大学计算机-数据的处理-算法

//交换 v(i) ,v(k)
【思考】
随机排列6个形状大小一样但重量不同的砝码，使用选择 排序法将它们按重量从小到大排序。问一共需要比较多少 次？
找到第1个最轻的砝码需要比较5次，找到次轻的砝码需要 比较4次，依此类推，最终需要比较：5+4+3+2+1=15次。 因此，对于大数据量来说，选择排序算法并不是个好方法， 如果用该方法对1000个数据排序，将需要比较近50万次！
• 2．算法的流程图描述
【例4-2】求1+2+3+…+100 的和。用流程图描述算 法。
分析：设1~100的累加和放 在变量s中，这个问题的 本质就是重复做累加的 动作：s=s+i，让加数项 i从1变化到100。流程图 如下：
用图形化方法描述算法形象直观，但它最大的不足是画画“麻烦”。
3．算法的伪代码描述
数据的处理——算法
目录
• • • • • • • • • • • • • • • 1 引子：渡河游戏 2 算法 2.1 算法的控制结构 2.2 算法的表示 2.3 排序算法 2.4 查找算法 3 算法策略 3.1 枚举算法：百钱买百鸡 3.2 递归算法：汉诺塔问题 3.3 回溯算法：八皇后问题 3.4 分治算法：找出伪币 3.5 并行算法：国王的婚姻 4 可计算性与计算的复杂性 4.1 计算机处理的局限性 4.2 计算复杂性与可计算性
1．算法的自然语言描述 【例4-1】数组v有10个元素，即v(1), v(2)……v(10)，求 其中的最大数。 • 分析：求最大数常用的方法就是——“打擂台”。一圈 “擂台”打下来，最终站在“擂台”上的就是最大值。 • 算法描述如下： • 步骤1：假设v(1)为最大数，令max为v(1) • 步骤2：max与后面的所有数v(i)（i=2……10）逐个比较： • 若max小于v(i) 则令max=v(i) • 步骤3：打印输出max的值，即为数组v的最大值 上述用自然语言描述的算法，其优点是语言熟悉，易懂， 缺点是繁琐冗长，易产生歧义。
重点和难点
• 重点： 什么是算法？算法的控制结构。 几个常用排序算法的理解。 顺序和二分查找算法的理解。 典型算法策略的理解。 • 难点： 算法的描述。 不同算法的优劣比较。 计算复杂性和可计算性。
1 引子：渡河游戏
两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次 只能渡1 个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不 会游泳，试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案。
上述公式意思就是程序是由一种解决问题的方法加上和解 决方法有关的数据组成的。比如：你要做一道菜“香菇炒 青菜”——这就是一个程序。而你的算法就是……,你的 数据就是……。由这些数据加上算法（你做菜时采用的策 略）就是程序。 这个公式揭示了：不能离开数据结构去抽象地分析程序的 算法，也不能脱离算法去孤立地研究程序的数据结构，而 只能从算法与数据结构统一上去认识程序。
算法的基本思想就是我们分析问题时的想法，由于想法不 同、思考问题的角度不同、着眼点不一样，对同一个问题， 可以有不同的解题方法和步骤。 方法有优劣之分，有的方法只需进行很少的步骤，而有些 方法则需要较多的步骤。因此，为了有效地进行解题，不 仅需要保证算法正确，还要考虑算法的质量，选择合适的 算法。 进一步说，既然算法是解决给定问题的方法，算法的处理 对象就必然是该问题所涉及的相关数据，程序的目的是加 工数据，而如何加工数据是算法的问题。程序就是数据结 构与算法的统一，因此有如下著名公式： • 程序=算法+数据结构
原始数据： 第1轮选择： 第2轮选择： 第3轮选择： 第4轮选择： 第5轮选择： 最后结果： 8 (1) 1 1 1 1 1 3 3 (2) 2 2 2 2 5 5 5 (3) 3 3 3 2 2 (3) (5) (4) 4 4 4 4 4 4 (5) (5) 5 1 (8) 8 8 8 8 8 本轮找到最小数1交换到第1个位置上 本轮找到最小数2交换到第2个位置上 本轮找到最小数3交换到第3个位置上 本轮找到最小数4交换到第4个位置上 本轮找到最小数5交换到第5个位置上
