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2021年中考数学 专题汇编：圆的有关性质(含答案)

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中考数学专题复习32圆的有关概念和性质专题(全国通用解析版)

中考数学专题复习32圆的有关概念和性质专题(全国通用解析版)

圆的有关概念和性质考点1：垂径定理1．（2021·四川广安市·中考真题）如图.公园内有一个半径为18米的圆形草坪.从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点.O 为圆心.120AOB ∠=︒.小强从A 走到B .走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．663π-B ．693π-C ．1293π-D ．12183π-【答案】D【分析】 作OC ⊥AB 于C .如图.根据垂径定理得到AC =BC .再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出⊥A .从而得到OC 和AC .可得AB .然后利用弧长公式计算出AB 的长.最后求它们的差即可．【详解】解：作OC ⊥AB 于C .如图.则AC =BC .⊥OA =OB .⊥⊥A =⊥B =12（180°-⊥AOB ）=30°. 在Rt ⊥AOC 中.OC =12OA =9. AC 2218993-=⊥AB =2AC =183又⊥12018180AB π⨯⨯==12π. ⊥走便民路比走观赏路少走12183π-米.故选D ．2．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图.AB 是O 的直径.弦CD OA ⊥于点E .连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠.则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅ D ．2sin COD S m α=⋅【答案】B【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：⊥AB 是O 的直径.弦CD OA ⊥于点E . ⊥12DE CD =在Rt EDO ∆中.OD m =.AOD α∠=∠ ⊥tan =DEOE α ⊥=tan 2tan DECDOE αα=.故选项A 错误.不符合题意； 又sin DEOD α=⊥sin DE OD α=⊥22sin CD DE m α==.故选项B 正确.符合题意； 又cos OEOD α=⊥cos cos OE OD m αα==⊥AO DO m ==⊥cos AE AO OE m m α=-=-.故选项C 错误.不符合题意；⊥2sin CD m α=.cos OE m α= ⊥2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=.故选项D 错误.不符合题意；故选B ．3．（2021·四川南充市·中考真题）如图.AB 是O 的直径.弦CD AB ⊥于点E .2CD OE =.则BCD ∠的度数为（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】B【分析】 连接OD .根据垂径定理得CD =2DE .从而得ODE 是等腰直角三角形.根据圆周角定理即可求解．【详解】解：连接OD.⊥AB 是O 的直径.弦CD AB ⊥于点E .⊥CD =2DE .⊥2CD OE =.⊥DE =OE .⊥ODE 是等腰直角三角形.即⊥BOD =45°.⊥BCD ∠=12⊥BOD =22.5°. 故选B ．4．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图.O 是Rt ABC △的外接圆.OE AB ⊥交O 于点E .垂足为点D .AE .CB 的延长线交于点F ．若3OD =.8AB =.则FC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】A【分析】 先根据垂径定理可得4=AD .再利用勾股定理可得5OE OA ==.然后根据三角形中位线定理即可得．【详解】解：,8OE AB AB ⊥=.142AD AB ∴==. 3OD =.225OA OD AD ∴=+=.5OE ∴=.OE AB ⊥.90A ADO BC =︒∠∴∠=.//OE FC ∴.又OA OC =.OE ∴是ACF 的中位线.210FC OE ∴==.故选：A ．5．（2021·青海西宁·中考真题）如图.AB 是O 的直径.弦CD AB ⊥于点E .10CD =.2BE =.则O 的半径OC =_______．【答案】294【分析】设半径为r .则OC OB r ==.得到2OE r =-.由垂径定理得到5CE =.再根据勾股定理.即可求出答案．【详解】解：由题意.设半径为r .则OC OB r ==.⊥2BE =.⊥2OE r =-.⊥AB 是O 的直径.弦CD AB ⊥于点E .⊥点E 是CD 的中点.⊥10CD =. ⊥1052CE ==. 在直角⊥OCE 中.由勾股定理得222OC CE OE =+.即2225(2)r r =+-. 解得：294r =． 故答案为：294． 6．（2021·贵州黔东南·中考真题）小明很喜欢钻研问题.一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径.小明连接瓦片弧线两端AB .量的弧AB 的中心C 到AB 的距离CD ＝1.6cm.AB ＝6.4cm.很快求得圆形瓦片所在园的半径为 _________cm ．【答案】4【分析】圆的两弦的中垂线的交点.就是圆心；连接AC .作AC 的中垂线.与直线CD 的交点就是圆心.已知圆心即可作出圆；连接圆心与A .根据勾股定理即可求得半径．【详解】如图.连接OA .⊥CD 是弦AB 的垂直平分线. ⊥1 3.22AD AB ==. 设圆的半径是r ．在直角⊥ADO 中. 3.2 1.6AO r AD DO r ===-，， ．根据勾股定理得.()2223.2 1.6r r =+- .⊥4r =故答案为：4考点2：弧、弦、圆心角、圆周角的关系定理7．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图.正方形ABCD 内接于O .点P 在AB 上.则P ∠的度数为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【分析】 连接OB .OC .由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°.再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB .OC .如图.⊥正方形ABCD 内接于O .⊥90BOC ∠=° ⊥11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 故选：B ．8．（2021·广西来宾市·中考真题）如图.O 的半径OB 为4.OC AB ⊥于点D .30BAC ∠=︒.则OD 的长是（ ）A 2B 3C ．2D ．3 【答案】C【分析】根据圆周角定理求出⊥COB 的度数.再求出⊥OBD 的度数.根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD 的长度．【详解】⊥ ⊥BAC =30°.⊥⊥COB =60°.⊥⊥ODB =90°.⊥⊥OBD =30°.⊥OB =4.⊥OD =12OB =142⨯=2． 故选：C ．9．（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图.C .D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒.则BDC ∠=（ ）A ．85︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒【答案】D【分析】 先利用直径所对的圆周角是直角得到⊥ACB =90°.从而求出⊥BAC .再利用同弧所对的圆周角相等即可求出⊥BDC ．【详解】解：⊥C .D 是⊥O 上直径AB 两侧的两点.⊥⊥ACB =90°.⊥⊥ABC =25°.⊥⊥BAC =90°-25°=65°.⊥⊥BDC =⊥BAC =65°.故选：D ．10．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图.点A .B .C 在⊥O 上.54BAC ∠=︒.则BOC ∠的度数为（ ）A ．27︒B ．108︒C ．116︒D ．128︒【答案】B【分析】 直接利用圆周角定理即可得．【详解】解：54BAC ∠=︒.∴由圆周角定理得：2108BOC BAC ∠=∠=︒.故选：B ．11．（2021·四川内江·中考真题）如图.O 是ABC ∆的外接圆.60BAC ∠=︒.若O 的半径OC 为2.则弦BC 的长为（ ）A ．4B ．3C ．3D 3【答案】B【分析】 过点O 作OM BC ⊥.交BC 于点M .根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．【详解】解：过点O 作OM BC ⊥.交BC 于点M .O 是ABC ∆的外接圆.60BAC ∠=︒.2120BOC BAC ∴∠=∠=︒.又OB OC =.OM BC ⊥.1602COM BOC ∴∠=∠=︒.MB MC =. ∴在Rt COM ∆中.30OCM ∠=︒.112OM OC ∴==.223CM OC OM =- 223BC CM ∴==故选：B ．12．（2021·黑龙江中考真题）如图.在O 中.AB 是直径.弦AC 的长为5cm.点D 在圆上.且30ADC ∠=︒.则O 的半径为_____．【答案】5cm【分析】连接BC .由题意易得30ABC ADC ∠=∠=︒.进而问题可求解．【详解】解：连接BC .如图所示：⊥30ADC ∠=︒.⊥30ABC ADC ∠=∠=︒.⊥AB 是直径.⊥90ACB ∠=︒.⊥5cm AC =.⊥210cm AB AC ==.⊥O 的半径为5cm ；故答案为5cm ．13．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图.ABC 内接于O .50A ∠=︒.点D 是BC 的中点.连接OD .OB .OC .则BOD ∠=_________．【答案】50︒【分析】圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半.再利用等腰三角形三线合一的性质.即可得出答案．【详解】解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半.12A BOC ∠=∠. 100BOC ∴∠=︒.OB OC =. BOC ∴为等腰三角形. 又点D 是BC 的中点.根据等腰三角形三线合一.OD ∴为BOC ∠的角平分线.50BOD ∴∠=︒.故答案是：50︒．14．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图.由边长为1的小正方形组成的网格中.点A .B .C 都在格点上.以AB 为直径的圆经过点C 和点D .则tan =ADC ∠________．【答案】3 2【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得ABC ADC∠=∠.再利用正切的定义求解即可．【详解】解：⊥ABC ADC∠=∠.⊥3 tan=tan=2 ADC ABC∠∠.故答案为：32．15．（2021·安徽中考真题）如图.圆O中两条互相垂直的弦AB.CD交于点E．（1）M是CD的中点.OM＝3.CD＝12.求圆O的半径长；（2）点F在CD上.且CE＝EF.求证：AF BD⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点.OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥.OM 平分 CD .则有6MC =.利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC .延长AF 交BD 于G .根据CE EF =.AE FC ⊥.可得AF AC =.12∠=∠.利用圆周角定理可得2D ∠=∠.可得1D ∠=∠.利用直角三角形的两锐角互余.可证得90AGB ∠=︒.即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC .⊥M 是CD 的中点.OM 与圆O 直径共线⊥OM CD ⊥.OM 平分CD .90OMC ∴∠=︒12CD =6MC ∴=．在Rt OMC △中．22OC MC OM =+2263=+35=⊥圆O 的半径为35（2）证明：连接AC .延长AF 交BD 于G ．CE EF =.AE FC ⊥AF AC ∴=又CE EF =12∠∠∴=BC BC =2D ∴∠=∠1D ∴∠=∠在Rt BED 中90D B ∠+∠=︒190B ∴∠+∠=︒90AGB ∴∠=︒AF BD ∴⊥。

2021年中考数学 三轮专题冲刺：圆的有关性质(含答案)

2021年中考数学 三轮专题冲刺：圆的有关性质(含答案)

2021中考数学三轮专题冲刺：圆的有关性质一、选择题1. 如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，若AB=10，AC=8，则BD的长为()A.2B.4C.2D.4.82. 一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB＝8 dm，DC＝2 dm，则圆形标志牌的半径为()A．6 dm B．5 dm C．4 dm D．3 dm3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是()A.7 B．27 C．6 D．84.△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是( )A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°5. 如图，量角器的零刻度线与三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读A．48°B．64°C．96°D．132°6.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为( )A. 12B.22C.32D.337. 如图，⊙O的半径为8 cm，把劣弧AB沿AB折叠，使劣弧AB经过圆心O，再把劣弧CD沿CD折叠，使劣弧CD经过AB的中点E，则折痕CD的长为()A．8 cm B．8 3 cm C．27 cm D．47 cm8. 2020·武汉模拟小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160 mm，直角顶点A到轮胎与地面接触点B的距离AB为320 mm，请帮小名同学计算轮胎的直径为()A．350 mm B．700 mmC．800 mm D．400 mm9. 如图，点A ，B ，C 在☉O 上，BC=6，∠BAC=30°，则☉O 的半径为 .10. 如图所示，AB是☉O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，∠A=30°，CD=2，则☉O 的半径是 .11. 如图，☉O分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，点P 在优弧上.若∠BAC=66°，则∠EPF 等于 度.12. 当宽为3 cm 的刻度尺的一边与⊙O 相切于点A 时，另一边与⊙O 的两个交点B ，C 处的读数如图所示(单位： cm)，那么该圆的半径为________cm.13. (2019•娄底)如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．14. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ，连接OD ，BE ，它们交于点M ，且MD ＝2，则BE 的长为________.15. 如图，在⊙O中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．16. 只用圆规测量∠XOY 的度数，方法是：以顶点O 为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点A ，B(如图)，在这个圆上顺次截取AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝…，这样绕着圆一周一周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m(m ＞n)次截得的弧的末端恰好与点A 重合，那么∠XOY 的度数等于________．三、解答题17. 如图，AB 是⊙O的直径，弦CD 与AB 相交，D 为AB ︵的中点．(1)求∠ABD 的大小；(2)若AC ＝6，BD ＝5 2，求BC 的长．18.如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点(不与B ，C 重合)，PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径．(1)求证：△APE 是等腰直角三角形； (2)若⊙O 的直径为2，求PC 2＋PB 2的值．19. 2018·牡丹江如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC 于点D .求证：AB ＝2AD .20. 2018·天津 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，∠BAC ＝38°.(1)如图①，若D 为AB ︵的中点，求∠ABC 和∠ABD 的大小；(2)如图②，过点D 作⊙O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，若DP ∥AC ，求∠OC D 的大小．21.如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．2021中考数学 三轮专题冲刺：圆的有关性质-答案一、选择题1. 【答案】C [解析]∵AB 是直径，∴∠C=90°，∴BC==6.∵OD ⊥AC ，∴CD=AD=AC=4， ∴BD==2，故选C .2. 【答案】B[解析] 如图，连接OD ，OB ，则O ，C ，D 三点在一条直线上．因为CD 垂直平分AB ，AB ＝8 dm ，所以BD ＝4 dm ，OD ＝(OC －2)dm.由勾股定理，得42＋(OC －2)2＝OC2，解得OC ＝5(dm)． 故选B.3. 【答案】B[解析] 连接OC，则OC＝4，OE＝3.在Rt△OCE中，CE＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB⊥CD，所以CD＝2CE＝2 7.4. 【答案】 C【解析】由CD为腰上的高，I为△ACD的内心，则∠IAC＋∠ICA＝1 2(∠DAC＋∠DCA)＝12(180°－∠ADC)＝12(180°－90°)＝45°，所以∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB≌△AIC，得∠AIB＝∠AIC＝135°.5. 【答案】C[解析] ∵∠ACB＝90°，∴点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上．第24秒时，∠ACE＝48°，∴∠EOA＝2∠ACE＝96°.6. 【答案】A 【解析】如解图，连接OC，∵EC切⊙O于C，∴∠OCE＝90°，∵OA＝OC，解图∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COE＝∠ACO＋∠A＝30°＋30°＝60°，∴∠E＝180°－∠OCE－∠COE＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt△COE中，sin∠E＝sin30°＝1 2.7. 【答案】D[解析] 如图，作CD关于AB对称的弦C′D′，连接OE并延长，交CD于点F，交C′D′于点F′.由题意可得OF′⊥C′D′，且OF′＝34×8＝6(cm)，所以C′F′＝OC′2－OF′2＝ 2 7 cm，所以CD＝C′D′＝2C′F′＝4 7 cm.8. 【答案】C二、填空题9. 【答案】6[解析]连接OB，OC.∵∠BOC=2∠BAC=60°，OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB=BC=6，故答案为6.10. 【答案】2[解析]连接OC ，则OA=OC ，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°. ∵OB ⊥CD ，CD=2，∴CH=，∴OH=1，∴OC=2.11. 【答案】57[解析]连接OE ，OF .∵☉O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，∴OF ⊥AC ，OE ⊥AB ，∴∠BAC +∠EOF=180°，∵∠BAC=66°， ∴∠EOF=114°.∵点P 在优弧上，∴∠EPF=∠EOF=57°.故填:57.12. 【答案】25613. 【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1．14. 【答案】8[解析] 连接AD ，如图所示．∵以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ， ∴∠AEB ＝∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC. 又∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD.又∵OA ＝OB ，∴OD ∥AC ， ∴OD ⊥BE ，∴BM ＝EM ， ∴CE ＝2MD ＝4， ∴AE ＝AC －CE ＝6，∴BE ＝AB2－AE2＝102－62＝8.15. 【答案】12 [解析] 连接OD.因为CD ⊥OC ，所以CD ＝OD2－OC2，根据题意可知圆的半径一定，故当OC 最小时CD 最大，故当OC ⊥AB 时CD 最大，此时CD ＝12AB ＝12.16. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m ° [解析] 设∠XOY 的度数为x ，则mx ＝n ×360°，所以x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m °.三、解答题17. 【答案】解：(1)∵D 为AB ︵的中点， ∴AD ︵＝BD ︵.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠ABD ＝∠DAB ＝45°.(2)由(1)知AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD ＝5 2. 又∵∠ADB ＝90°， ∴AB ＝AD2＋BD2＝10. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴BC ＝AB2－AC2＝102－62＝8.18. 【答案】【思路分析】(1)因为PE 是直径，所以∠PAE ＝90°，要证△PAE 是等腰直角三角形，只要证PA ＝EA ，由已知得∠PBA ＝45°，而∠PEA 与∠PBA 是同弧所对的圆周角，所以∠PEA ＝∠PBA ，问题得证；(2)由(1)得△PAC ≌△EAB ，所以PC ＝BE ，因为PE 是直径，所以∠PBE ＝90°，所以PC 2＋PB 2＝BE 2＋PB 2＝PE 2＝4.解图(1)证明：如解图，∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC ＝AB ，∠CAB ＝90°，∠PBA ＝45°， ∵在⊙O 中，∠PEA 与∠PBA 都是AP ︵所对的圆周角， ∴∠PEA ＝∠PBA ＝45°， ∵PE 为⊙O 的直径， ∴∠PAE ＝90°，(4分)∴△PAE 为等腰直角三角形且AP ＝AE ；(5分) (2)∵∠PAE ＝∠CAB ＝90°，∴∠CAB －∠PAB ＝∠PAE －∠PAB ， ∴∠CAP ＝∠BAE ，∴△CAP ≌△BAE(SAS )，(8分) ∠C ＝∠ABE ＝45°，∠PBE ＝∠PBA ＋∠ABE ＝90°(10分)在Rt △PBE 中，PC 2＋PB 2＝PE 2＝4.(12分)19. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E ，∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD .∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵，∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD .20. 【答案】解：(1)如图①，连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝90°－∠BAC ＝90°－38°＝52°.∵D 为AB ︵的中点，∠AOB ＝180°，∴∠AOD ＝90°，∴∠ABD ＝12∠AOD ＝45°.(2)如图②，连接OD .∵DP 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥DP ，即∠ODP ＝90°.∵DP ∥AC ，∠BAC ＝38°，∴∠P ＝∠BAC ＝38°.∵∠AOD 是△ODP 的一个外角，∴∠AOD ＝∠P ＋∠ODP ＝128°，∴∠ACD ＝64°.∵OC ＝OA ，∠BAC ＝38°，∴∠OCA ＝∠BAC ＝38°，∴∠OCD ＝∠ACD －∠OCA ＝64°－38°＝26°.21. 【答案】(1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2，∴AC ＝OA ＝OC ，∴△ACO 为等边三角形，∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°，∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，又∵DC 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥DC ，∴∠DCO ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；解图(2)证明：如解图，连接PB ，OP ，∵AB 为直径，∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°，∴△COP 和△BOP 都为等边三角形，∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ，∴四边形OBPC 为菱形；(3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径，∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 与Rt △CP A 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CP AC ＝AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △CP A (HL)．。

