工程制图第3章答案

3．两直线交叉
交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组 平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即不符合 点的投影规律。
重影点 反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不 符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。
4．两直线垂直
一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直， 但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：
三、正投影的基本性质
1. 实形性
2．积聚性
∟
三、正投影的基本性质
3.类似性
4．平行性
三、正投影的基本性质
5．定比性
6．从属性
3-2 三视图的形成及其投影关系
一、 三视图的形成
1. 三投影面体系的建立
物体的一个投影不能确定空间物体的形状。
怎吗办？
建立三面投影体系
2．三视图的形成
主视图
左 视图
[例3-4] 已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。
作图步骤如下：
1.自原点O沿OX轴向左量取x=15,得点 ax 2.过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向下量取y=10,得点A的水平投影a 向上量取z=12,得点A的正面投影a
3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影 a 。
★ 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
[例3-11] 求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
[例3-12] 求铅垂线MN与一般位置平面△ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共 有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
[例3-13] 求铅垂面和一般位置平面的交线 分析： 作图：
判可见性：
[例3-14] 求两正垂面ABC和DEF的交线 分析： 作图：
交线应在 两三角形的公 共部分。
判可见性：
三、直线与平面、平面与平面垂直
1.直线与平面垂直
一直线如果垂直于一平面上任意两相交直线，则直线垂 直于该平面，且直线垂直于平面上的所有直线。
应 用 举 例
侧平面
3．一般位置平面
主视图投射方向
[例3-8] 分析图所示立体各平面的位置。
主视图投射方向
(a)立体图
(b)三视图
(1) △ABC是水平面。 (2) △DEF是侧垂面。 (3) 侧面ACDE是一般位置平面。
三、平面上的点和直线的投影
1. 平面上的点 点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。
2．平面上的直线
直线在平面内的条件是：通过平面内的两点或通过平 面内一点并平行于平面内的 另一直线。
(a) 通过平面内的两点
(b) 过平面内一点且平行 于平面内的一直线
[例3-9] 如图3-39a所示，已知平面△ABC上点M的正面
投影m ，求点M的水平投影m。 分析：利用点、线从属关系求出M的水平投影m。 作图：
投 射 方 向
90°
2. 特性
中心投影法
物体位置改 变，投影大 小也改变。
投影特性
● 投射中心、物体、投影面三者之间的相 对距离对投影的大小有影响。
● 度量性较差。
● 用于建筑图样中的透视图绘制。
物体位置改 变，投影大 小不改变。
平行投影法
投影特性
● 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 ● 度量性较好。 ● 工程图样多数采用正投影法绘制。
点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即 aa ⊥OZ；
水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，即 a a x = aaz
[例3-3] 根据点A和B的两个投影求第三个投影。 （二求三）
求法：
a:
长对正 宽相等
:
高平齐 宽相等
二、点的投影与空间直角坐标的关系
空间点A到W面的距离，等于点A的x坐标；即： 空间点A到V面的距离，等于点A的y坐标；即： 空间点A到H面的距离，等于点A的z坐标；即：
⑴ AB⊥BC(垂直相交)
a′ b′
c′
⑵ AB⊥CD(垂直交叉)
c′
a′
b′
o
a
b
x
c
o
d′
x
cd a
b
⑶ 直角投影定理：
如果两直线垂直，其中一条直线是某一投影面平行 线时，两直线在该投影面上的投影垂直。
c′
a′
b′
Q
d′
o
x
B C
D
c b
Ac
b
d
a
d
a
AB⊥CD
证明:
3-5 平面的投影
一、平面的表示法
影上，反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点 一定在直线上。
已知直线AB的点C的水平投影c ，求另两投影 。
⒉ 定比性
点分割线段成定比，则分割线段的各个同面投影之 比等于其线段之比。
[例3–6] 已知侧平线AB的两投影和直线上点S 的正面投 影，求水平投影 。
方法一
方法二
四、两直线的相对位置
[例3-10] 已知平面五边形ABCDE的正面投影和AB、 AE边的水平投影，试完成五边形的水平投影。
分析：利用在△ＡＢＥ上取点的方法完成水平投影。
作图
C B
I
A
E
3-6 直线与平面、平面与平面的相对位置
相对位置包括平行、相交和垂直三种情况:
一、平行问题
包括
① 直线与平面平行 ② 平面与平面平行
对于垂直于 特殊位置平面的 直线一定为特殊 位置直线。当直 线垂直于投影面 垂直面时，该直 线平行于平面所 垂直的投影面。
★我们只讨论直线或平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
2.平面与平面垂直
如果直线垂直于平面，则包含此垂线所作的任意平面 必垂直于该平面。
当两个互 相垂直的平面 同垂直于一个 投影面时，两 平面有积聚性 的同面投影垂 直，交线是该 投影面的垂直 线。
c
●
c
●
a●
a●
a●
c
●
d
●
● b ●b
a●
A● b
●b a●
● b
●b
C
●
a●
d
●c
不在同一直 线上的三点
●c
B
直线及线 外一点
●c 两平行直线
c
●
a●
● b ●b a●
●c
两相交 直线
c
●
a●
● b ●b a●
●c
平面 图形
二、各种位置平面的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
左视图：反映上、下和前、 后位置关系。
二、三视图的画法
[例3-1] 画图3-15所示立体的三视图。
构成分析 作图：
(a) 画底板的三视图 (b) 画切槽的三视图 (c) 画立板的三视图 (d) 加深后的三视图
3-3 点的投影
一、点的投影规律
