2018李永乐线性代数冲刺班讲义

公式 : ① r(AT ) =r(A ) ; ② r(k A ) =r(A ) , k ≠0; ③ r(A +B ) ≤r(A ) +r(B ) ; ; 则r(A ) +r(B ) ≤ n( ⑤ r(ATA ) =r(A ) ; ⑥ 若A B = O, n 是A 的列 ) …, 如何证明向量组 2. α α α 1, 2, s 线性无关 . ( )定义法 1 ( )秩 2
.
1 1 ù é ê ú ê ú , 已知 A 是 3 阶实对称矩阵 , 行列式 A = 0 若 Aê1 1 ú = 7. ê ú ê ë2 -1ú û
2 -1ù é ê ú ê ú 则A x = 0 的通解 ê2 -1ú , ê ú ê ë4 1 ú û
.
3 ù é1 2 ê ú ê ú ( , 设A = ê 0 1 则齐次方程组A*x =0的通解 8. 2 ú 且秩r A) A* 是A 的伴随矩阵 , =2 ê ú ê ú ë-1 a 4-aû
2 0 1 8 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义 - 李永乐 0 1 2 ù é ê ú ê ú 已知 3 阶矩阵 A 各行元素之和均为 2, 且满足 A 其中 B = ê 1 -1 -3ú . 2 2. B = O, ê ú ê ú ë-1 2 5 û
n 若β = (2, 求A 3, 4) T , β.
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2 2 已知三元二次型 xTA 负惯性指数都是 1. 2 4. x =x x2 x x x x a x1 x 1 +a 2 +x 3 +2 1 2 -2 2 3 -2 3 的正 、
( ( 并写出所用坐标变换 ; Ⅰ )求 a 的值 ; Ⅱ )用正交变换 x = Q y 化二次型为标准形 , ( 求k. Ⅲ )如 A +k E 是正定矩阵 ,
( 说明理由 . Ⅰ )判断 α α 1 能否由 α 2, 3 线性表出 , ( Ⅲ )求方程组 B x = γ 的通解 .
( 说明理由 . Ⅱ )判断 α α α 4 能否由 α 1, 2, 3 线性表出 ,
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2 0 1 8 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义 - 李永乐 1 2 1ù é ê ú ê ú 设 A = ê0 1 aú , 满足 B 1 8. B 是 3 阶非零矩阵 , A = O. ê ú ê ú ë1 a 0û
1 1 1ù é ê ú ê ú 已知 A = ê0 0 0ú 和 B = 2 3. ê ú ê ú ë0 0 0û
( ( Ⅰ )求 a 的值 ; Ⅱ )求可逆矩阵 P 使P-1 A P = B.
2 -2 4ù é ê ú ê ú ê1 -1 aú 相似 . ê ú ê ú ë0 0 0û
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已知 α, 且 αT 2 1. β 均为 3 维单位列向量 , β=
( ( Ⅰ )证明 : 0 是矩阵 A 的特征值 ; Ⅱ )证明 : α +β, α -β 都是A 的特征向量 ; ( Ⅲ )写出二次型 xTA x 的规范形 .
1, T 设矩阵 A = α αT . β +β 2
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.
得到单位矩阵 E, 则A* =
把矩阵 A 的第 2 行与第 3 行互换得矩阵 B, 把矩阵 B 的第 1 列的 -2 倍加到第 3 列 4. 3 阶矩阵 A 可逆 , .