2021年中考复习数学专题训练：圆的有关性质(含答案)

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2021中考数学专题训练：圆的有关性质一、选择题1. 如图，AB为☉O的直径，C，D为☉O上两点，若☉BCD=40°，则☉ABD的大小为()A.60°B.50°C.40°D.20°2. 如图，在☉ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的☉O与AC 相切于点D，BD平分☉ABC，AD=OD，AB=12，CD的长是()A.2B.2C.3D.43. △ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是()A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°4. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为()A．6 2 B．3 2 C．6 D．125. 如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为()A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5°6. 2019·武汉京山期中在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB上升()A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米7. 如图，AB是☉O的直径，C是☉O上的点，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E，若☉A＝30°，则sin∠E的值为()A. 12B.22C.32D.338. 2019·天水如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为()A．20° B．25° C．30° D．35°二、填空题9. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升了cm.10. 已知：如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，则四边形OACB是________．(填特殊平行四边形的名称)11. 如图，已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．12. 如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________°.13. 已知⊙O 的半径为2，弦BC ＝23，A 是⊙O 上一点，且AB ︵＝AC ︵，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为________．14. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动(点C ，D 与点A ，B 不重合)，M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P.若CD ＝3，AB ＝8，PM ＝l ，则l 的最大值是________．三、解答题15. 如图，☉ABC内接于☉O，AB＝AC，☉BAC＝36°，过点A作AD☉BC，与☉ABC 的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与☉O交于点F.(1)求☉DAF的度数；(2)求证：AE2＝EF·ED；(3)求证：AD是☉O的切线．16. 如图，点E是☉ABC的内心，线段AE的延长线交BC于点F(☉AFC≠90°)，交☉ABC的外接圆于点D.(1)求点F与☉ABC的内切圆☉E的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若☉BAC＝90°，☉ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B，C，E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．17. (2019•襄阳)如图，点是的内心，的延长线和的外接圆圆相交于点，过作直线．(1)求证：是圆的切线；E ABC△AE ABC△O D D DG BC∥DG O(2)若，，求优弧的长．18. 已知⊙O的半径为3，⊙P 与⊙O 相切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P分别交于点B 、C ，cos ∠BAO ＝13．设⊙P 的半径为x ，线段OC 的长为y ． （1）求AB 的长；（2）如图，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA ＝∠OPC 时，求⊙P 的半径．2021中考数学专题训练：圆的有关性质-答案一、选择题1. 【答案】B [解析]如图，连接AD ，∵AB 为☉O 的直径，∴∠ADB=90°. ∵∠A 和∠BCD 都是所对的圆周角， ∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°-40°=50°.故选B .6DE=BC =BAC2. 【答案】A[解析]∵☉O 与AC 相切于点D ，∴AC ⊥OD ，∴∠ADO=90°，∵AD=OD ，∴tan A==，∴∠A=30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD=∠CBD ，∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB ，∴∠ODB=∠CBD ，∴OD ∥BC ，∴∠C=∠ADO=90°，∴∠ABC=60°，BC=AB=6， ∵∠CBD=30°，∴CD=BC=×6=2.故选A .3. 【答案】C【解析】由CD 为腰上的高，I 为△ACD 的内心，则∠IAC ＋∠ICA＝12(∠DAC ＋∠DCA)＝12(180°－∠ADC)＝12(180°－90°)＝45°，所以∠AIC ＝180°－(∠IAC ＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB ≌△AIC ，得∠AIB ＝∠AIC ＝135°.4. 【答案】A [解析] ∵∠A ＝22.5°，∴∠COE ＝45°.∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ， ∴CE ＝DE ，∠CEO ＝90°. ∵∠COE ＝45°，∴CE ＝OE.在Rt △COE 中，由勾股定理，得CE2＋OE2＝OC2，∴2CE2＝62，解得CE ＝3 2，∴CD ＝2CE ＝6 2.故选A.5. 【答案】D [解析] ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝22.5°，∴∠AOB ＝180°－22.5°－22.5°＝135°，∴∠C ＝180°－12×135°＝112.5°.6. 【答案】D7. 【答案】A【解析】如解图，连接OC ，∵EC 切☉O 于C ，∴∠OCE ＝90°，∵OA ＝OC ，解图∴∠ACO ＝∠A ＝30°，∴∠COE ＝∠ACO ＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E ＝180°－∠OCE －∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt △COE 中，sin ∠E ＝sin30°＝12.8. 【答案】C二、填空题9. 【答案】10或70 [解析]作OD ⊥AB 于C ，OD 交☉O 于点D ，连接OB.由垂径定理得:BC=AB=30 cm . 在Rt☉OBC 中，OC==40(cm).当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm 时， 圆心到水面距离==30(cm)，水面上升的高度为:40-30=10(cm).当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm 时，水面上升的高度为:40+30=70(cm). 综上可得，水面上升的高度为10 cm 或70 cm . 故答案为10或70.10. 【答案】菱形 [解析] 连接OC.∵C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠COB ＝60°.又∵OA ＝OC ＝OB ，∴△OAC 和△OCB 都是等边三角形， ∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ， ∴四边形OACB 是菱形．11. 【答案】8[解析] 由题意可得A ，P ，B ，C 在同一个圆上，所以当BP 为圆的直径时，BP 最大，此时∠P AB ＝90°.过点C 作CD ⊥AB 于点D ，可求得AB ＝4 3，进而可求得BP 的最大值为8.12. 【答案】15 [解析] ∵OC ⊥OB ，∴∠COB ＝90°.又∵OC ＝OB ，∴△COB 是等腰直角三角形， ∴∠OBC ＝45°.∵OA ＝AB ，OA ＝OB ，∴OA ＝AB ＝OB ， ∴△AOB 是等边三角形，∴∠OBA ＝60°， ∴∠ABC ＝∠OBA －∠OBC ＝15°.13. 【答案】3或1 [解析] 如图所示：∵⊙O 的半径为2，弦BC ＝2 3，A 是⊙O 上一点，且AB ︵＝AC ︵， ∴AO ⊥BC ，垂足为D ， 则BD ＝12BC ＝ 3.在Rt △OBD 中， ∵BD2＋OD2＝OB2， 即(3)2＋OD2＝22， 解得OD ＝1.∴当点A 在如图①所示的位置时，AD ＝OA －OD ＝2－1＝1； 当点A 在如图②所示的位置时，AD ＝OA ＋OD ＝2＋1＝3.14. 【答案】34 [解析] 如图，当CD ∥AB 时，PM 的长最大，连接OM ，OC .∵CD ∥AB ，CP ⊥AB ， ∴CP ⊥CD .∵M 为CD 的中点，OM 过点O ，∴OM ⊥CD ，∴∠OMC ＝∠PCD ＝∠CPO ＝90°， ∴四边形CPOM 是矩形， ∴PM ＝OC .∵⊙O 的直径AB ＝8， ∴半径OC ＝4，∴PM ＝4. 三、解答题15. 【答案】(1)解：☉AB ＝AC ，☉BAC ＝36°，☉☉ABC ＝☉ACB ＝12(180°－36°)＝72°， ☉☉AFB ＝☉ACB ＝72°， ☉BD 平分☉ABC ， ☉☉DBC ＝36°， ☉AD ☉BC ，☉☉D ＝☉DBC ＝36°，☉☉DAF ＝☉AFB －☉D ＝72°－36°＝36°；(2)证明：☉☉EAF ＝☉FBC ＝☉D ，☉AEF ＝☉AED ， ☉☉EAF ☉☉EDA ， ☉AE DE ＝EF EA ， ☉AE 2＝EF ·ED ；(3)证明：如解图，过点A 作BC 的垂线，G 为垂足， ☉AB ＝AC ，☉AG 垂直平分BC ， ☉AG 过圆心O ， ☉AD ☉BC ， ☉AD ☉AG ，☉AD 是☉O 的切线．解图16. 【答案】解：(1)设⊙E 切BC 于点M ，连接EM ，则EM ⊥BC .又线段AE 的延长线交BC 于点F ，∠AFC ≠90°，∴EF >EM ，∴点F 在☉ABC 的内切圆⊙E 外． (2)证明：∵点E 是☉ABC 的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设☉ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为☉ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD2＋CD2＝BC2，∴BD＝CD＝3 2.(4)B，C，E三点可以确定一个圆．如图②，连接CD.∵点E是☉ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又由(2)可知ED＝BD，∴BD＝CD＝ED，∴B，C，E三点确定的圆的圆心为点D，半径为BD(或ED，CD)的长度．17. 【答案】(1)连接交于，如图，OD BC H∵点是的内心，∴平分，即，∴，∴，， ∵，∴，∴是圆的切线．(2)连接、，如图，∵点是的内心，∴，∵，∴，∴，∵， 在中，， ∴，而，∴为等边三角形，∴，，∴，∴优弧的长=．18. 【答案】 （1）如图2，作OE ⊥AB ，垂足为E ，由垂径定理，得AB ＝2AE ．E ABC △AD BAC ∠BAD CAD ∠=∠BD CD =OD BC BH CH =DG BC ∥OD DG ⊥DG O BD OB E ABC △ABE CBE ∠=∠DBC BAD ∠=∠DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠6DB DE ==12BH BC ==Rt BDH△sin BH BDH BD ∠===60BDH ∠=︒OB OD =OBD △60BOD ∠=︒6OB BD ==120BOC ∠=︒BAC (360120)π68π180-⋅⋅=在Rt △AOE 中，cos ∠BAO ＝13AE AO =，AO ＝3，所以AE ＝1．所以AB ＝2． （2）如图2，作CH ⊥AP ，垂足为H ．由△OAB ∽△P AC ，得AO AP AB AC =．所以32x AC =．所以23AC x =．在Rt △ACH 中，由cos ∠CAH ＝1，得13AH AC ==所以1239AH AC x ==，39CH AC x ==．在Rt △OCH 中，由OC 2＝OH 2＋CH 2，得2222)(3)9y x x =++．整理，得y =x ＞0．图2 图3（3）①如图3，当⊙P 与⊙O 外切时，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△OCA ∽△OPC ．因此OA OC OC OP=．所以2OC OA OP =⋅． 解方程236493(3)813x x x ++=+，得154x =．此时⊙P 的半径为154． ②如图4，图5，当⊙P 与⊙O 内切时，同样的△OAB ∽△P AC ，23AC x =． 如图5，图6，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△ACO ∽△APC ．所以AO AC AC AP=．因此2AC AO AP =⋅． 解方程22()33x x =，得274x =．此时⊙P 的半径为274．图4 图5 图6考点伸展第（3）题②也可以这样思考：如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，3个等腰三角形△OAB、△P AC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．这样，△CAO的三边长为92、92、3．△P AC的三边长为274、274、92．。