根据条件，我们考虑如下方案： S1：两个小孩同船过河去 S2：一个小孩划船回来； S3：一个大人划船过河去 S4：对岸的小孩划船回来； S5：两个小孩同船渡过河去； S6：一个小孩划船回来； S7：余下的一个大人独自划船渡过河去； S8：对岸的小孩划船回来； S9：两个小孩再同时划船渡过河去。
按照上述渡船的步骤一定可以把两个大人和两个小孩渡到 河对岸去。 因此，在解决问题时，按预先设计好的一系列可操作或可 计算的步骤完成任务，这些解决问题的方法和步骤就是算 法。 本章我们就来学习算法，算法是程序的灵魂，也是计算机 的灵魂，计算机中所有执行的程序都有算法，算法有好坏 之分，有些问题到目前为止还没有找到好的算法。
【思考】
有7个形状大小一样但重量不同的砝码，请按重量从小到 大排序。 由于砝码的形状大小一样，所以没有办法通过目测来区分 哪个重哪个轻，只有一个办法，就是用天平秤。天平秤的 时候只能两两比较，假如从7个砝码中找出最轻的那个， 要称6次才能辨别出来。 这里之所以用“形状大小一样但重量不同的砝码”来排序， 主要是要大家注意计算机只能两两比较大小，不能象人那 样一“看”就能在多个数中找出最小数。这是计算机排序 的基本前提。
总结： n个元素需要“查找-交换”n-1次。
• • • • • • •
选择排序算法描述如下： 循环（i 从1到n-1） ki 循环（j 从i+1 到n） 若(v(j)<v(k)) 那么 kj 若（k≠i）则 • tempv(i) • v(i) v(k) • v(k) temp
//找最小值
2 算法
其实，日常生活中处处都有“算法”，如烧一壶水的算法 如下： • （1）往壶内注水； • （2）点火加热； • （3）观察：如果水开，则停止烧火，否则继续烧火并重 复第3步； 再比如菜谱中描述的“西红柿炒鸡蛋”的制作过程就是一 个算法，一首贝多芬“命运”的钢琴曲谱就是一个算法。 事实上，我们完成任何事，都要有一个明确的步骤，合理 安排步骤，就会达到事半功倍的效果。
2.1算法的控制结构
在计算机程序解决问题的过程中，一个算法的功能不仅取 决于所选用的操作，而且还决定于各操作之间的执行顺序， 即控制结构。 算法的控制结构给出了算法的框架，决定了各操作的执行 次序。 用流程图可以形象地表示出算法的控制结构。
• 1．顺序结构 程序执行时按部就班，从上到下依次执行。 • 2．选择结构 根据条件进行判断，再决定具体的执行步骤。 • 3．循环结构 根据条件判断，反复做某一部分操作。
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要把这7个砝码按重量从小到大排序，我们想出的最简单 的方法就是先找到最轻的那个，放在第1个位置；在留下 的6个砝码再找最轻的，放在第2个位置上；… 每次在余下的砝码中找最轻的那个放在已排序的砝码的后 面，这就是选择排序算法的基本思想。
选择最轻的砝码
10
40
60
50
20
70
30
• 1．选择排序 选择排序的基本思想：每一趟从待排序的元素中选出最小 的数，放在已排好序的序列的最后面，直到全部记录排序 完毕。 【例4-4】对数据元素序列v(6)=｛8，3，5，2，4，1｝，用 选择法排序。 【解】算法思想：
任何复杂的算法都可以用顺序、选择、循环三种控制结构 组合而成，称之为算法的三种基本控制结构。 如果把每种基本控制结构看成是一个积木，则整个算法便 是由这三种积木搭建而成的，这样的算法结构清晰，容易 阅读也容易理解，我们称之为结构化的算法。
2.2算法的表示
有了求解问题的方法、思路后，就必须用一种规范的，可 读性强的，容易转换成程序的形式描述出来。 程序是计算机语言描述的算法，流程图是图形化了的算法。 除此之外，算法的描述方法还有自然语言、伪代码等。
• 【例4-3】求三角形面积 • 设三角形三边长分别为a、b、c，借助海伦公式s=计算三 角形面积S，其中p为半周长。请用伪代码描述。