表出 , 则a = α 2 能由 α 1, 2 线性表出 , β
T , , , , 已知 α 若β 5. 2, 1) T , α 3, a) T , 3, 0) T , a+2, α -2) , 1 = (1 2 = (2 1 = (1 2 = (1 1 不能由α 1, 2 线性 β β
, 则方程组 A 2 α 3, 4, 5) T , x =b 的通解 3 = (2 æ1ö æ-1ö ç ÷ ç ÷ ç2÷ ç 0 ÷ ç ÷+kç ÷. ( A) ç3÷ ç 1 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è4ø è 2 ø
, 秩r(A ) =3, 若α 1 2.已知α α α x =b 的三个解 , α 2, 3, 4) T , α 1, 2, 3 是非齐次线性方程组 A 1+ 2 = (1 2+ æ2ö æ1ö ç ÷ ç ÷ ç3÷ ç2÷ 1 ( B) ç ÷+kç ÷ . 3 ç4÷ ç0÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è5ø è1ø æ1ö æ-1ö æ0ö æ1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç1÷ ç 0 ÷ ç1÷ ç2÷ ç ÷+kç ÷. ( ç ÷+kç ÷ . ( C) D) ç1÷ ç 1 ÷ ç2÷ ç0÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è1ø è 2 ø è3ø è1ø
5. A ~ Λ ⇔A 有n 个线性无关的特征向量 实对称矩阵有哪些定理 , 如何做题 ? 6.
如何用正交变换化二次型为标准形 ? 7.
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2 0 1 8 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义 - 李永乐 1 0 1ù é ê ú ê ú ( )已知 A, 且满足 A 若 A = ê0 2 0ú , 则 B -2 1. 1 B 均为 3 阶矩阵 , B =2 A +3 B, E = ê ú ê ú ë2 0 8û 1 1 1ù é ê ú ê ú 1 ( ) , 设 是 阶矩阵 且 则 1A* +E = 2 A 3 P A P = ê0 2 2ú , 2 ê ú ê ú ë0 0 3û .
T ( 求 (B -E )6 . Ⅰ )求矩阵 B; ( Ⅱ )如 B 的第一列是 (1, 2, -3) ,
已知 A 是3阶矩阵 , 1 9. α α x =0的非零解 , α A α α α α 1 是 A 关于λ =1的特征向量 , 2 是A 3 满足 3 = 12+ 3. ( Ⅰ )证明 α α α 1, 2, 3 线性无关 ; ( Ⅲ )判断矩阵 A ~ Λ? ( 特征向量 ; Ⅱ )求矩阵 A 的特征值 、
∑aA .
未知数的个数 ) 3. A x = 0 有非 0 解 ⇔ r(A ) < n( .
…, 设法证r(α α α . 1, 2, s ) =s
…, 对k α k α k α i = 1, 2, s) . 1 1+ 2 2+…+ s s = 0 用乘或重组证出必有 k i = 0(
如何求特征值 、 特征向量 . 4. ( )定义法 1
2 2 0 ù é ê ú ê ú 已知 A = ê2 2 0 ú , 则下列矩阵中和矩阵 A 合同但不相似的是 1 3. ê ú ê ë0 0 -2ú û 1 0 0 ù é ê ú ê ú ( ) A ê0 1 -1ú ê ú ê ë0 -1 1 ú û 1 0 1ù é ê ú ê ú ( ) B ê0 -1 0ú ê ú ê ë1 0 1ú û 1 3 0ù é ê ú ê ú ( ) C ê3 1 0ú ê ú ê ë0 0 0ú û
A x =b 解的结构 : α +k k k 1 1+ 2 2+… + n r r. η η ηnA α =λ α, α ≠0
齐次方程组线性无关解向量的个数 : n-r(A ) .
( )λ ( ) , 或 A -λ (λ 2 E -A = 0 E =0 E -A ) x =0 i ( )若P-1 3 A P = B. 由A 由B α =λ α⇒B (P-1 α ) =λ(P-1 α) ; α =λ α⇒A (P α ) =λ(P α). ⇔ k 重特征值必有k 个线性无关的特征向量 .
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2 0 1 8 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义 - 李永乐 已知 A 是 3 阶矩阵 , 且有 2 0. α α α 1, 2, 3 是 3 维线性无关的列向量 , 又α x = 0 的解 . 3 是A
A α1 = α A α2 = 2 α 1 +α 2, 1,
( ( ( Ⅰ )求 A 的特征值 ; Ⅱ )求可逆矩阵 P 使P-1 A P = Λ; Ⅲ )求r(A +E ) +r(A +2 E) .