2021年中考数学专题汇编：圆的有关性质（含答案）

2021年中考数学专题汇编：圆的有关性质（含答案）

2021年中考数学专题汇编：圆的有关性质（含答案）2021中考数学专题汇编：圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知直径MN ⊥弦AB ，垂足为C ，有下列结论：①AC ＝BC ；②AN ︵＝BN ︵；③AM ︵＝BM ︵；④AM ＝BM .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42. 如图，☉O的直径AB 垂直于弦CD.垂足是点E ，∠CAO=22.5°，OC=6，则CD 的长为 ( )A .6B .3C .6D .123. 如图，AB 是⊙O的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上．若∠AED ＝20°，则∠BCD的度数为( )A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°4. 2019·葫芦岛如图，在⊙O 中，∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，则∠ABO 的度数为( )A ．70°B ．55°C ．45°D ．35°5. 2019·赤峰如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D 是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为()A．30°B．40°C．50°D．60°6. 如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为()A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°7. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为2 3，则a的值是()A．2 B．2＋ 2C．2 3 D．2＋ 38. 如图，⊙P与x轴交于点A(—5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为()A.13＋ 3 B ．2 2＋ 3C ．4 2D ．2 2＋29. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．7 cmD ．8 cm10. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA ＝1 m ，水面宽AB ＝1.2m ，某天下雨后，排水管水面上升了0.2 m ，则此时排水管水面宽为( )A ．1.4 mB ．1.6 mC ．1.8 mD ．2 m二、填空题（本大题共8道小题）11. 2019·随州如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵上．若∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为________．12. 如图，AB 为⊙O的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．13. 已知：如图，A ，B是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，则四边形OACB 是________．(填特殊平行四边形的名称)14. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，C 为弧BD 的中点．若∠DAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.15. 如图所示，OB ，OC是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.16. 如图，已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．17. 如图，在☉O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交☉O 于点D ，则CD 的最大值为 .18. 已知⊙O的半径为2，弦BC ＝2 3，A 是⊙O 上一点，且AB ︵＝AC ︵，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为________．三、解答题（本大题共4道小题）19.如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 相交于点D ，E ，BD ＝C D ，过点D 作⊙O 的切线交边AC 于点F. (1)求证：DF ⊥AC ；(2)若⊙O 的半径为5，∠CDF ＝30°，求BD ︵的长．(结果保留π)20. 如图，在⊙O 中，AB ＝DE ，BC ＝EF .求证：AC ＝DF .21. 如图为一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB ＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米． (1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．22.如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠F AB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝43且CFCP＝34时，求劣弧BD︵的长度．2021中考数学专题汇编：圆的有关性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D2. 【答案】A[解析]∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵☉O的直径AB垂直于弦CD，∴∠CEO=90°，CE=DE.∵∠COE=45°，∴CE=OE=OC=3，∴CD=2CE=6，故选A.3. 【答案】B[解析] 连接AC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠AED＝20°，∴∠ACD＝20°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝110°.故选B.4. 【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】D[解析] ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝22.5°，∴∠AOB＝180°－22.5°－22.5°＝135°，∴∠C＝180°－12×135°＝112.5°.7. 【答案】B[解析] 如图，连接PB，过点P作PC⊥AB于点C，过点P作横轴的垂线，垂足为E，交AB于点D，则PB＝2，BC＝3.在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝1.∵直线y＝x平分第一象限的夹角，∴△PCD和△DEO都是等腰直角三角形，∴PD＝2，DE＝OE＝2，∴a＝PE＝2＋ 2.故选B.8. 【答案】B[解析] 如图，连接PA，PB，PC，过点P作PD⊥AB 于点D，PE ⊥OC于点E.∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝30°.∵A(－5，0)，B(1，0)，∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝3，PA＝PB＝PC＝2 3.∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝3，PE＝OD＝3－1＝2，∴CE＝PC2－PE2＝12－4＝2 2，∴OC＝CE＋OE＝2 2＋3，∴点C的纵坐标为2 2＋ 3.故选B.9. 【答案】A[解析] 作出该球轴截面的示意图如图所示．依题意，得BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm.设OE＝x cm，则OA＝(2＋x)cm.∵OA2＝AE2＋OE2，∴(2＋x)2＝42＋x2，解得x＝3，故该球的半径为5 cm.10. 【答案】B[解析] 如图，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OC.∵AB＝1.2 m，OE⊥AB，OA＝1 m，∴AE＝0.6 m，∴OE＝0.8 m.∵排水管水面上升了0.2 m，∴OF＝0.8－0.2＝0.6(m)．由题意可知CD∥AB.∵OE⊥AB，∴OE⊥CD，∴CF＝OC2－OF2＝0.8 m，CD＝2CF，∴CD ＝1.6 m ．故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】40°12. 【答案】5[解析] 设圆的半径为x ，则OE ＝x －1.根据垂径定理可知，CE ＝3，由勾股定理可得32＋(x －1)2＝x2，解得x ＝5. 故答案为5.13. 【答案】菱形[解析] 连接OC.∵C 是AB ︵的中点，∴∠AOC ＝∠COB ＝60°. 又∵OA ＝OC ＝OB ，∴△OAC 和△OCB 都是等边三角形，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ，∴四边形OACB 是菱形．14. 【答案】70[解析] 如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵C为弧BD 的中点，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝20°，∴∠ABC ＝70°.15. 【答案】50[解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.16. 【答案】8[解析] 由题意可得A ，P ，B ，C 在同一个圆上，所以当BP 为圆的直径时，BP 最大，此时∠P AB ＝90°.过点C 作CD ⊥AB 于点D ，可求得AB ＝4 3，进而可求得BP 的最大值为8.17. 【答案】[解析]连接OD ，因为CD ⊥OC ，所以CD=，根据题意可知圆半径一定，故当OC 最小时CD 最大.当OC ⊥AB 时OC 最小，CD 最大值=AB=.18. 【答案】3或1 [解析] 如图所示：∵⊙O 的半径为2，弦BC ＝2 3，A 是⊙O 上一点，且AB ︵＝AC ︵，∴AO ⊥BC ，垂足为D ，则BD ＝12BC ＝ 3. 在Rt △OBD 中，∵BD2＋OD2＝OB2，即(3)2＋OD2＝22，解得OD ＝1.∴当点A 在如图①所示的位置时，AD ＝OA －OD ＝2－1＝1；当点A 在如图②所示的位置时，AD ＝OA ＋OD ＝2＋1＝3.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】(1)证明：如解图，连接OD ，(1分) ∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点，解图∴OD ⊥DF ，∴∠ODF ＝90°，(2分) ∵BD ＝CD ，OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线，(3分) ∴OD ∥AC ，∴∠CFD ＝∠ODF ＝90°，∴DF ⊥AC.(4分)(2)解：∵∠CDF ＝30°，由(1)得∠ODF ＝90°，∴∠ODB ＝180°－∠CDF －∠O DF ＝60°，∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，(7分) ∴∠BOD ＝60°，∴lBD ︵＝n πR 180＝60π×5180＝53π.(8分)20. 【答案】证明：∵AB ＝DE ，BC ＝EF ，∴AB ︵＝DE ︵，BC ︵＝EF ︵，∴AB ︵＋BC ︵＝DE ︵＋EF ︵，∴AC ︵＝DF ︵，∴AC ＝DF .21. 【答案】解：(1)如图①，设点E 是桥拱所在圆的圆心，连接AE ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交AB ︵于点D.根据垂径定理知F 是AB 的中点，D 是AB ︵的中点，DF 的长是桥拱到水面的最大高度，∴AF ＝FB ＝12AB ＝40米，EF ＝DE －DF ＝AE －DF. 由勾股定理，知AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE －DF)2. 设桥拱的半径为r 米，则r2＝402＋(r －20)2，解得r ＝50.答：桥拱的半径为50米．(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．理由如下：如图②，由题意，知DE ⊥MN ，PM ＝12MN ＝30米，EF ＝50－20＝30(米)．在Rt △PEM中，PE ＝EM2－PM2＝40米，∴PF ＝PE －EF ＝40－30＝10(米)．∵10米＞9米，∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．22. 【答案】(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径，∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ，∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠CAF ＝∠OAC ，∴AC 平分∠F AB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠DCP ＝90°，∴∠ACB ＝∠DCP ＝90°，又∵∠BAC ＝∠D ，∴△ACB ∽△DCP ，∴∠EBC ＝∠P ，∵CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝90°，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC ＝90°，∴∠CBP ＝90°，∴∠BEC ＝∠CBP ，∴△CBE ∽△CPB ，∴BC PC ＝CE CB ，∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠F AB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34，∴CE CP ＝34，设CE ＝3k ，则CP ＝4k ，∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2，∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32，∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.。

2021年 中考数学 专题训练：与圆有关的性质(含答案)

2021年 中考数学 专题训练：与圆有关的性质(含答案)

2021 中考数学专题训练：与圆有关的性质一、选择题1. 如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A．50°B．55°C．60°D．65°2. 已知⊙O的半径为5 cm，P是⊙O内一点，则OP的长可能是()A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm3. 下列语句中不正确的有()①过圆上一点可以作圆中最长的弦无数条；②长度相等的弧是等弧；③圆上的点到圆心的距离都相等；④在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长．A．1个B．2个C．3个D．4个4. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，=.若∠C=110°，则∠ABC的度数等于()A.55°B.60°C.65°D.70°5. 2019·赤峰如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°6. (2019•广元)如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．5B ．4C ．13D ．4.87. 下列说法：①矩形的四个顶点在同一个圆上；②菱形的四个顶点在同一个圆上；③平行四边形的四个顶点在同一个圆上．其中正确的有( )链接听P37例3归纳总结 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°9. (2019•镇江)如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒10. 2019·天水如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°二、填空题11.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.12. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E 在边BC上，连接AE，若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为.︵13. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是BAC 上一点，则∠D＝________．14. 如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB.若AB＝10，CD＝8，则圆心O到弦CD 的距离为________．15. 如图所示，OB ，OC 是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.16. (2019•娄底)如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．17. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.18. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________°.三、解答题19.如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥B C.20.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．21. (2019•辽阳)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，∠=∠．AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若23==，求阴影部分的面积．CE AE2021 中考数学专题训练：与圆有关的性质-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A3. 【答案】B[解析] ①②不正确．4. 【答案】A[解析]连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°.∵=，∴∠CAB=∠DAB=35°.∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A .5. 【答案】D6. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．7. 【答案】B[解析] 矩形的两条对角线的交点到矩形的四个顶点的距离相等，故它的四个顶点在以对角线的交点为圆心、对角线长的一半为半径的圆上．8. 【答案】B9. 【答案】A【解析】如图，连接AC ，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°–∠C=70°， ∵DC CB =，∴∠CAB=12∠DAB=35°， ∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°–∠CAB=55°，故选A ．10. 【答案】C二、填空题11.【答案】50°【解析】∵AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠BAT ＝90°，在Rt △BAT 中，∵∠ABT ＝40°，∴∠ATB ＝50°.12. 【答案】52°[解析]∵圆内接四边形对角互补，∴∠B +∠D=180°，∵∠B=64°，∴∠D=116°.∵点D 关于AC 的对称点是点E ，∴∠D=∠AEC=116°. ∵∠AEC=∠B +∠BAE ，∴∠BAE=52°.13. 【答案】40°【解析】AC 是⊙O 的直径⇒∠ABC ＝90°⇒⎭⎪⎬⎪⎫ ∠A ＝90°－50°＝40°∠A 和∠D 都是BC ︵所对的圆周角 ⇒∠D ＝∠A ＝40°. 14. 【答案】315. 【答案】50 [解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.16. 【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1．17. 【答案】65[解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.18. 【答案】58[解析] 方法一：如图①，连接OB.∵在△OAB 中，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA.又∵∠OAB ＝32°，∴∠OBA ＝32°，∴∠AOB ＝180°－2×32°＝116°.又∵∠C ＝12∠AOB(一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半)， ∴∠C ＝58°.方法二：如图②，过点A作直径AD，连接BD，则∠ABD＝90°，∴∠C＝∠D ＝90°－32°＝58°(同弧所对的圆周角相等)．三、解答题19. 【答案】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵MP为⊙O的切线，∴∠PMO＝90°，∵MP∥AC，∴∠P＝∠CAB，∴∠MOP＝∠B,故MO∥BC.20. 【答案】(1)证明：如解图，连接DO，∴∠BOD＝2∠BCD＝∠A，(2分)解图又∵∠DEA＝∠CBA，∴∠DEA＋∠DOE＝∠CAB＋∠CBA，又∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，(5分)∴OD⊥DE，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．(7分)(2)解：如解图，连接BD，可得△FBD ∽△DBO ， ∴BD BO ＝DF OD ＝BF BD ，(8分)∴BD ＝DF ＝10，∴OB ＝5，(10分)即⊙O 的半径为5.21. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒， ∵OA OE =，∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠， ∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵CE AE == ∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠， ∴2AEO EAC ∠=∠， ∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠， ∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒， ∴OAE △是等边三角形， ∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴260π2π360=AOE S ⋅⨯=扇形，在Rt OAE △中，sin 32OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π。

2021年九年级中考数学 专题突破：圆的有关性质

2021年九年级中考数学 专题突破：圆的有关性质

2021中考数学 专题突破：圆的有关性质一、选择题1. 已知：如图，OA ，OB是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 在⊙O 上，则∠ACB的度数为( )A ．45°B ．35°C ．25°D ．20°2. 如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点．若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的度数为 ( )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°3.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是( ) A. 120° B. 125° C. 135° D. 150°4. 如图，四边形ABCD 是半圆O 的内接四边形，AB 是直径，DC ︵＝CB ︵.若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数为( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°5. 在⊙O 中，M为AB ︵的中点，则下列结论正确的是( )A．AB＞2AMB．AB＝2AMC．AB＜2AMD．AB与2AM的大小关系不能确定6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是()A.7 B．27 C．6 D．87. 如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为()A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°8. (2019•益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是A．PA=PB B．∠BPD=∠APDC．AB⊥PD D．AB平分PD9.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于( ) A. 64°B. 58°C. 72°D. 55°10. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a ＞2)，半径为2，函数y＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为2 3，则a 的值是( )A ．2B ．2＋ 2C ．2 3D ．2＋ 3二、填空题11. 如图，C ，D两点在以AB 为直径的圆上，AB ＝2，∠ACD ＝30°，则AD ＝________．12. 如图，已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．13. 如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________°.14. 如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝________°.15. 如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，则圆心P 的坐标为________．16. 只用圆规测量∠XOY 的度数，方法是：以顶点O 为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点A ，B(如图)，在这个圆上顺次截取AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝…，这样绕着圆一周一周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m(m ＞n)次截得的弧的末端恰好与点A 重合，那么∠XOY 的度数等于________．三、解答题17.如图，已知⊙O 上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD ︵＝BC ︵，连接AB ，AD ，BD ，延长AB 到点E ，使BE ＝AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF.求证：BF＝12BD.18. 2018·北京对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(M，N)．已知点A(－2，6)，B(－2，－2)，C(6，－2)．(1)求d(点O，△ABC)；(2)记函数y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G.若d(G，△ABC)＝1，直接写出k 的取值范围；(3)⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1.若d(⊙T，△ABC)＝1，直接写出t的取值范围．19. 如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1tan2A=时，求AP的长；（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tan3A=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1 图2 图32021中考数学 专题突破：圆的有关性质-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B3.【答案】C 【解析】由CD 为腰上的高，I 为△ACD 的内心，则∠IAC ＋∠ICA ＝12(∠DAC ＋∠DCA)＝12(180°－∠ADC)＝12(180°－90°)＝45°，所以∠AIC ＝180°－(∠IAC ＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB ≌△AIC ，得∠AIB ＝∠AIC ＝135°.4. 【答案】A[解析] 如图，连接AC.∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形， ∴∠DAB ＝180°－∠BCD ＝70°. ∵DC ︵＝CB ︵，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝35°. ∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝90°－∠CAB ＝55°.故选A.5. 【答案】C[解析] 如图，∵M 为AB ︵的中点，∴AM ＝BM.∵AM ＋BM ＞AB ，∴AB＜2AM.故选C.6. 【答案】B[解析] 连接OC，则OC＝4，OE＝3.在Rt△OCE中，CE＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB⊥CD，所以CD＝2CE＝2 7.7. 【答案】D[解析] ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝22.5°，∴∠AOB＝180°－22.5°－22.5°＝135°，∴∠C＝180°－12×135°＝112.5°.8. 【答案】D【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，所以A成立；∠BPD=∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC=BC，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D．9. 【答案】B【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝O C，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝12(180°－∠AOC)＝12×(180°－64°)＝58°.10. 【答案】B[解析] 如图，连接PB，过点P作PC⊥AB于点C，过点P作横轴的垂线，垂足为E，交AB于点D，则PB＝2，BC＝ 3.在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝1.∵直线y＝x平分第一象限的夹角，∴△PCD和△DEO都是等腰直角三角形，∴PD＝2，DE＝OE＝2，∴a＝PE＝2＋ 2.故选B.二、填空题11. 【答案】1[解析] ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝12AB＝12×2＝1.12. 【答案】8[解析] 由题意可得A，P，B，C在同一个圆上，所以当BP为圆的直径时，BP最大，此时∠P AB＝90°.过点C作CD⊥AB于点D，可求得AB ＝4 3，进而可求得BP的最大值为8.13. 【答案】15[解析] ∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°.又∵OC＝OB，∴△COB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°.∵OA＝AB，OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OBA＝60°，∴∠ABC＝∠OBA－∠OBC＝15°.14. 【答案】40[解析] ∵∠BCD＝180°－∠A＝125°，∠CBF＝∠A＋∠E＝85°，∴∠F＝∠BCD－∠CBF＝125°－85°＝40°.15. 【答案】(－4，－7)[解析] 过点P作PH⊥MN于点H，连接PM，则MH＝12MN＝3，OH＝OM＋MH＝7.由勾股定理，得PH＝4，∴圆心P的坐标为(－4，－7)．16. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫360n m ° [解析] 设∠XOY 的度数为x ，则mx ＝n ×360°，所以x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m °.三、解答题17. 【答案】证明：连接AC.∵AB ＝BE ，F 是EC 的中点， ∴BF 是△EAC 的中位线， ∴BF ＝12AC. ∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AB ︵＝BC ︵＋AB ︵，即BD ︵＝AC ︵， ∴BD ＝AC ，∴BF ＝12BD.18. 【答案】解：(1)如图所示，点O 到△ABC 的距离的最小值为2， ∴d (点O ，△ABC )＝2.(2)如图，函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过原点，在－1≤x ≤1范围内，函数图象为线段． 当函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象经过点(1，－1)时，k ＝－1，此时d (G ，△ABC )＝1；当函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象经过点(－1，－1)时，k ＝1，此时d (G ，△ABC )＝1. ∴－1≤k ≤1.又∵k ≠0，∴－1≤k ≤1且k ≠0.(3)如图，⊙T 与△ABC 的位置关系分三种情况：①当⊙T 在△ABC 的左侧时，d (⊙T ，△ABC )＝1，此时t ＝－4.②当⊙T 在△ABC 的内部时，当点T 与原点重合时，d (⊙T ，△ABC )＝1，此时t ＝0； 当点T 位于T 3位置时，由d (⊙T ，△ABC )＝1知T 3M ＝2. ∵AB ＝BC ＝8，∠ABC ＝90°， ∴∠C ＝∠T 3DM ＝45°， 则T 3D ＝2 2， ∴t ＝4－2 2. 故此时0≤t ≤4－2 2. ③当⊙T 在△ABC 的右侧时， 由d (⊙T ，△ABC )＝1知T 4N ＝2. ∵∠T 4DC ＝∠C ＝45°， ∴T 4D ＝2 2， ∴t ＝4＋2 2.综上，t ＝－4或0≤t ≤4－2 2或t ＝4＋2 2.19. 【答案】（1）如图4，过点O 作OH ⊥AP ，那么AP ＝2AH ．在Rt △OAH 中，OA ＝3，1tan 2A =，设OH ＝m ，AH ＝2m ，那么m 2＋(2m )2＝32．解得35m =．所以12524AP AH m ===．（2）如图5，联结OQ 、OP ，那么△QPO 、△OAP 是等腰三角形． 又因为底角∠P 公用，所以△QPO ∽△OAP ． 因此QP OP POPA=，即33y x=．由此得到9y x=．定义域是0＜x ≤6．图4 图5（3）如图6，联结OP ，作OP 的垂直平分线交AP 于Q ，垂足为D ，那么QP 、QO 是⊙Q 的半径．在Rt △QPD 中，1322PD PO ==，4tan tan 3P A ==，因此52QP =．如图7，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝3－r ．由⊙M 与⊙Q 外切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =+． 在Rt △QOM 中，52QO =，OM ＝3－r ，52QM r =+，由勾股定理，得 22255()(3)()22r r +=-+．解得911r =．图6 图7 图8考点伸展如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多少？同样的，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝r －3．由⊙M 与⊙Q 内切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =-． 在Rt △QOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()22r r -=-+．解得r ＝9．。