分析：用海伦公式求三角形面积，需要知道三边长，如果这 三边长能构成三角形，则可以先计算半周长P，再计算面 积S。
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算法描述如下： 输入a,b,c 若（a+b>c 且b+c>a 且a+c>b ) 则 p=(a+b+c)/2 s= 输出s 否则： 输出 ”三角形边长不正确！”
• 3．直接插入排序 大家都打过扑克牌，通常一边添牌一边排序。 左侧带下划线的就是有序队列，这个思想就是直接插入排 序。
这种排序法和选择排序法的不同之处在于，该算法的重点 是如何将数值放入左侧已排序好的序列中，而不是去考虑 该在右侧序列中挑出哪一个数值。 【例4-6】对数据元素序列v(6)=｛5，2，4，10，7，3｝， 用直接插入法排序。 【解】算法思想如下： 第1轮：首先设该序列中已存在一个有序的子序列（5）。 ｛（5），2，4，10，7，3｝ 接下来要将第2个元素2插入到这个子序列中。方法是，从元 素5开始向左找。因为2小于5，因此将2插入到5之前。这 样在原序列中得到一个新的按值有序的子序列（2，5）。 ｛（2，5），4，10，7，3｝
鉴于自然语言语义有歧义，而流程图又太麻烦，人们往往 采用意义精确、唯一且已形式化的类计算机语言——伪代 码来描述。
伪代码兼有自然语言和计算机语言的特点，它结构性较强， 自由、灵活、容易书写和理解，特别是它不拘泥于特定语 言的语法结构，是一种准计算机语言。而根据伪代码写程 序又比较方便，因此用伪代码描述算法目前最为流行。
50
40
60
10
20
70
30
• 【例4-5】对数据元素序列v(6)=｛8，3，5，2，4，1｝， 用冒泡法排序。 【解】算法思想如下： 设想待排序的数组v()垂直竖立，将每个数据元素看作有 重量的气泡，根据轻气泡不能在重气泡之下的原则，从上 往下扫描数组v，凡扫描到违反本原则的轻气泡，就使其 向上“漂浮”，如此反复进行，直至最后任何两个气泡都 是轻者在上，重者在下为止。
• 2．冒泡排序 冒泡排序就是通过序列中相邻元素之间的交换，使较小的 元素逐步从序列的后端移到序列的前端，使较大的元素从 序列的前端移到后端。这就像水底的气泡不断向上“冒” 一样，因此人们形象地称这种排序方法为“冒泡排序”法。 例如：有7个形状大小一样但重量不同的砝码，用冒泡排序 法对他们排序。
总结：包含n个元素的数据序列要进行n-1轮冒泡才能达到有 序的目的。
• • • • •
冒泡排序算法描述如下： 循环（i 从1到n-1） 循环（j 从1 到n-i） 若（v(j) >v(j+1)）则 交换 v(j) 和v(j+1)
【分析】
冒泡排序算法中，若有6个待排序数，则第一轮冒泡相邻 元素比较5次，第二轮冒泡比较4次，依此类推，最终需要 比较：5+4+3+2+1=15次，这和选择排序算法的效率一样。 但冒泡排序法数据交换的次数比选择排序要多许多。事实 上，冒泡排序是所有排序算法中效率最低的一个。
2.3排序算法
排序的例子在日常生活中比比皆是，老师喜欢从高分到低 分公布成绩，在上网购书时也发现了排序——畅销图书榜， 按图书销售量排序！ 当数据不多时，排序比较简单，有时手工都能做。但若排 序对象是每年几百万高考考生，图书馆几百万册图书，购 书网站上百万个数据，排序就成了一件非常重要且费时的 事情。 近几十年来，人们设计了非常多的排序方法，它们各有特 点，而选择一个合适的方法会大大提高排序效率。 目前常用的排序算法有：选择排序、插入排序、交换排序、 归并排序等。让我们先从简单的入手吧！
最后，算法若用计算机语言来描述即成为程序，程序是算 法在计算机上的特定实现。 算法侧重于问题的解决方法和步骤，程序侧重于机器上的 实现，一个有效的程序首先要有一个有效的算法。因此算 法设计是程序设计的核心。 反过来，针对同一问题，不同的算法所用的时间、空间开 销不同，一个算法的优劣一般用空间复杂度与时间复杂度 来衡量。 例如同样是排序的问题，不同的排序算法各有特点，算法 质量不相同，应用场合也各不相同。