参考答案 1 -6 0 0 ù é ê ú 1 2 0 ù é ê ú êú 0 0 ú ê0 1 ê ú ( ) ( ) 1. 1 1 8, 2 2 0 2. 4. 0 0 -1ú 5. a =-1 6. a =1 -2 3. ê ú ê 5 5 2 -2 ú ê0 0 ê ú ê ú ë 0 -1 0 û ê ú ê 5 5 ú ë0 0 -2 2 û
.
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T T T T , ) , ) , ) 已知向量组 α 中任何两个向量都可由 6. 1, 1, a) α 1, a, 1 α a, 1, 1 α 1, 1 -2, 1= ( 2= ( 3= ( 4= (
向量组中另外两个向量线性表出 , 则a =
( …, Ⅱ )证明方程组 A x =b 的任一个解必可由α, α +η α +η α +η 1, 2, t 线性表出 .
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2 0 1 8 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义 - 李永乐 ( )1 +x +x 2 3 =0 ì ï 1+a x ï 解方程组 í x 1+a) x 1 6. +x 1+( 2 3 =a . ï ï 2 î x 1+a) x +x 1 2+( 3 =a
.
T 2 设 α, 矩阵 A = E +2 若A 则 αT 2. α A -3 E = O, +2 β 都是n 维非零列向量 , β , β=
.
0 ù é1 -1 0 ê ú ê ú 0 0 ú ê0 1 6 如A = ê 则A 3. = ú, 1 -1ú ê0 0 ê ú ê ë0 0 -1 1 ú û
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2 0 1 8 线性代数考前练习
基本功提要
矩阵的秩 1.
每r+1 阶 ( 如果有 )子式全为 0. r(A ) =r⇔A 中有r 阶子式不为 0,
r(A ) ≥2⇔A 中有 2 阶子式不为 0. r(A ) = A 列秩 = A 行秩 .
r(A ) <3⇔A 中每一个 3 阶子式全为 0.
当 a 为何值时 , 方程组无解 ? 当 a 为何值时 , 方程组有解 , 并在有解时求其所有的解 .
B = (α α α γ =α α α 3, 2, 1, 4), 1 -3 2 +5 3. β+α
T 设 A = (α 方程组 A 设 1 7. α α α x =β 的通解是 (1, 1, 3, 2, 0) T , -2, -1) +k (1, 1, 2, 3, 4 ) 是 4 阶矩阵 ,
n n 1 2 ( )λ , ( ) 特别地 , 如r(A ) = 1, 1 E -A =λ a λ 2 A -∑ = i i i i
特别地 , 如 A 可逆 , 则r(A ④ r(A B)≤ m i n(r(A ) , r(B ) ) , B ) =r(B ) , r(B A ) =r(B ) ;
.
2 且二次型矩阵 A 满足A4 -3 则二次型xTA 9. 4 元二次型 xTA x 的正惯性指数p = 3, A E, x 在正交 =4
变换下的标准形是
.
2 2 2 是y 则k 的取值为 1 -y 2 -y 3,
已知三元二次型 xTA 如秩r(A ) =2, 又二次型xT (A +k 1 0. x 的矩阵A 满足A2 +2 A =O, E) x 的规范形 .
2 已知 A 是 3 阶矩阵满足 A 1 4. A +2 E = O. -3
1 0 0ù é ê ú ê ú ( ) D ê0 1 0ú ê ú ê ë0 0 0ú û
( )证明 A 可逆并求A-1 . 1
( )证明 ATA 是正定矩阵 . 2
…, 1 5.设 A 是m ×n 矩阵 , x =0的基础解系 , α 是非齐次线性方程组A x =b 1, 2, t 是齐次方程组A η η η 的一个解 . ( …, Ⅰ )证明 : α, α +η α +η α +η 1, 2, t 线性无关 .
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2 0 1 8 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义 - 李永乐 已知 n 维向量α1 , 那么向量组a 1 1. α α α1 +b α2 , a α2 +b α3 , a α3 +b α1 线性无关的充分必要 2, 3 线性无关 , 条件是 ( A) a ≠0, b =0 ( B) a =b ≠0 ( C) a ≠b ( D) a ≠-b