全国各地2021年中考数学试卷解析版分类汇编 圆的有关性质专题

全国各地2021年中考数学试卷解析版分类汇编 圆的有关性质专题

圆的有关性质一、选择题1. （2021•山东潍坊，第6题3分）如图，平行四边形ABCD的极点A、B、D在⊙0上，极点C在⊙O直径BE上，连接AE，∠E=36°，那么∠ADC的度数是( )A,44°B．54°C．72° D．53°考点：圆周角定理；平行四边形的性质．分析：依照平行四边形的性质取得∠ABC=∠ADC，再依照圆周角定理的推论由BE为⊙O的直径取得∠BAE=90°，然后依照三角形内角和定理可计算出∠ABE的度数．解答：∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∴∠ABC=90°－∠AEB=54°．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADC=∠ABC=54°，应选B．点评：此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了平行四边形的性质．2.(2021年贵州黔东南6．（4分）)如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，假设CD=6cm，那么AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D． 2cm考点：圆周角定理；等腰直角三角形；垂径定理．专题：计算题．分析：连结OA，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于3⊙O的直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理得AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算．解答：解：连结OA，如图，∵∠ACD=22.5°，∴∠AOD=2∠ACD=45°，∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，∴AE=OA，∵CD=6，∴OA=3，∴AE=，∴AB=2AE=3（cm）．应选B．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．3. （2021•山东临沂,第9题3分）如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，那么∠BOC的度数为（）A．25°B．50°C．60°D．80°考点：圆周角定理；平行线的性质．分析：由AC∥OB，∠BAO=25°，可求得∠BAC=∠B=∠BAO=25°，又由圆周角定理，即可求得答案．解答：解：∵OA=OB，∴∠B=∠BAO=25°，∵AC∥OB，∴∠BAC=∠B=25°，∴∠BOC=2∠BAC=50°．故选B．点评：此题考查了圆周角定理以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2021•四川凉山州，第12题，4分）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，那么AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm考点：垂径定理；勾股定理．专题：分类讨论．分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．解答：解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5．（2021•四川泸州，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，那么a的值是（）A．4B．C．D．解答：解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC =3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选B．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．6．（2021•四川内江，第7题，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，那么弦BC的长为（）A．B．3C．2D．4考点：垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．分析：如图，首先证得OA⊥BC；然后由圆周角定理推知∠C=30°，通过解直角△ACD可以求得CD的长度．则BC=2CD．解答：解：如图，设AO与BC交于点D．∵∠AOB=60°，OB=OA，∴△OAB是等边三角形，∴∠BAO=60°，即∠BAD=60°．又∵AB=AC，∴=∴AD⊥BC，∴BD=CD，∴在直角△ABD中，BD=AB•sin60°=2×=，∴BC=2CD=2．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形，圆周角定理等知识点．推知△OAB是等边三角形是解题的难点，证得AD⊥BC 是解题的关键．7．（2021•甘肃兰州,第13题4分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，以下结论中不必然正确的选项是（）A．A E=BE B．=C．O E=DE D．∠DBC=90°考点：垂径定理；圆周角定理．分析：由于CD⊥AB，根据垂径定理有AE=BE，弧AD=弧BD，不能得出OE=DE，直径所对的圆周角等于90°．解答：解：∵CD⊥AB，∴AE=BE，=，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，不能得出OE=DE．故选C．点评：本题考查了垂径定理．解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．二、填空题1. （2021•四川巴中，第17题3分）如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，那么∠BOC 的度数是．考点：圆周角定理．分析：依照垂直的概念取得∠ADB=90°，再利用互余的概念计算出∠A=90°﹣∠B=35°，然后依照圆周角定理求解．解答：∵AC⊥BO，∴∠ADB=90°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，∴∠BOC=2∠A=70°．故答案为70°．点评：此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2．（2021•湖南张家界，第16题，3分）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，那么PA+PC的最小值为．考点：垂径定理；等腰梯形的性质．专题：压轴题．分析：A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值解答：解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，∴OE===3，OF===4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为．点评： 正确理解BC 的长是PA+PC 的最小值，是解决本题的关键．3. （2021•江西抚州，第13题，3分） 如图，△ABC 内接于⊙O ,∠OAB=20°,那么∠C 的度数为----------︒70. 解析：∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=20°,∴∠AOB=140°,∴∠C=12∠AOB=70° 4. (2021•年山东东营,第16题4分)在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB=8cm ，==，M 是AB 上一动点，CM+DM 的最小值是 8 cm ． 考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．分析： 作点C 关于AB 的对称点C′，连接C′D 与AB 相交于点M ，根据轴对称确定最短路线问题，点M 为CM+DM 的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出C′D 为直径，从而得解．解答： 解：如图，作点C 关于AB 的对称点C′，连接C′D 与AB 相交于点M ，现在，点M 为CM+DM 的最小值时的位置，由垂径定理，=，∴=， ∵==，AB 为直径， ∴C′D 为直径，∴CM+DM 的最小值是8cm ．故答案为：8．点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM 的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．5．（2021•四川南充，第14题，3分）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB 与小圆相切，AB =8，那么图中阴影部份的面积是 ．（结果保留π）分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，依照圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），和勾股定理即可求解．解：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．∵AB于小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC=AC=AB=×8=4cm．∵圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2∴圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=π•BC2=16πcm2．故答案是：16π．点评：此题考查了垂径定理，切线的性质，和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系．6．（2021•甘肃兰州,第18题4分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，那么∠BAC的度数等于．考点：圆周角定理．分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案．解答：解：∵∠ABC与∠ADC是所对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=54°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣54°=36°．故答案为：36°．点评：此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与直径所对的圆周角是直角定理的应用．三、解答题1. （2021•上海，第25题14分）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=4，点P是边5BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右边），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C通过点A时，求CP的长；（2）联结AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．考点：圆的综合题分析：（1）当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出AC进而得出答案；（2）首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP以及EF 的长；（3）当∠AEG=∠B时，A、E、G重合，只能∠AGE=∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，进而求出即可．解答：解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，∴BH=AB•cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5，∴此时CP=r=5；（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，，∵cosB=45∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°，∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B，∴当∠AEG=∠B时，A、E、G重合，∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出△AGE是等腰三角形时只能∠AGE=∠AEG进而求出是解题关键．2. （2021•山东烟台，第24题8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα•tan=．考点：圆的大体性质，相似三角形的判定，锐角三角函数.分析：连接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出=，最后取得tanα•tan=．解答：证明：连接AC，那么∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，∴∠BPD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，∴=，∵PB=0B=OA，∴=，∴tana•tan=•==．点评：此题要紧考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，此题解题的关键是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα•tan=．3.（2021•遵义26．（12分））如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F．（1）求证：CF=DB；（2）当AD=时，试求E点到CF的距离．考点：圆的综合题专题：综合题．分析：（1）连结AE，由∠ABC=60°，AB=BC可判断△ABC为等边三角形，由AB∥CD，∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，则根据圆周角定理可得到AC为⊙O的直径，则∠AEC=90°，即AE⊥BC，根据等边三角形的性质得BE=CE，再证明△DCE≌△FBE，得到DE=FE，于是可判断四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质得CF=DB；（2）作EH⊥CF于H，由△ABC为等边三角形得∠BAC=60°，则∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DC=AD=1，AC=2CD=2，则AB=AC=2，BF=CD=1，AF=3，然后利用勾股定理计算出BD=，DF=2，所以CF=BD=，EF=DF=，接着根据等边三角形的性质由AE⊥BC得∠CAE=∠BAE=30°，根据圆周角定理得∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，得到∠DPC=90°，在Rt△DPC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得PC=DC=，再证明Rt△FHE∽Rt△FPC，利用相似比可计算出EH．解答：（1）证明：连结AE，如图，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC为等边三角形，∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴∠ADC=∠DAB=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，∴BE=CE，CD∥BF，∴∠DCE=∠FBF，在△DCE和△FBE中，，∴△DCE≌△FBE（ASA），∴DE=FE，∴四边形BDCF为平行四边形，∴CF=DB；（2）解：作EH⊥CF于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，AD=，∴DC=AD=1，AC=2CD=2，∴AB=AC=2，BF=CD=1，∴AF=3，在Rt△ABD中，BD==，在Rt△ADF中，DF==2，∴CF=BD=，EF=DF=，∵AE⊥BC，∴∠CAE=∠BAE=30°，∴∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，∴∠DPC=90°，在Rt△DPC中，DC=1，∠CDP=30°，∴PC=DC=，∵∠HFE=∠PFC，∴Rt△FHE∽Rt△FPC，∴=，即=，∴EH=，即E点到CF的距离为．点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等边三角形的性质和平行四边形的判定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．4. (2021年湖北咸宁13．（3分）)如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B 重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足别离为D，E．假设DE=1，那么扇形OAB的面积为．考点：三角形中位线定理；垂径定理；扇形面积的计算．分析：连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED 为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．利用勾股定理、OA=OB，且∠AOB=90°，可以求得该扇形的半径．解答：解：连接AB，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D、E别离为BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AB=2DE=2．又∵在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，∴OA=OB=AB=，∴扇形OAB的面积为：=．故答案是：．点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．5．（2021•四川南充，第24题，8分）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，假设BG2=BF•BO．试证明BG=PG；（3）在知足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．分析：（1）连接OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°来求证，（2）连接OG，由BG2=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°得出结论．（3）连接AC、BC、OG，由sinB=，求出r，由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．（1）证明：连接OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，又∵∠EPG=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，∴直线EP为⊙O的切线；（2）证明：如图，连接OG，∵BG2=BF•BO，∴=，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO=∠BFG=90°，∴BG=PG；（3）解：如图，连接AC、BC、OG，∵sinB=，∴=，∵OB=r=3，∴OG=，由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGO=90°，∴∠B=∠OGF，∴sin∠OGF==∴OF=1，∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在RT△BCA中，CF2=BF•FA，∴CF===2．∴CD=2CF=4．点评：此题要紧考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．6．（2021•福建福州,第20题11分），点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ABC 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB32的外接圆.（1）求BC 的长； （2）求⊙O 的半径. 【答案】（1）33+.（2）2. 【解析】 ∴BC 33=+.（2）由（1）得，在Rt △ACE 中，∵∠EAC =30°，EC =3，∴AC =23. ∵∠D =∠ACB ，∠B =∠B ，∴△BAC ∽△BCD . ∴AB ACCB CD =，即3223CD33=+. ∴DM =4. ∴⊙O 的半径为2.考点：1. 锐角三角函数概念；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理.7、（2021•广州,第23题12分） 如图6，中，，． （1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点（保留作图痕迹，不写作法）： （2）综合应用：在你所作的圆中，①求证：；②求点到的距离．【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理； ②勾股定理，等面积法 【分析】（1）先做出中点，再以为圆心，为半径画圆.（2）①要求，依照圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再依照等腰三角形中的边角关系转化.②第一依照已知条件可求出，依题意作出高，求高那么用勾股定理或面积法，注意到为直径，因此想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出，的长度，那么在中，求其高，就只需用面积法即可求出高.【答案】（1）如下图，圆为所求（2）①如图连接，设,又那么②连接,过作于,过作于cosC=, 又,又为直径设，那么，在和中，有即解得：即又即。

2021年中考数学试题分类32 圆的有关性质

2021年中考数学试题分类32 圆的有关性质

2021年中考数学试题分类32 圆的有关性质2021年中考数学试题分类32圆的有关性质第32章圆的相关性质一、选择题1.（2022年广东湛江16.4分）如图所示，a、B、C是？O上有三个点，？bac？30岁？中行？度．[答：]602.（2021安徽，7，4分）如图，⊙o的半径是1，a、b、c是圆周上的三点，∠bac=36°，⌒的长是（）则劣弧bcπa、五,2b．π五3c．π五4d．π五【答案】b3.（2022年，福建福州，9，4点）如图2所示，在以o为中心的两个同心圆中，大圆的弦ab在该点被切割成小圆c,若?aob?120?,则大圆半径r与小圆半径r之间满足（）a、 r？3rb.r？3rac．r?2rCo图2d．r?22rB【答案】c4.（2022年，山东泰安，10，3分）如图所示，和弦ab⊙ o具有垂直平分半径OC。

如果AB=6，那么⊙ o的半径为（）a、 2b。

22摄氏度。

[答：]a5.（2021四川南充市，9，3分）在圆柱形油槽内装有一些油。

截面如图，油面宽ab 为6分米，如果再注入一些油后，油面ab上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径mn为（）（a） 6分米（b）8分米（c）10分米（d）12分米[答案]c6.（2021浙江衢州，1,3分）一个圆形人工湖如图所示，弦ab是湖上的一座桥，已知桥ab长100m，测得圆周角?acb?45?，则这个人工湖的直径ad为（）a、 502mb。

1002mc。

1502md。

2002mcd26d、 22mabnoab[答：]B7.（2021浙江绍兴，4，4分）如图，ab为?o的直径，点c在?o上，若?c?16?,则?boc的度数是（）a、 74岁？b、 48岁？c、 32岁？d、 16岁？aobc（图5）[答案]C8.（2021浙江绍兴，6，4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径ob?10，截面圆圆心o到水面的距离oc是6，则水面宽ab是（）a、 16b。