a a 点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即
⊥OX；
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、前 后、左右位置关系。
[例3-5] 已知点A的三面投影，又知另一点B对点A 的相对坐标△X=-10，△Y=5，△Z=－5，求点B的 三面投影。
无轴投影
A B
四、重影点的投影
如果空间两点处于某一投影面的同一条投射线上时, 就有两个坐标相等，一个坐标不相等，则两点在一个投 影面上的投影就重合为一点，此两点称为对该投影面的 重影点。
a c
ac
b d
e
d b
e
e f
f e f
h
h f
二、相交问题
包括
① 直线与平面相交 ② 平面与平面相交
⒈ 直线与平面相交
直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。
要讨论的问题：
● 求直线与平面的交点。
● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。 解决问题的方法:
当直线或平面与某一投影面垂直时，其投影有积聚性， 交点的投影必定在有积聚性的投影上，由此直接求得交点的 一个投影，再根据点在直线或平面上的投影特性，求出另外 的投影。
要讨论的问题：
● 求两平面的交线。 ● 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。
解决问题的方法:
若相交两平面之一为投影面垂直面或投影面平行 面时，则可利用该平面有积聚性的投影，在有积聚性 的投影图上直接求得交线，再根据交线是两平面的共 有线，求出另外的投影。
★我们只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
3-4 直线的投影
直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为点。
B
A
一、直线的表示法
求作直线的投影，实际上就是求作直线两端 点的投影，然后连接同面投影即可。
二、各种位置直线的投影特性
投影面平行线
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
统称特殊位置直线
投影面垂直线 垂直于某一投影面
正平线（平行于Ｖ面） 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面）
⒈ 直线与平面平行
直线与平面平 行的几何条件是：
直线平行于平面 内的一条直线。
线面平行问题就归结 为: ①面上取线和②线线 平行的两问题.
2. 平面与平面平行
① 若一平面上的两相交 直线对应平行于另一平 a 面上的两相交直线，则 这两平面相互平行。
a
b c d
c d
b
② 若两投影面垂直面相
互平行，则它们具有积 聚性的那组投影必相互 平行。
1. 分类 中心投影法
投影法
投 射 方 向
斜投影法
平行投影法
投
射
方
正投影法
向
① 中心投影法：所有的投射线都交于一个点
② 平行投影法 ： 所有的投射线都互相平行
（1）斜投影法：投射线倾斜于投影面
投 射 方 向
90°
② 平行投影法 ：所有的投射线都互相平行
（2）正投影法：投射线垂直于投影面的投影法
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
1．投影面平行线
正平线
立 体 及 其 三 视 图
投 影 轴 测 图
水平线
直 线 投 影 图
侧平线
投影特 性：在 与线段 平行的 投影面 上，该 线段的 投影为 倾斜的 线段， 且反映 实长， 其余两 个投影 分别平 行于相 应的投 影轴， 且都小 于实长。
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
1．投影面垂直面
正垂面
轴 测 投 影 图
平 面 投 影 图
铅垂面
应 用 举 例
侧垂面
2． 投影面平行面
正平面
轴 测 投 影 图
平 面 投 影 图
水平面
代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要 的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射，得到新投影图。
二、新投影面的选择原则
V1
V
a A a1
平行于新的投影面
b
垂直于新的投影面
B b1
a
Hb
1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。
2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
Ⅲ Ⅳ
平行两直线 相交两直线
交叉两直线
1.两直线平行
若空间两直线相互平行，它们的各同面投影也一定互相平行。
反之，若两直线的三面投影都互相平行，则空间两直线也互相平行 。
2.两直线相交
若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合 点的投影规律；
反之，如果两直线的同面投影相交，且交点符合点的投影规律， 则该两直线在空间也一定相交 。
2． 投影面垂直线
正垂线
立 体 及 其 三 视 图
投 影 轴 测 图
直 线 投 影 图
铅垂线
侧垂线
投影特 性：直 线在与 其所垂 直的投 影面上 的投影 积聚成 一点， 在另两 个投影 面上的 投影分 别垂直 于相应 的投影 轴，且 反映该 线段的 实长。
3．一般位置直线
三、直线上的点
⒈ 从属性 点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投
（一）换面法的基本投影规律
1．点的一次变换
⑴ 新投影体系的建立
旧投影体系
→ X —V H
A点的两个投影：a，a
→ 新投影体系
X
V1 1—
H
A点的两个投影：a，a1
⑵ 新旧投影之间的关系
一般规律：
aa1 X1 a1 ax1 = aax
点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投 影轴。
第三章 投影基础
§3-1 投影法概述
§3-2 三视图的形成及其投影关系
§3-3 点的投影
§3-4 直线的投影
§3-5 平面的投影
§3-6 直线与平面、平面与平面 的相对位置
§3-7 变换投影面法
结束放映
3-1 投影法概述
一、投影法基本知识
投射中心
投影面
投射线
物体 投影
三要素： a=SA∩P
二、投影法分类及应用
俯视图
3．三视图之间的关系
（1）三视图的位置关系
以主视图为准， 俯视图在主视图的正 下方，左视图在主视 图的正右方。 （2）三视图之间的投影关系
主、俯视图长对正。 主、左视图高平齐。 俯、左视图宽相等。
（3） 视图与物体的方位关系
主视图：反映上、下和左、 右位置关系；
俯视图：反映前、后和左、 右位置关系；
★我们只讨论平面都处于特殊位置的情况。
3-7 变换投影面法
一、问题的提出
当空间几何元素相对投影面处于特殊位置时，可在 投★影如图何中求直一接般反位映置出直实线形的、实距长离？、交点、位置等关系。 ★ 如何求一般位置平面的真实大小？ ★ 如何求一般位置……
解决方法：更换投影面。 换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一