特征向量的内容为例举一个例子：

问题：考虑在某一地区某种传染病流行期的发展情况. 该传染病可以治愈, 但治愈者没有免疫力, 可能因感染病毒而再次患病. 开始时患病者占的比例为10%.那么, 若干天后情况会怎样呢?

建立模型：假设流行期健康者每天因感染病毒而患病的人数比例为常数20%, 患病者每天治愈的比例为常数30%。记第n 天健康者和患病者所占的比例分别为()1n x 、()

2n x ， 0.80.30.20.7A ??=????，()()1()2n n n x x ??=????

x ，(0)0.90.1??=????x ， 则(1)()(0,1,2,)n n A n +==x x "。通过计算发现：n=14以后，()(0.6,0.4)n =x 就维持不变了。如果改变开始时健康者和患病者的比例，重新运行程序，可以看到有相似的结论。由此，我们引入特征值和特征向量的概念。

问题：A 有几个特征值和特征向量？如何求？

研究发现：A 应该有两个特征值，对应两组特征向量，(0.6, 0.4)是属于特征值1的特征向量。再研究几个不同的矩阵，我们发现特征向量的组数可能和特征值的个数不同，但每个特征值一定有属于自己的特征向量，并且属于不同特征值的特征向量组成的向量组是线性无关的。

问题：上述结论只是猜想，结论是否对一般情形成立？

为此，我们建立相关的数学基础理论，讨论特征值和特征向量的性质，建立数学定理。 问题：模型中的向量()n X 为什么趋向于(0.6, 0.4), 而不趋向于别的特征向量？

利用刚刚得到的关于特征值和特征向量的相关知识进行分析、研究、解释，从而得到

求最大特征值的“幂法”，并进一步得出求可逆矩阵的最小特征值的“反幂法”。

X的精确表示式？

问题：如何得到()n

通过这种“问题、研究、探索、分析、总结、联想”的科学研究过程，一方面调动学生的积极性，让学生和教师一起探索、研究，培养学生的创新能力和学习、研究能力，另一方面通过留下一些问题给学生，给他们指出一些探索的空间，让他们保持探索、创新的激情，让他们自己继续探索或自学，不断的提高数学素养。最后，再给他们留几个实际问题的例子，让他们回去讨论研究。

四、结合课程内容，利用现代科技成果，提高学生用数学建模解决实际问题的能力

现代的计算机技术在日新月异地向前发展，取得的成果让全人类从中受益。随着计算机硬件条件的迅速提高，各种数学软件也日益完善，并且不断地更新和发展。我们的学生几年后就要从事各种课题的工作和研究，而很多实际问题的解决往往需要数学建模和大量的计算，这种计算如果单靠手工完成，效率是十分低下的。面对日益激烈的竞争，让我们的学生尽早地掌握现代数学工具软件是十分必要的，也是研究型人才必须具备的技能。我校的许多研究生导师都要求他们的学生掌握相关的数学软件的使用。

我们在数学基础课程的教学中，结合教学内容，给学生讲授数学软件MAPLE和MATLAB的相关知识，并结合课程内容作一些计算。这不仅在一定程度上节省了教师讲授时的计算时间，从而把主要精力、时间用在课程的基本概念、理论、方法上，另一方面也使学生掌握了相关的现代数学软件知识，提高了他们运用数学知识解决实际问题的数学建模能力，从而尽早具备研究型人才所需的知识技能。

五、结语

“以问题驱动的数学教学”方法可以很大地提高学生学习数学课程的兴趣，让学生们“在 研究中学习、在学习中研究”能让他们保持学习、探索的兴趣，体会发现的乐趣，更能够培养学生的研究能力和创新能力。为此，要找适当的实际问题充实我们的教学内容，通过这些实际问题的数学建模，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力和科技创新能力。但我们的课程教学主要任务还是要以课程基本内容为主，在有限的教学时间内，不能因为实际问题的数学建模占据过多的教学时间，影响数学基本知识体系的教学。选取的例子应该小而精悍，既要能够引起学生的兴趣，又要和课程内容紧紧结合，这对教师的教学组织能力是一个挑战。

另一方面，随着科学技术特别是计算机软硬件技术的快速发展，新型创新型研究人才培养过程中，应该注意让学生掌握相关的数学软件知识。而由于扩招后生源质量的相对下降，为了提高学生的数学素养和应用数学知识解决实际问题的能力，理论基础训练不能减弱，反而更要加强。在有限的课时限制下，如何平衡理论基础训练和应用、创新能力的训练，还需要仔细探索。

参考文献：

1.车燕等，应用数学与计算[M]，电子工业出版社，2000年.

2.王信峰等，应用数学与计算上机实训[M]，电子工业出版社，2000年.

3. D. C. Lay, 线性代数及其应用[M]，电子工业出版社，2004年.

4. 王亮等，基于MATLAB的线性代数实用教程[M]，科学出版社，2008年.

5. 刘慧等，线性代数[M]，化学工业出版社，2000.

6. 李尚志，线性代数[M]，高等教育出版社，2006.

7. 居余马等，线性代数[M]，清华大学出版社，2001.

8. 吴启迪，开幕式讲话，大学数学课程报告论坛论文集（2005）[M]，高等教育出版社，2006.

9. 李大潜，将数学建模思想融入数学类主干课程，大学数学课程报告论坛论文集（2005）[M]，高等教育出版社，2006.