圆的有关性质(优选真题60道)：三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

圆的有关性质(优选真题60道)：三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）圆的有关性质（优选真题60道）一．选择题（共23小题）1．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（）A．70°B．105°C．125°D．155°【分析】利用圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得∠BPC的范围，继而得出答案．【解答】解：如图，连接BC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，=20°，∴∠OBC＝∠OCB=180°−140°2∵点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），∴0°＜∠OCP＜20°，∵∠BPC＝∠BOC+∠OCP＝140°+∠OCP，∴140°＜∠BPC＜160°，故选：D．【点评】本题考查圆与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得∠BPC的范围是解题的关键．2．（2023•赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求得∠BOD的度数，再结合已知条件求得∠COD的度数，然后利用圆周角定理求得∠CBD的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝105°，∴∠A＝75°，∴∠BOD＝2∠A＝150°，∵∠BOC＝2∠COD，∴∠BOD＝3∠COD＝150°，∴∠COD＝50°，∠COD＝25°，∴∠CBD=12故选：A．【点评】本题考查圆内接四边形性质及圆周角定理，结合已知条件求得∠BOD的度数是解题的关键．3．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．【解答】解：∵∠AOB ＝2∠C ，∠C ＝55°，∴∠AOB ＝110°，故选：D ．【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半．4．（2023•广东）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝50°，则∠D ＝（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°【分析】由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB ＝90°，而∠BAC ＝50°，即得∠ABC ＝40°，故∠D ＝∠ABC ＝40°，【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC+∠ABC ＝90°，∵∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝40°，∵AĈ=AC ̂， ∴∠D ＝∠ABC ＝40°，故选：B ．【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等．5．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（ ）A ．20mB ．28mC ．35mD ．40m【分析】设主桥拱半径R ，根据垂径定理得到AD =372，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【解答】解：由题意可知，AB ＝37m ，CD ＝7m ，设主桥拱半径为Rm ，∴OD ＝OC ﹣CD ＝（R ﹣7）m ，∵OC 是半径，OC ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB =372m ，在RtADO 中，AD2+OD2＝OA2，∴（372）2+（R ﹣7）2＝R2， 解得R =156556≈28．故选：B ．【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R 的方程解决问题．6．（2023•广元）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，连接CD ，OD ，AC ，若∠BOD ＝124°，则∠ACD 的度数是（ ）A ．56°B ．33°C ．28°D ．23°【分析】先由平角定义求得∠AOD ＝56°，再利用圆周角定理可求∠ACD ．【解答】解：∵∠BOD ＝124°，∴∠AOD ＝180°﹣124°＝56°，∴∠ACD =12∠AOD ＝28°，【点评】本题主要考查的是圆周角定理的应用，利用平角定义求得∠AOD ＝56°是解决本题的关键．7．（2023•温州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC ∥AD ，AC ⊥BD ．若∠AOD ＝120°，AD =√3，则∠CAO 的度数与BC 的长分别为（ ）A ．10°，1B ．10°，√2C ．15°，1D ．15°，√2【分析】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠CAD ＝∠BDA ＝45°，求出∠BOC ＝60°，得到△BOC 是等边三角形，得到BC ＝OB ，由等腰三角形的性质求出圆的半径长，求出∠OAD 的度数，即可得到BC 的长，∠CAO 的度数．【解答】解：∵BC ∥AD ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴AB̂=CD ̂， ∴∠AOB ＝∠COD ，∠CAD ＝∠∵DB ⊥AC ，∴∠AED ＝90°，∴∠CAD ＝∠BDA ＝45°，∴∠AOB ＝2∠ADB ＝90°，∠COD ＝2∠CAD ＝90°，∵∠AOD ＝120°，∴∠BOC ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ，∵OA ＝OD ，∠AOD ＝120°，∴∠OAD ＝∠ODA ＝30°，∴AD =√3OA =√3，∴BC＝1，∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，证明△OBC是等边三角形．8．（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝40°，再利用直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵BD经过圆心O，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】根据垂径定理得OB ⊥AC ，在根据勾股定理得OA =√AD 2+OD 2=√82+62=10，即可求出答案．【解答】解：∵AD ＝CD ＝8，∴OB ⊥AC ，在Rt △AOD 中，OA =√AD 2+OD 2=√82+62=10，∴OB ＝10，∴BD ＝10﹣6＝4．故选：B ．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OB ⊥AC 是解题的关键．10．（2023•枣庄）如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ．若∠A ＝48°，∠APD ＝80°，则∠B 的度数为（ ）A ．32°B ．42°C ．48°D ．52°【分析】根据外角∠APD ，求出∠C ，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B ．【解答】解：∵∠A ＝48°，∠APD ＝80°，∴∠C ＝80°﹣48°＝32°，∵AD̂=AD ̂， ∴∠B ＝∠C ＝32°．故选：A ．【点评】本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键．11．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC ＝（）A．23°B．24°C．25°D．26°【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．【解答】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC=1∠BOC＝26°，2故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．12．（2023•湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC ＝70°，则∠ADC＝（）A．70°B．60°C．50°D．40°【分析】先根据外角性质得∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，，再由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°即可求得∠ADC．【解答】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°，∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．13．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．2√3B．3√2C．2√5D．√5【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．【解答】解：方法一：连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接AE，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠ACD＝∠CAB，∴∠ACD＝∠ACO，∴AE＝AD＝2，∵CE是直径，∴∠EAC＝90°，在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，∴EC=√22+42=2√5，∴⊙O 的半径为√5．方法二：连接BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACD ＝∠CAB ，∴AD̂=BC ̂， ∴AD ＝BC ＝2，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=2√5，∴圆O 的半径为√5．故选：D ．【点评】本题主要考查了圆周角定理及推论，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．14．（2022•贵阳）如图，已知∠ABC ＝60°，点D 为BA 边上一点，BD ＝10，点O 为线段BD 的中点，以点O 为圆心，线段OB 长为半径作弧，交BC 于点E ，连接DE ，则BE 的长是（ ）A ．5B ．5√2C ．5√3D ．5√5【分析】解法一：根据题意和等边三角形的判定，可以得到BE 的长．解法二：先根据直径所对的圆周角是90°，然后根据直角三角形的性质和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，可以求得BE的长．【解答】解：解法一：连接OE，BD＝5，由已知可得，OE＝OB=12∵∠ABC＝60°，∴△BOE是等边三角形，∴BE＝OB＝5，故选：A．解法二：由题意可得，BD为⊙O的直径，∴∠BED＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠EDB＝30°，∵BD＝10，∴BE＝5，故选：A．【点评】本题考查等边三角形的判定与性质、与圆相关的知识，解答本题的关键是明确题意，求出△OBE 的形状．15．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，∵∠DOE＝130°，∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．16．（2022•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABC＝90°，进而求出∠CAB，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠CAB＝90°，∵∠ACB＝40°，∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，由圆周角定理得：∠BPC＝∠CAB＝50°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．17．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F ̂上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（）是劣弧DEA．115°B．118°C．120°D．125°【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°，求出∠EFD＝120°．【解答】解：四边形EFDA是⊙O内接四边形，∴∠EFD+∠A＝180°，∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，∴∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，故选：C．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键．18．（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD 的面积为（）A．36√3B．24√3C．18√3D．72√3【分析】根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积．【解答】解：如图，连接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC=√OC2−OE2=√36−9=3√3，∴CD＝2CE＝6√3，∴四边形ACBD的面积=12AB⋅CD=12×12×6√3=36√3．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．19．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分B．0.8/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：∵AB＝16厘米，∴AD=12AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD=√OA2−AD2=√102−82=6（厘米），∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2B．52C．3D．√10【分析】当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可．【解答】解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A为圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC=√32+42=5，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点M在以A为圆心，3为半径的圆上．21．（2021•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（）A．30°B．45°C．50°D．65°【分析】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．故选：D．22．（2021•雅安）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（）A．45°B．60°C．72°D．36°【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD，根据菱形的性质得到∠BOD＝∠BCD，计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD ＝180°，由圆周角定理得：∠BOD ＝2∠BAD ，∵四边形OBCD 为菱形，∴∠BOD ＝∠BCD ，∴∠BAD+2∠BAD ＝180°，解得：∠BAD ＝60°，故选：B ．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．23．（2021•眉山）如图，在以AB 为直径的⊙O 中，点C 为圆上的一点，BĈ=3AC ̂，弦CD ⊥AB 于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ．若点H 是AG 的中点，则∠CBF 的度数为（ ）A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°【分析】由圆周角定理可求∠ACB ＝90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC ＝22.5°，∠CAB ＝67.5CAH ＝∠ACE ＝22.5°，即可求解．【解答】解：∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC+∠CAB ＝90°，∵BĈ=3AC ̂， ∴∠CAB ＝3∠ABC ，∴∠ABC ＝22.5°，∠CAB ＝67.5°，∵CD ⊥AB ，∴∠ACE ＝22.5°，∵点H 是AG 的中点，∠ACB ＝90°，∴AH ＝CH ＝HG ，∴∠CAH ＝∠ACE ＝22.5°，∵∠CAF ＝∠CBF ，∴∠CBF ＝22.5°，故选：C ．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB 的度数是本题的关键．二．填空题（共25小题）24．（2023•长沙）如图，点A ，B ，C 在半径为2的⊙O 上，∠ACB ＝60°，OD ⊥AB ，垂足为E ，交⊙O 于点D ，连接OA ，则OE 的长度为 ．【分析】连接OB ，利用圆周角定理及垂径定理易得∠AOD ＝60°，则∠OAE ＝30°，结合已知条件，利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．【解答】解：如图，连接OB ，∵∠ACB ＝60°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝120°，∵OD ⊥AB ，∴AD̂=BD ̂，∠OEA ＝90°， ∴∠AOD ＝∠BOD =12∠AOB ＝60°，∴∠OAE ＝90°﹣60°＝30°，∴OE =12OA =12×2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得∠AOD ＝60°是解题的关键．25．（2023•深圳）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝°．【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝70°，从而利用角平分线的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝20°，∴∠ADC＝∠ABC＝20°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝35°，∴∠BAD=12故答案为：35．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．26．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为寸．【分析】连接OA ，设⊙O 的半径是r 寸，由垂径定理得到AE =12AB ＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r ﹣1）2+52，求出r ，即可得到圆的直径长．【解答】解：连接OA ，设⊙O 的半径是r 寸，∵直径CD ⊥AB ，∴AE =12AB =12×10＝5寸，∵CE ＝1寸，∴OE ＝（r ﹣1）寸，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r ﹣1）2+52，∴r ＝13，∴直径CD 的长度为2r ＝26寸．故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接OA 构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程．27．（2023•郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110°，则共需安装360°÷110°＝3311≈4台．【解答】解：∵∠P＝55°，∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，，∵360°÷110°＝3311∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．故答案为：4．【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．28．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是．【分析】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝100°，∴∠B＝80°．故答案为：80°．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．29．（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是．【分析】根据垂径定理得OM⊥AC，根据圆周角定理得∠C＝90°，根据勾股定理得AB=√122+52=13，BC＝2.5，OD∥BC，所以OD⊥AC，MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．根据三角形中位线定理得OD=12【解答】解：∵点M是弧AC的中点，∴OM⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB=√122+52=13，∴OM＝6.5，∵点D是弦AC的中点，∴OD=1BC＝2.5，OD∥BC，2∴OD⊥AC，∴O、D、M三点共线，∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握和运用这些定理是解题的关键．30．（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC 的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB ＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．31．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O ，点C 在弦AB 上，AC ＝11，BC ＝21，OC ＝13，则这个花坛的面积为 .（结果保留π）【分析】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 于D ，∵OD ⊥AB ，OD 过圆心，AB 是弦，∴AD ＝BD =12AB =12（AC+BC ）=12×（11+21）＝16， ∴CD ＝BC ﹣BD ＝21﹣16＝5，在Rt △COD 中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt △BOD 中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S ⊙O ＝π×OB2＝400π，故答案为：400π．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．32．（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB ＝12cm ，BC ＝5cm ，则圆形镜面的半径为 ．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√122+52=13（cm），所以圆形镜面的半径为13cm，2cm．故答案为：132【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．33．（2022•阿坝州）如图，点A，B C在⊙O上，若∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为．【分析】根据圆周角定理即可得出答案．∠AOB，∠ACB＝30°，【解答】解：∵∠ACB=12∴∠AOB＝2∠ACB＝2×30°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．34．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O ̂所对的圆周角，则∠APD的度数是．于点D．若∠APD是AD【分析】由垂径定理得出AD̂=BD ̂，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD =12∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴AD̂=BD ̂， ∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD =12∠AOB ＝60°，∴∠APD =12∠AOD =12×60°＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，35．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB 长20厘米，弓形高CD 为2厘米，则镜面半径为 厘米．【分析】根据题意，弦AB 长20厘米，弓形高CD 为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．【解答】解：如图，点O 是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC ，则点C ，点D ，点O 三点共线，由题意可得：OC ⊥AB ，AC =12AB ＝10（厘米），设镜面半径为x 厘米，由题意可得：x2＝102+（x ﹣2）2，∴x ＝26，∴镜面半径为26厘米，故答案为：26．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．36．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 ．【分析】根据已知，列出关于α，β的方程组，可解得α，β的度数，即可求出答案．【解答】解：根据题意得：{αβ=0.6α+=360°，解得{α=135°β=225°， ∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，故答案为：90°．【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组．37．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB ＝20cm ，底面直径BC ＝12cm ，球的最高点到瓶底面的距离为32cm ，则球的半径为 cm （玻璃瓶厚度忽略不计）．【分析】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM=1AD2＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），AD＝6（cm），由垂径定理得：AM＝DM=12在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：r＝7.5，即球的半径为7.5cm，故答案为：7.5．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．38．（2021•盘锦）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是．【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2√3，所以A（﹣2√3，0），B （0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，AB＝2，∴OB=12∴OA=√3OB＝2√3，∴A（﹣2√3，0），B（0，2），∴D点坐标为（−√3，1）．故答案为（−√3，1）．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．39．（2021•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O 的半径为cm．【分析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．【解答】解：如图，连接OC．∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5（cm），∴⊙O的半径为5cm．故答案为：5．【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△AOC是等边三角形．40．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B 在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）以AB O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．（Ⅱ）取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC 交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．【解答】解：（Ⅰ）AC=√22+12=√5．故答案为：√5．（Ⅱ）如图，点P即为所求．故答案为：如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O于点E，连接AE 交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BFA的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△FAP≌△BAC，则点P即为所求．【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．41．（2021•黑龙江）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为．【分析】延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小．【解答】解：延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小，最小值为线段DE的长．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO，∴CDAO =BCBO，∴CD4=36，∴CD＝2，在Rt△CDE中，DE=√CD2+CE2=√22+62=2√10，∴PC+PD的最小值为2√10．故答案为：2√10．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．42．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是CD̂的中点，则∠ABE＝．【分析】由∠ABC＝90°，可得CD是⊙O的直径，由点B是CD̂的中点以及三角形的内角和，可得∠BDC＝∠BCD＝45°，利用三角形的内角和求出∠ACB，再根据角的和差关系求出∠DCE，由圆周角定理可得∠ABE ＝∠DCE得出答案．【解答】解：如图，连接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是CD̂的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案为：13°．【点评】本题考查圆周角定理，弦、弧、圆心角之间的关系以及三角形内角和定理，掌握圆周角定理和推论是正确计算的前提．43．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为 ．【分析】设直线AB 交y 轴于C ，过O 作OD ⊥AB 于D ，先求出A 、C 坐标，得到OA 、OC 长度，可得∠CAO ＝30°，Rt △AOD 中求出AD 长度，从而根据垂径定理可得答案．【解答】解：设直线AB 交y 轴于C ，过O 作OD ⊥AB 于D ，如图：在y =√33x +2√33中，令x ＝0得y =2√33, ∴C(0,2√33),OC =2√33, 在y =√33x +2√33中令y ＝0得√33x +2√33=0,解得x ＝﹣2,∴A(﹣2,0),OA ＝2,Rt △AOC 中，tan ∠CAO =OC OA =2√332=√33,∴∠CAO＝30°，Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×√3=√3，2∵OD⊥AB，∴AD＝BD=√3，∴AB＝2√3，故答案为：2√3．得到【点评】本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理等综合知识，解题的关键是利用tan∠CAO=OCOA∠CAO＝30°．44．（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D ＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．45．（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC 的长为．【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．【解答】解：连接OA，∵OM：OC＝3：5，设OC＝5x，OM＝3x，则OD＝OC＝5x，∵CD＝10，∴OM＝3，OA＝OC＝5，∵AB⊥CD，AB，∴AM＝BM=12在Rt△OAM中，OA＝5，AM=√OA2−OM2=√52−32=4，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC=√AM2+CM2=√42+82=4√5；当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC=√AM2+MC2=√42+22=2√5．综上所述，AC的长为4√5或2√5．故答案为：4√5或2√5．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．46．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB ＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm．【分析】先根据垂径定理的推论得到CD 过圆心，AD ＝BD ＝3.2cm ，设圆心为O ，连接OA ，如图，设⊙O 的半径为Rcm ，则OD ＝（R ﹣1.6）cm ，利用勾股定理得到（R ﹣1.6）2+3.22＝R2，然后解方程即可．【解答】解：∵C 点是AB̂的中点，CD ⊥AB ， ∴CD 过圆心，AD ＝BD =12AB =12×6.4＝3.2（cm ），设圆心为O ，连接OA ，如图，设⊙O 的半径为Rcm ，则OD ＝（R ﹣1.6）cm ，在Rt △OAD 中，（R ﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R ＝4（cm ），所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm ．故答案为4．【点评】本题考查了垂径定理的应用：利用垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．47．（2021•德阳）在锐角三角形ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝2，设BC 边上的高为h ，则h 的取值范围是 ．【分析】如图，BC 为⊙O 的弦，OB ＝OC ＝2，证明△OBC 为等边三角形得到∠BOC ＝60°，则根据圆周角定理得到∠BAC ＝30°，作直径BD 、CE ，连接BE 、CD ，则∠DCB ＝∠EBC ＝90°，当点A 在DÊ上（不含D 、E 点）时，△ABC 为锐角三角形，易得CD =√3BC ＝2√3，当A 点为DÊ的中点时，A 点到BC 的距离最大，即h 最大，延长AO 交BC 于H ，如图，根据垂径定理得到AH ⊥BC ，所以BH ＝CH ＝1，OH =√3，则AH ＝2+√3，然后写出h 的范围．【解答】解：如图，BC 为⊙O 的弦，OB ＝OC ＝2，∵BC ＝2，∴OB ＝OC ＝BC ，∴△OBC 为等边三角形，∴∠BOC ＝60°，∴∠BAC =12∠BOC ＝30°，作直径BD 、CE ，连接BE 、CD ，则∠DCB ＝∠EBC ＝90°，∴当点A 在DÊ上（不含D 、E 点）时，△ABC 为锐角三角形， 在Rt △BCD 中，∵∠D ＝∠BAC ＝30°，∴CD =√3BC ＝2√3，当A 点为DÊ的中点时，A 点到BC 的距离最大，即h 最大， 延长AO 交BC 于H ，如图，∵A 点为DÊ的中点， ∴AB̂=AC ̂， ∴AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝1，∴OH =√3BH =√3，∴AH ＝OA+OH ＝2+√3，∴h 的范围为2√3＜h ≤2+√3．故答案为2√3＜h ≤2+√3．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．48．（2023•成都）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A 到B 有一笔直的栏杆，圆心O 到栏杆AB 的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（π取3.14，√3取1.73）。

2021年中考数学专项训练： 圆的基本性质(含答案)

2021年中考数学专项训练： 圆的基本性质(含答案)

一、选择题9．（2020·杭州）如图，已知BC是O的直径，半径OA BC⊥，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设AEDα∠=，AODβ∠=，则（）A．3α＋β＝180°B．2α＋β＝180°C．3α－β＝90°D．2α－β＝90°{答案}D{解析}本题考查了同圆的半径相等，三角形的内角和定理以及三角形的外角．因为OA⊥BC，所以∠AOB＝90°．因为OB＝OD，所以∠B＝∠D．在△OBD中，∠B＋∠D＋∠BOD＝180°，即2∠D＋90°＋β＝180°，所以2∠D＋β＝90°．因为∠AED是△ODE的外角，所以∠D＝∠AED－∠AOD＝α－β，所以2(α－β)＋β＝90°，整理，得2α－β＝90°，因此本题选D．4．（2020·绍兴）如图．点A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°{答案}D{解析}本题考查了圆周角、圆心角以及它们所对的弧的度数之间的关系．在同圆中，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对的弧的度数，因为∠BAC=15°，∠CED=30°，所以弧BC是30°，弧CD是60°，则弧BD是90°，故它所对的圆心角∠BOD的度数是90°．因此本题选D．4．（2020湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．110°C．130°D．140°【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，故选：B．7．（2020·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．2√91{答案}C {解析}如图，连接OA，∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，∴OD＝10，OM＝6.∵AB⊥CD，∴AM=√OA2−OM2=√102−62=8，∴AB＝2AM＝16．9．（2020·安徽）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（）A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OBD．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC{答案}B{解析}逐项分析如下：选项逐项分析图示真假命题AEDOC连接BD，则△D的大小（）A．55°B．65°C．60°D．75°第9题图{答案}B{解析} E是弦BC的中点，由垂径定理的逆定理可知OE△BC，连接OB、OC，由△A＝50°可知△BOC＝2△A＝100°，由等腰三角形的“三线合一”可知△BOD＝50°，在等腰△BOD中，△D＝(180°－50°)÷2＝65°．第9题答图6．（2020·青岛）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，弧AB=弧AD，AC交BD于点G.若∠COD=126°，则∠AGB的度数为（）A.99°B.108°C.110°D.117°{答案}B{解析}本题考查了圆周角定理及其推论的应用，解答过程如下：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°.∵弧AB=弧AD ，∴∠ADB=∠ABD=45°. ∵∠COD=126°，∴∠CAD=21∠COD=21×126°=63°. ∴∠AGB=∠ADB+∠CAD=45°+63°=108°.因此本题选B ．8．（2020·泰安）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ﹦BC ，∠BAC ﹦30°，AD 是直径，AD ﹦8，则AC 的长为（ ） A ．4B ．4 3C ．833 D ．2 3{答案} B{解析}本题考查了等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角以及锐角三角函数，因为△ABC 中，AB ﹦BC ，∠BAC ﹦30°，所以∠B=120°，因为四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠D=60°.因为AD 是⊙O 的直径，所以∠ACD=90°.因为sin ∠D=ACAD，所以AC=AD ·sin ∠D=8=4 3 ，因此本题选B ．7. （2020·淮安）如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,∠ACB=54°,则∠ABO 的度数是（ ）A.54°B.27°C.36°D.108°{答案} C{解析}本题考查了同弧所对的圆周角和圆心角的关系，由已知得△AOB=2∠ACB=108°，再在等腰三角形AOB 中由三角形的内角和定理求出△ABO 的度数． ∵∠ACB=54°，∴∠AOB=2∠ACB=108°， ∵OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=（180°-108°）÷2=36°． 故选C ．9．（2020·福建）如图，四边形ABCD 内接于O ，=AB CD ，A 为BD 中点，60∠=︒BDC ，则∠ADB等于（ ）AD（第8题）A.40︒B.50︒C.60︒D.70︒{答案}A{解析}本题考查了弧，弦，圆周角等的关系，∵=AB CD ，A 为BD 中点，∴AB AD CD ==，∵60∠=︒BDC ，∴优弧BAC 是240°，∴弧AB 是80°，∴∠ADB =40°，因此本题选A ．7．(2020·荆门)如图4，⊙O 中，OC ⊥AB ，∠APC ＝28°，则∠BOC 的度数为( ) A ．14° B ．28° C ．42° D ．56°{答案}D{解析}连结OA ．由垂径定理可知AC ＝BC ，∴∠BOC ＝∠AOC ．由圆周角定理可知∠AOC ＝2∠P ＝56°．∴∠BOC ＝56°．故选D ．16．（2020·镇江）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，∠ADC =106∘ ，则 ∠CAB 等于( )A ．10∘B ．14∘C ．16∘D ．26∘{答案}C{解析}本题考查了圆周角相关知识，连接BC ，则∠B ＋∠D ＝180°，∵∠ADC ＝106°，∴∠B ＝74°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝16°．7．（2020·常州）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点(C 不与A 、B 重合)，CH ⊥AB ，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若⊙O 的半径是3，则MH 长的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6ABCDPC ABO图4(第7题){答案}A{解析}{解析}本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因为∠BHC ＝90°，M 为BC 的中点，所以MH ＝12BC ，而BC 的最大值是直径，所以MH 的最大值等于3． 5．（2020·天水）如图所示，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ，若∠P ＝70°，则∠ACB 的度数为（ ） A ．50° B ．55° C ．60° D ．65°{答案}B{解析}根据切线的性质和圆周角定理可求，连接OA 、OB ，则∠ACB ＝12∠AOB ，又由P A 、PB 分别与⊙O相切于A 、B 两点，得到∠P AO ＝∠PBO ＝90°，所以∠AOB ＝180°－∠P ＝180°－70°＝110°，从而得到∠ACB ＝12×110°＝55°，因此本题选B ．5. （2020·张家界）如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，已知BCD ∠为120︒，则BOD ∠的度数为（ ）A. 100︒B. 110︒C. 120︒D. 130︒{答案}C{解析}本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算，得到答案． 解：∵四边形ABCD 是⊙O 内接四边形， ∴∠A ＝180°−∠BCD ＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C ．14．（2020·河北）有一题目:“已知:点O为△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A.”嘉嘉的解答为:画以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图8.由∠BOC=2∠A=130°，得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是A.淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B.淇淇说的不对，∠A就得65°C.嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D.两人都不对，应有3个不同值{答案}A{解析}如图1，当∠A是锐角时，△ABC的外心O在其内部，∠A=65°；如图2，当∠A是钝角时，△ABC 的外心O在其外部，∵∠1=2∠A，∴∠A=12∠1=12×230°=115°.故∠A=65°或115°，答案为A.7.（2020·牡丹江）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则△ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°{答案}C{解析}设圆心为O，连接OA，OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的2倍，即AB＝2OA＝2OB，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，根据圆周角定理可得∠ASB＝21∠AOB＝45°，故选C．10．（2020·宜昌）如图，E,F,G为圆上的三点，△FEG=50°，P点可能是圆心的是（）.图8OBACA BS（第7题图）OA BSA ．B ．C ．D ．{答案}C{解析}由圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．当点P 为圆心时，根据圆周角定理，可得△FPG=2△FEG ．故选：C ． 9．（2020·凉山州）下列命题是真命题的是（ ）A ．顶点在圆上的角叫圆周角B ．三点确定一个圆C ．圆的切线垂直于半径D ．三角形的内心到三角形三边的距离相等 {答案}D{解析}因为顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，圆的切线垂直于过切点的半径，所以A 、B 、C 选项皆为假命题，故选D ． 11．（2020·凉山州）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于△O ，则AD ﹕AB ＝（ ） A ．22﹕3 B ．2﹕3 C ．3﹕2 D ．3﹕22{答案}B{解析}如答图，连接OA 、OB 、OD ，则△AOD ＝90°，△AOB ＝120°．令OA ＝OB ＝OD ＝r ，则AD ＝2r ，AB ＝3r ，从而AD ﹕AB ＝2﹕3，故选B ．10.(2020·潍坊)如图，在Rt AOB 中，90,3,4AOB OA OB ∠=︒==，以点O 为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C ，过点C 作CD OB ⊥交AB 于点D ，点P 是边OA 上的动点．当PC PD +最小时，OP 的长为（ ）A12B.34C. 1D.32DP OCBA第11题图O F ED CBA第11题答图r rr OD CB{答案}B{解析}由题意可知，点C 、D 是定点，点P 是边OA 上的动点，PC+PD 最小值时，即为将军饮马问题.点点P 为点C 关于点O 的对称点时，PC+PD 的值最小，求出OP 的长即可.延长CO 交O 于点E ，连接ED ，交AO 于点P ，如图，△CD△OB ，△△DCB=90°,又90AOB ∠=︒，△△DCB=△AOB ，△CD//AO ，△BC CDBO AO =△OC=2，OB=4，△BC=2,△243CD =，解得，CD=32；△CD//AO ，△EO PO EC DC =，即2=43PO，解得，PO=34 . 7．（2020·营口）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，点D 是⊙O 上的两点，连接CA ，CD ，AD ，若∠CAB =40°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．110°B ．130°C ．140°D ．160° {答案}B{解析}如图，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA =90°，∵∠CAB=40°，∴∠CBA =50°，∵∠ADC +∠CBA =180°，∴∠ADC=130°．9．（2020·滨州）在O 中，直径AB ＝15，弦DE △AB 于点C ．若OC ：OB ＝3：5，则DE 的长为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15{答案}C{解析}本题考查了垂径定理和勾股定理，直径AB=15，∴BO=7.5，∵OC ：OB=3：5，∴CO=4.5，∴DC=，∴DE=2DC=12，因此本题选C ．8．（2020·内江）如图，点A 、B 、C 、D 在△O 上，120AOC ∠=︒，点B 是AC 的中点，则D ∠的度数是（ ）EDPOCBABABAA. 30B. 40︒C. 50︒D. 60︒{答案} A{解析}本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系定理得到△AOB ＝12△AOC ，再根据圆周角定理解答．连接OB ，△点B 是AC 的中点，△△AOB ＝12△AOC ＝60°， 由圆周角定理得，△D ＝12△AOB ＝30°，因此本题选A ． 14．（2020·临沂）如图，在O 中，AB 为直径，80AOC ∠=︒，点D 为弦AC 的中点，点E 为BC上任意一点.则CED ∠的大小可能是（ ）A.10°B.20°C.30°D.40°{答案}C{解析}梳理题目中的已知条件，有直径，可以相应的有90°的圆周角；80AOC ∠=︒，则50OAC OCA ∠=∠=︒；同时点D 为弦AC 的中点，则可以考虑利用垂径定理；另外，题目中具体数值较少，CED ∠的具体值不容易求，那么我们可以根据已有条件探求它的取值范围，从而确定那个值在范围内.解：连接AE ，作过OD 的直线分别交圆周于点M 、N ，连接CM ，如下图：∵80AOC ∠=︒∴40AEC ∠=︒∴40CED AEC AED ∠=∠-∠<︒； 又∵点D 为弦AC 的中点∴1402COD AOC ∠=∠=︒∴1202CMN COD ∠=∠=︒ ∵CED ∠所对的弧大于CN ∴CED CMN ∠>∠，即：20CED ∠>︒综上：2040CED ︒<∠<︒ ，选C.9．（2020·宜宾）如图，AB 是△O 的直径，点C 是圆上一点，连结AC 和BC ，过点C 作CD △AB 于点D ，且CD ＝4，BD ＝3，则△O 的周长是（ ）MNA ．253π B ．503π C ．6259π D ．62536π{答案}A{解析}根据“直径所对的圆周角为直角”，得∠ACB ＝90°，由CD ⊥AB ，根据勾股定理得BC＝5，根据相似三角形的判定（两角对应相等的两个三角形相似）得Rt △ABC ∽Rt △CBD ，再根据相似三角形的三边对应成比例，得AB CB ＝BC BD ，即AB ＝253，∴⊙O 的周长是253π． 8．（2020·广州）往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图4所示，若水面宽AB=48cm ，则水的最大深度为（ ）A ．8cmB ．10cmC ．16cmD ．20cm{答案}C{解析}本题考查了垂径定理，解答过程如下：过点O 作OC ⊥AB 于D ，交⊙O 于点C ，连接OA ．由题意，OA=OC ＝26cm ，AD=12AB=24cm ，再由勾股定理可得：OC=10cm ，所以水深CD=OC-OD=26-10=16cm.因此本题选C ．9．（2020·武汉）如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是弧AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是 ················································ （ ）A B ．C ．D ．图4图4{答案}D{解析}本题考查了圆的垂径定理，弧线圆心角关系，全等判定，中位线等定理，连接OD ，交AC 于点F ，由D 是弧AC 的中点，易证出OD ⊥AC ，AF ＝CF ，又∵O 是AB 的中点，∴2OF ＝BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，又∵E 是BD 的中点，∴易证出△EFD ≌△ECB （AAS ）∴DF ＝BC ，又∵半径为3，∴2OF ＝DF ＝BC ＝2，在Rt △ABC 中，2426BC AB 2222＝－＝－＝AC ，因此本题选D ．10．（2020·海南）如图，已知AB 是△O 是直径，CD 是弦，若△BCD ＝36°，则∠ABD 等于( )A ．54°B ．56°C ．64°D ．66° {答案}A{解析}∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又由圆周角定理可知∠A ＝∠C ，∴∠ABD ＝90°－∠A ＝90°－36°＝54°.6.（2020·吉林）如图，四边形ABCD 内接于O ．若108B ∠=︒，则D ∠的大小为（ ）A. 54︒B. 62︒C. 72︒D. 82︒【答案】C【详解】因为，四边形ABCD 内接于O ，108B ∠=︒，所以，D ∠=180°-18010872B ∠=︒-︒=︒故选：C.9．（2020·黄石）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，若∠DCE ＝40°，则∠ACB 的度数为（ ）FA ．140°B ．70°C ．110°D ．80°{答案} C{解析}先根据四边形的内角和为360°求∠AOB ＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠P 的度数，最后由四点共圆的性质得结论．如图，在优弧AB 上取一点P ，连接AP ，BP ，∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝90°，∵∠DCE ＝40°，∴∠AOB ＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠P ＝12∠AOB ＝70°，∵A 、C 、B 、P 四点共圆，∴∠P +∠ACB ＝180°，∴∠ACB ＝180°﹣70°＝110°，故选：C ．9．（2020·武威）如图，A 是⊙O 上一点，BC 是直径，AC ＝2，AB ＝4，点D 在⊙O 上且平分，则DC的长为（ ）A ．2B ．C ．2D ．【解析】∵点D 在⊙O 上且平分，∴，CAA∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠D ＝90°，∵AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝2，Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，∴2DC2＝20，∴DC＝，故选：D．二、填空题13．（2020湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB 之间的距离是3．【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH=12CD＝4，在Rt△OCH中，OH=√52−42=3，所以CD与AB之间的距离是3．故答案为3．16．（2020·遵义）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是_________．{答案}{解析}本题考查圆的基本性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，利用特殊角作垂线构造全等三角形是解题的关键．如图，过点B作BH⊥AC于点H，交AE于点F，连接BE，则△AHF≌△BHC．∴AF=BC=5．∵∠HAF＝∠HBC，∠HAF＝∠EBC，∴∠HBC＝∠EBC．∵AD⊥BC于点D，∴DE=DF．∵∠CAE＝∠CBE，∠ACB＝∠AEB，∴△ACD∽△BED．∴CD ADDE BD=,即DEDE+=154．∴DE=-+541(舍去负值)．故答案为-+541.-+5412F HEAD COBDCOBA19．（2020·黔东南州）如图，AB是半圆O 的直径，AC＝AD，OC ＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为．{答案}√2 {解析}∵AC＝AD，∠A＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°.∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠OCD＝45°，∴△OCE是等腰直角三角形.在等腰Rt△OCE中，OC＝2，∴OE=√2．19．(2020·绥化)如图5，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE上一点(点P与点D，点E不重合)，连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于______度．{答案}54{解析}连结CE．正五边形的内角∠CDE＝15×(5－2)×180°＝108°．∵DC＝DE，∴∠P＝∠DEC ＝12×(180°－108°)＝36°．∵DG⊥PC，∴∠PDG＝90°－∠P＝54°．14．（2020·聊城）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在AmC︵上，则∠ADC的度数是．{答案}60°{解析}利用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及菱形的对角相等构建方程求解．在菱形OABC 中，∠B＝∠O，又∵∠O＝2∠D，∠D＋∠B＝180°，∴∠D＋2∠D＝180°，∴∠D＝60°．14．（2020·贵阳）（4分）如图，△ABC是△O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则△DOE的度数是度．{答案}120．{解析}解：连接OA，OB，△△ABC是△O的内接正三角形，△△AOB＝120°，△OA＝OB，△△OAB＝△OBA＝30°，△△CAB＝60°，△△OAD＝30°，△△OAD＝△OBE，△AD＝BE，△△OAD△△OBE（SAS），△△DOA＝△BOE，△△DOE＝△DOA+△AOE＝△AOB＝△AOE+△BOD＝120°，故答案为：120．16．（2020·黑龙江龙东）如图，AD是△ABC的外接圆△O的直径，若△BCA＝50°，则△ADB＝°．图5O PGDECABODABCm{答案}50．{解析}本题考查了圆周角的性质，解：△AD是△ABC的外接圆△O的直径，△点A，B，C，D在△O上，△△BCA＝50°，△△ADB＝△BCA＝50°，故答案为：50．15．（2020·襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于__________°．{答案}60或120．{解析}如答图，连接OB，OC，由弦BC垂直平分半径OA，得OD＝12OA＝12OB，∠ODB＝90°，从而cos∠DOB＝12，∠DOB＝60°，于是∠DOC＝120°．∴∠BP1C＝12∠BOC＝60°．∵∠BP1C＋∠BP2C＝180°，∴∠BP2C＝120°．综上，弦BC所对的圆周角等于60°或120°，故答案为60或120．（2020·四川甘孜州）14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为________．{答案}3{解析}本题考查了垂径定理和勾股定理．连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB＝10，∴OC＝OA＝5．∵弦CD ⊥AB于点H，CD＝8，∴CH＝4．在Rt△OCH中，由勾股定理得OH＝OC CH-22＝-2254＝3．故答案为3．14.（2020·盐城）如图，在O中，点A在BC上，100,BOC∠=︒则BAC∠=P2P1DOCB第15题答图14．130°，解析：本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半和圆内接四边形对角互补等知识，因此在⊙O上取一点D，连接CD，BD，则∴∠BDC＝12∠BOC＝50°∵四边形ABDC为圆内接四边形∴∠BAC+∠BDC＝180°∵∠BDC＝50°∴∠BAC＝130°此本题答案为130° ．（2020·济宁）15.如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D.AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=22.则BO的长是_________.{答案}4{解析}：连结OC，如图，∵CD2＝CE•CA，∴CD CA CE DC，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；设⊙O的半径为r，∵CD ＝CB ，∴CD CB =，∴∠BOC ＝∠BAD ，∴OC ∥AD ， ∴22PC PO rCD OA r===， ∴PC ＝2CD ＝42，∵∠PCB ＝∠P AD ，∠CPB ＝∠APD ， ∴△PCB ∽△P AD ， ∴PC PBPA PD =，即42362r =， ∴r ＝4， ∴OB ＝4．16． （2020·岳阳）如图，AB 为半圆O 的直径，M ，C 是半圆上的三等分点，AB ＝8，BD 与半圆O 相切于点B ，点P 为AM 上一动点（不与点A ，M 重合），直线PC 交BD 于点D ，BE ⊥OC 于点E ，延长BE 交PC 于点F ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①PD PB =；②BC 的长为π34； ③︒=∠45DBE ； ④PFB BCF ∆∆∽； ⑤CP CF ⋅为定值.{答案}②⑤{解析}∵M ，C 是半圆上的三等分点，∴∠BOC ＝︒=︒⨯6018031，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BPC ＝21∠BOC ＝︒=︒⨯306021，∵BD 与半圆O 相切于点B ，∴∠ABD ＝90°∵P 是AM 上一动点，∴∠PBA 角度不确定，∴∠PBD 不确定，∠D 也不确定，所以PB ＝PD 不成立，结论①错误；∵直径AB ＝8，∴半径为4，∴60441803BC ππ⨯==，∴结论②正确；∵BE ⊥OC ，∴∠BEO ＝90°，∴∠OBE ＝180°－90°－60°＝30°，∴∠DBE ＝∠ABD －∠OBE ＝90°－30°＝60°，∴结论③错误；∵∠PFB＝∠FCB ＋∠FBC ，所以∠PFB ＞∠FBC ，∴△BCF 和△PFB 不可能相似，∴结论④错误；∵OB ＝OC ，∠BOC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，∴∠CBO ＝60°，∵BE ⊥OC ，所以∠CB E ＝21∠CBO ＝30°，∴∠CBF =∠CPB ，又∵∠BCF =∠PCB ，∴△BCF ∽△PCB ，∴CPCB CB CF =，∴2CB CP CF =⋅，∵△OBC 是等边三角形，∴CB ＝OB ＝4，∴16=⋅CP CF ，为定值，∴结论⑤正确．综上，结论正确的是②⑤.12．（2020·随州）如图，点A，B，C在⊙O 上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC=120°，则∠CAD的度数为 .{答案}30°{解析}本题考查了圆周角定理、角平分线的定义，解答过程如下：∵∠BOC=120°，∴∠BAC=21∠BOC=21×120°=60°.∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=21∠BAC=21×60°=30°.12．（2020·南通）⊙O的半径为13，弦AB的长度是10，则圆心O到弦AB的距离为▲ ．{答案}12{解析}过圆心作弦AB的垂线，连接OA，由垂径定理和勾股定理可求出距离．作OC9．(2020·青海)已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为______cm．{答案}7或1{解析}过圆心O作OM⊥AB于M，交CD于点N，连结OB，OD．∵AB∥CD，∴MN⊥CD．由垂径定理可知MB＝4，ND＝3．∴OM＝22OB MB-＝3，ON＝22OD ND-＝4．(1)当圆心O在AB，CD之间时，如图#(1)，MN＝OM＋ON＝7；(2)当圆心O在AB，CD同侧时，如图#(2)，MN＝ON－OM＝1．⊥AB于点C，∴AC＝152AB=，∴222213512OC OA AC=-=-=．13．(2020·成都)如图，A，B，C是△O上的三个点，△AOB＝50°，△B＝55°，则△A的度数为．{答案}30°{解析}首先根据△B的度数求得△BOC的度数，然后求得△AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可．解：△OB＝OC，△B＝55°，△△BOC＝180°﹣2△B＝70°，△△AOB＝50°，△△AOC＝△AOB+△BOC＝70°+50°＝120°，O图#(1)DCA BMNO图#(2)DCA BMN△OA＝OC，△△A＝△OCA=180°−120°2=30°，故答案为：30°．14.（2020·安顺）如图，ABC∆是O⊙的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA EB=，则DOE∠的度数是度.{答案}120{解析}连接OA，OB.∵ABC∆是O⊙的内接正三角形，∴30OAD OBE∠=∠=︒，120AOB∠=︒.又∵AD=BE,OA=OB，∴△OAD≌△OBE.∴AOD BOE∠=∠.即DOE∠=120︒. 16．（2020·滨州）如图，O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与O相交于点M，则sin∠MFG的值为________{答案}55{解析}本题考查了圆周角的性质及锐角三角函数的概念，设正方形的边长为a，∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，AE=12AB=12a，AD=EG=BC=a，DE=52a，根据圆周角的性质可得：∠MFG=∠MEG．∵sin∠MFG=sin∠MEG=55DGDE=，∴sin∠MFG=55，因此本题填55．19．（2020·临沂）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线第14题图第14题答段的长度，叫做点到直线的距离.类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，最短线段的长．．．．．．度．，叫做点到曲线的距离．．．．．．．．．.依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点(2,1)A 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_________.{答案1{解析} 连接OA 交圆周于点N ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点M ： ∵点(2,1)A ∴OM=2,AM=1∴OA ==.∴1AN OA ON =-=.14．（2020·宜宾）如图，A 、B 、C 是△O 上的三点，若△OBC 是等边三角形，则cos△A ＝ ．{答案{解析}利用等边三角形的性质、圆周角定理、特殊角的三角函数值求解．∵△OBC 是等边三角形， ∴∠BOC ＝60°，∴∠A ＝30°，∴cos ∠A ＝cos30°＝2． 15. （2020·攀枝花） 如图，已知锐角三角形ABC 内接于半径为2的O ，OD BC ⊥于点D ，60BAC ∠=︒，则OD = .{答案}1{解析}如图，连接OB 、OC ，则易知2120BOC BAC ∠=∠=︒， 由垂径定理可知1602BOD BOD ∠=∠=︒，则30OBD ∠=︒，∴112OD OB ==.NM三、解答题22．（2020·温州）如图,C,D为⊙O上两点,且在直径AB两侧,连结CD交AB于点E,G是AC上一点,∠ADC ＝∠G.(1)求证:∠1＝∠2(2)点C关于DG的对称点为F,连结CF.当点F落在直径AB上时CF＝10,tan∠1＝2,5求⊙O的半径.{解析}本题考查了垂径定理及解直角三角形．（1）由∠ADC＝∠G得到AC＝AD,从而得到CB DB=，从而∠1＝∠2；（2）根据圆是轴对称图形可知CF＝DF，又由点C关于DG的对称点为F得到CD＝DF，从而求得DE＝5，分别解Rt△AED和Rt△BDE，求得AE和EB，从而得到直径AB。

2021年中考数学真题分类汇编：专题24圆的有关性质(解析版)

2021年中考数学真题分类汇编：专题24圆的有关性质(解析版)

2021年中考数学真题分类汇编：专题24圆的有关性质一、单选题1．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（ ）A ．48︒B ．24︒C ．22︒D ．21︒ 【答案】D【分析】先证明,AB CD =再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．【详解】 解： 点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，,AB CD ∴=114221,22CED AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒ 故选：.D【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．2．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）A ．两人说的都对B ．小铭说的对，小燕说的反例不存在C ．两人说的都不对D ．小铭说的不对，小熹说的反例存在【答案】D【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3．（2021·青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交AB 厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．【详解】解：过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，⊙AC=12AB=12×16=8（厘米），在Rt⊙AOC中，6OC===（厘米），⊙CD=OC+OD=16（厘米），⊙从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，⊙16÷16=1（厘米/分）．⊙“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．故选：A．【点睛】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．4．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB⊙CAB＝30°，则⊙ABC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】C【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得⊙AOB＝90°，⊙ABO＝⊙BAO＝45°，根据圆周角定理可得⊙COB＝2⊙CAB＝60°，⊙OBC＝⊙OCB＝60°，由此可求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，⊙OA ＝OB ＝1，AB⊙OA 2＋OB 2＝AB 2，⊙⊙AOB ＝90°，又⊙OA ＝OB ，⊙⊙ABO ＝⊙BAO ＝45°，⊙⊙CAB ＝30°，⊙⊙COB ＝2⊙CAB ＝60°，又⊙OC ＝OB ，⊙⊙OBC ＝⊙OCB ＝60°，⊙⊙ABC ＝⊙ABO ＋⊙OBC ＝105°，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 5．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：⊙在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，连接CD ．⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，连接DE ．则CDE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．30C ．40︒D ．50︒【答案】B【分析】 根据画图过程，得到OD =OC ，由等边对等角与三角形内角和定理得到⊙ODC =⊙OCD =70︒，同理得到⊙DOE =⊙DEO =40⊙，由⊙OCD 为⊙DCE 的外角，得到结果．【详解】解：⊙以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，⊙OD =OC ，⊙⊙ODC =⊙OCD ，⊙⊙AOB =40⊙，⊙⊙ODC =⊙OCD =118040702⨯︒-︒=︒， ⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，⊙DO =DE ，⊙⊙DOE =⊙DEO =40⊙，⊙⊙OCD 为⊙DCE 的外角，⊙⊙OCD =⊙DEC +⊙CDE ，⊙70⊙=40⊙+⊙CDE ，⊙⊙CDE =30⊙，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．6．（2021·海南中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BE 是O 的直径，连接AE ．若2BCD BAD ∠=∠，则DAE ∠的度数是（ ）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒【答案】A【分析】 先根据圆内接四边形的性质可得60BAD ∠=︒，再根据圆周角定理可得90BAE ∠=︒，然后根据角的和差即可得．【详解】 解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180BCD BAD ∴∠+∠=︒，2BCD BAD ∠=∠，1180603BAD =⨯︒∴∠=︒， BE 是O 的直径，90BAE ∴∠=︒，906030DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．7．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在以AB 为直径的O 中，点C 为圆上的一点，3BC AC =，弦CD AB ⊥于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ．若点H 是AG 的中点，则CBF ∠的度数为（ ）A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°【答案】C【分析】根据直径所对的圆周角是90︒，可知90ACB AFB ∠=∠=︒，根据3BC AC =，可知ABC ∠、BAC ∠的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，AHC 为等腰三角形，再根据CAE BFG BCA ∽∽可求得CBF ∠的度数．【详解】解：⊙AB 为O 的直径，⊙90ACB AFB ∠=∠=︒，⊙3BC AC =，⊙=22.5ABC ∠︒，=67.5BAC ∠︒，⊙点H 是AG 的中点，⊙CE AH =，⊙CAH ACH ∠=∠，⊙CD AB ⊥，⊙AEC GCA ∽，又⊙,CAF CBF CGA FGB ∠=∠∠=∠，⊙AEC GCA GFB ∽∽，⊙90ACE ECB ABC ECB ∠+∠=∠+∠=︒，⊙ABE ABC ∠=∠，⊙AEC GCA GFB ACB ∽∽∽，⊙22.5ABC ACE GAC GBF ∠=∠=∠=∠=︒，⊙=22.5CBF ∠︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形，直角三角形斜边上中线等知识点，找出图形中几个相似三角形是解题关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD OE =，则BCD ∠的度数为（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】B【分析】连接OD ，根据垂径定理得CD =2DE ，从而得ODE 是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：连接OD ，⊙AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，⊙CD =2DE ，⊙2CD OE =，⊙DE =OE ，⊙ODE 是等腰直角三角形，即⊙BOD =45°，⊙BCD ∠=12⊙BOD =22.5°， 故选B ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理，是解题的关键．9．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-【答案】D【分析】 作OC ⊙AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出⊙A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可．【详解】解：作OC ⊙AB 于C ，如图，则AC =BC ，⊙OA =OB ，⊙⊙A =⊙B =12（180°-⊙AOB ）=30°， 在Rt ⊙AOC 中，OC =12OA =9，AC =⊙AB =2AC =又⊙12018180AB π⨯⨯==12π，⊙走便民路比走观赏路少走12π-故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．10．（2021·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B 的度数为（ ）A ．70°B ．90°C ．40°D ．60°【答案】A【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．【详解】⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙ACB =90°，⊙在Rt ⊙ABC 中，⊙B =90°-⊙A =70°，故选：A ．【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．11．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅【答案】B【分析】 根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：⊙AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ⊙12DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ⊙tan =DE OEα ⊙=tan 2tan DE CD OE αα=，故选项A 错误，不符合题意；又sin DE ODα= ⊙sin DE OD α=⊙22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OE ODα= ⊙cos cos OE OD m αα==⊙AO DO m ==⊙cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；⊙2sin CD m α=，cos OE m α= ⊙2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意； 故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．12．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在ABC 中，6AB =，以点A 为圆心，3为半径的圆与边BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别交于点E 和点G ，点F 是优弧GE 上一点，18CDE ∠=︒，则GFE ∠的度数是（ ）A ．50°B ．48°C ．45°D ．36°【答案】B【分析】 连接AD ，由切线性质可得⊙ADB =⊙ADC =90°，根据AB=2AD 及锐角的三角函数可求得⊙BAD =60°，易求得⊙ADE =72°，由AD=AE 可求得⊙DAE =36°，则⊙GAC =96°，根据圆周角定理即可求得⊙GFE 的度数．【详解】解：连接AD ，则AD =AG =3，⊙BC与圆A相切于点D，⊙⊙ADB=⊙ADC=90°，在Rt⊙ADB中，AB=6，则cos⊙BAD=ADAB=12，⊙⊙BAD=60°，⊙⊙CDE=18°，⊙⊙ADE=90°﹣18°=72°，⊙AD=AE，⊙⊙ADE=⊙AED=72°，⊙⊙DAE=180°﹣2×72°=36°，⊙⊙GAC=36°+60°=96°，⊙⊙GFE=12⊙GAC=48°，故选：B．【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得⊙BAD=60°是解答的关键．13．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于O，点P在AB上，则P∠的度数为（）A．30B．45︒C．60︒D．90︒【答案】B【分析】连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，⊙正方形ABCD 内接于O ，⊙90BOC ∠=° ⊙11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）点P 是O 内一点，过点P 的最长弦的长为10cm ，最短弦的长为6cm ，则OP 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【答案】B【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm ；最短弦即是过点P 且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．【详解】解：如图所示，CD ⊙AB 于点P ．根据题意，得AB =10cm ，CD =6cm ．⊙OC =5，CP =3⊙CD ⊙AB ，⊙CP =12CD =3cm ．根据勾股定理，得OP ．故选B ．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．15．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（ ）A ．9.6B ．C ．D ．19【答案】A【分析】 先利用垂径定理得出AE =EC ，CF =FD ，再利用勾股定理列方程即可【详解】解：连接OC⊙AB ⊙CD , OE ⊙AC⊙ AE =EC ，CF =FD⊙OE =3，OB =5⊙OB =OC =OA =5⊙在Rt ⊙OAE 中4AE =⊙AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=-22228(5)5x x -+=-x =1.4在Rt ⊙OFC 中， 4.8FC ==⊙29.6CD FC ==故选：A【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键16．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B ，70P ∠=︒，C 为O 上一点，则ACB ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒ 【答案】C【分析】由切线的性质得出⊙OAP =⊙OBP =90°，利用四边形内角和可求⊙AOB =110°，再利用圆周角定理可求⊙ADB =55°，再根据圆内接四边形对角互补可求⊙ACB ．【详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，在优弧AB 上取点D ，连接AD ，BD ，⊙AP 、BP 是切线，⊙⊙OAP =⊙OBP =90°，⊙⊙AOB =360°-90°-90°-70°=110°，⊙⊙ADB =55°，又⊙圆内接四边形的对角互补，⊙⊙ACB =180°-⊙ADB =180°-55°=125°．故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA 、OB ，求出⊙AOB ．17．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（ ）A ．3B ．CD 【答案】D【分析】由题意知90APC ∠=︒，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt BCO ∆中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P 是BO 的中点，由线段长度即可得到PCO ∆是等边三角形，利用特殊Rt APC ∆三边关系即可求解．【详解】解：222PA PC AC +=∴90APC ∠=︒取AC 中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆 由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短AO PO CO ∴== 11322CO AC BC ==⨯==BO ∴=BP BO PO ∴=-=∴点P 是BO 的中点∴在Rt BCO ∆中，12CP BO PO === ∴PCO ∆是等边三角形∴60ACP ∠=︒ ∴在Rt APC ∆中，tan 603AP CP =⨯︒=12APC S AP CP ∆∴=⨯==【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．18．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（ ）A B ．2C D ．4 【答案】A【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊙AC ，FM ⊙AB ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A ，D ，F ，E 四点共圆，⊙DFE =90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊙AC ，FM ⊙AB⊙在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 的中点，⊙AG =DG =EG又⊙AG =FG⊙点A ，D ，F ，E 四点共圆，且DE 是圆的直径⊙⊙DFE =90°⊙在Rt ⊙ABC 中，AB =AC =5，点F 是BC 的中点，⊙CF =BF =122BC =，FN =FM =52 又⊙FN ⊙AC ，FM ⊙AB ，90BAC ∠=︒⊙四边形NAMF 是正方形⊙AN =AM =FN =52又⊙90NFD DFM ∠+∠=︒，90DFM MFE ∠+∠=︒⊙NFD MFE ∠=∠⊙⊙NFD ⊙⊙MFE⊙ME =DN =AN -AD =12 ⊙AE =AM +ME =3⊙在Rt ⊙DAE 中，DE故选：A ．【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．19．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，()8,0A，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,6 【答案】D【分析】先根据题意得出OA =8，OC =2，再根据勾股定理计算即可【详解】解：由题意可知：AC =AB⊙()8,0A ，()2,0C -⊙OA =8，OC =2⊙AC =AB =10在Rt ⊙OAB 中，6OB ==⊙B (0，6)故选：D【点睛】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键 20．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，O 的半径OB 为4，OC AB ⊥于点D ，30BAC ∠=︒，则OD 的长是（ ）A B C ．2 D ．3【答案】C【分析】 根据圆周角定理求出⊙COB 的度数，再求出⊙OBD 的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD 的长度．【详解】⊙ ⊙BAC =30°，⊙⊙COB =60°，⊙⊙ODB =90°，⊙⊙OBD =30°，⊙OB =4，⊙OD =12OB =142⨯=2． 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．21．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上．若()2,0A ，()4,0D ，以О为圆心、OD 长为半径的弧经过点B ，交y 轴正半轴于点E ，连接DE ，BE 、则BED ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】C【分析】连接OB ，由题意易得⊙BOD =60°，然后根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：连接OB ，如图所示：⊙()2,0A ，()4,0D ，⊙2,4OA OB OE OD ====， ⊙12OA OB =， ⊙四边形OABC 是矩形，⊙90OAB ∠=︒，⊙30OBA ∠=︒，⊙9060BOD OBA ∠=︒-∠=︒， ⊙1302BED BOD ∠=∠=︒； 故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质是解题的关键．22．（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A ．85︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒【答案】D【分析】 先利用直径所对的圆周角是直角得到⊙ACB =90°，从而求出⊙BAC ，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出⊙BDC ．【详解】解：⊙C ，D 是⊙O 上直径AB 两侧的两点，⊙⊙ACB =90°，⊙⊙ABC =25°，⊙⊙BAC =90°-25°=65°，⊙⊙BDC =⊙BAC =65°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．23．（2021·河北中考真题）如图，等腰AOB 中，顶角40AOB ∠=︒，用尺规按⊙到⊙的步骤操作： ⊙以O 为圆心，OA 为半径画圆；⊙在O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；⊙作AB 的垂直平分线与O 交于M ，N ；⊙作AP 的垂直平分线与O 交于E ，F ．结论⊙：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论⊙：O 上只有唯一的点P ，使得OFM OAB S S =扇形扇形．对于结论⊙和⊙，下列判断正确的是（ ）A ．⊙和⊙都对B ．⊙和⊙都不对C ．⊙不对⊙对D ．⊙对⊙不对【答案】D【分析】 ⊙、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF 的形状；⊙、在确定点P 的过程中，看⊙MOF =40°是否唯一即可．【详解】解：⊙、如图所示．⊙MN 是AB 的垂直平分线，EF 是AP 的垂直平分线，⊙MN 和EF 都经过圆心O ，线段MN 和EF 是⊙O 的直径．⊙OM =ON ，OE =OF ．⊙四边形MENF 是平行四边形．⊙线段MN 是⊙O 的直径，⊙⊙MEN =90°．⊙平行四边形MENF 是矩形．⊙结论⊙正确；⊙、如图2，当点P 在直线MN 左侧且AP =AB 时，⊙AP =AB ，⊙AB AP =．⊙MN ⊙AB ，EF ⊙AP ， ⊙1122AE AP AN AB ==，． ⊙AE AN =． ⊙1===202AOE AON AOB ∠∠∠．⊙40EON =∠．⊙=40MOF EON =∠∠．⊙扇形OFM 与扇形OAB 的半径、圆心角度数都分别相等，⊙OFM OAB S S =扇形扇形．如图3，当点P 在直线MN 右侧且BP =AB 时，同理可证：FOM AOB S S =扇形扇形．⊙结论⊙错误．故选：D【点睛】本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．24．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥交O 于点E ，垂足为点D ，AE ，CB 的延长线交于点F ．若3OD =，8AB =，则FC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】A【分析】 先根据垂径定理可得4=AD ，再利用勾股定理可得5OE OA ==，然后根据三角形中位线定理即可得．【详解】解：,8OE AB AB ⊥=，142AD AB ∴==， 3OD =，5OA ∴=，5OE ∴=，OE AB ⊥，90A ADO BC =︒∠∴∠=，//OE FC ∴，又OA OC =，OE ∴是ACF 的中位线，210FC OE ∴==，故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．25．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点A ，B ，C 是O 上的三点．若90AOC ∠=︒，30BAC ∠=︒，则AOB ∠的大小为（ ）A ．25︒B ．30C ．35︒D ．40︒【答案】B【分析】首先根据圆周角定理求得BOC ∠的度数，根据AOC ∠的度数求AOB AOC BOC ∠=∠-∠即可．【详解】解：⊙30BAC ∠=︒⊙⊙BOC=223060BAC ∠=⨯︒=︒，⊙90AOC ∠=︒，906030AOB AOC BOC ，故选：B ．【点睛】考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得BOC ∠的度数是解题的关键．26．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，54BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．27︒B ．108︒C ．116︒D ．128︒【答案】B【分析】直接利用圆周角定理即可得．【详解】解：54BAC ∠=︒，∴由圆周角定理得：2108BOC BAC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．27．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（ ）A ．21.922.3α︒<<︒B ．22.322.7α︒<<︒C ．22.723.1α︒<<︒D ．23.123.5α︒<<︒【答案】B【分析】 将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC DC DE EB ===，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得⊙B 的度数．【详解】解：将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．⊙⊙O 与⊙O ′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为⊙ABC ，⊙AC CD =．同理：DE CD =．又⊙F 是劣弧BD 的中点，⊙DE BE =．⊙AC DC DE EB ===．⊙弧AC 的度数=180°÷4=45°．⊙⊙B =12×45°=22.5°． ⊙α所在的范围是22.322.7α︒<<︒；故选：B ．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．二、填空题28．（2021·黑龙江中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦AC 的长为5cm ，点D 在圆上，且30ADC ∠=︒，则O 的半径为_____．【答案】5cm【分析】连接BC ，由题意易得30ABC ADC ∠=∠=︒，进而问题可求解．【详解】解：连接BC ，如图所示：⊙30ADC ∠=︒，⊙30ABC ADC ∠=∠=︒，⊙AB 是直径，⊙90ACB ∠=︒，⊙5cm AC =，⊙210cm AB AC ==，⊙O 的半径为5cm ；故答案为5cm ．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°直角三角形的性质是解29．（2021·安徽中考真题）如图，圆O 的半径为1，ABC 内接于圆O ．若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则AB =______．【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出⊙ABO =45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可【详解】解：连接OB 、OC 、作OD ⊙AB⊙60A ∠=︒⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =30°又75B ∠=︒⊙⊙ABO =45°在Rt ⊙OBD 中，OB =1⊙BD⊙BD =AD =⊙AB【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键30．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，ABC 内接于O ，50A ∠=︒，点D 是BC 的中点，连接OD ，OB ，OC ，则BOD ∠=_________．【答案】50︒【分析】圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．【详解】解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，12A BOC ∠=∠， 100BOC ∴∠=︒，OB OC =， BOC ∴为等腰三角形， 又点D 是BC 的中点，根据等腰三角形三线合一，OD ∴为BOC ∠的角平分线，50BO D ∴∠=︒，故答案是：50︒．【点睛】本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：根据性质求出BOC ∠，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．31．（2021·广东中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____．-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =1AN BN ==AO ∴==112ON OM AB ===,3BC =OC ∴==CO OD ∴-线段CD 长度的最小值为-．-【点睛】 本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．32．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ABC =90°，⊙A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则⊙ABE =__________．【答案】13︒【分析】如图，连接,DC 先证明,BDC BCD ∠=∠再证明,ABE ACD ∠=∠利用三角形的外角可得：,BDC A ACD A ABE ∠=∠+∠=∠+∠再利用直角三角形中两锐角互余可得：()2902,BDC A ABE ∠=︒-∠+∠再解方程可得答案．【详解】解：如图，连接,DC B 是CD 的中点，,,BD BC BDC BCD ∴=∠=∠,DE DE =,ABE ACD ∴∠=∠,BDC A ACD A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠90,32,ABC A ∠=︒∠=︒()2902,BDC A ABE ∴∠=︒-∠+∠45453213.ABE A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：13.︒【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．33．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．【答案】5【分析】连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可【详解】解：连接OA ，⊙C 是AB 的中点，⊙OC AB ⊥ ⊙14cm 2AD AB == 设O 的半径为R ，⊙2cm CD =⊙(2)cm OD OC CD R =-=-在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，解得，5R =即O 的半径为5cm故答案为：5【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键． 34．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，连接AO 并延长交O 于点D ，若50C ∠=︒，则BAD ∠的度数为______．【答案】40︒【分析】连接BD ，则C D ∠=∠，再根据AD 为直径，求得BAD ∠的度数【详解】如图，连接BD ，则50D C ∠=∠=︒AD 为直径90ABD ∴∠=︒90905040BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为40︒【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 35．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．【答案】25【分析】连接OC ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到⊙BOC =100°，求出⊙AOC ，根据等腰三角形的性质计算．【详解】解：连接OC ，⊙OC =OB ，⊙⊙OCB =⊙OBC =40°，⊙⊙BOC =180°-40°×2=100°，⊙⊙AOC =100°+30°=130°，⊙OC =OA ，⊙⊙OAC =⊙OCA =25°，故答案为：25．【点睛】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．36．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线33y x =+与O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_________．【答案】【分析】过O 作OE ⊙AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD Rt ⊙AOD 中，由勾股定理AD =，可证⊙OAC ⊙⊙DAO ，由相似三角形性质可求AC 即可． 【详解】 解：过O 作OE ⊙AB 于C ，⊙AB 为弦，⊙AC =BC =12AB ，⊙直线33y x =+与O 相交于A ，B 两点，⊙当y =00x +=，解得x =-2， ⊙OA =2，⊙当x =0时，y =⊙OD=3， 在Rt ⊙AOD中，由勾股定理3AD ===， ⊙⊙ACO =⊙AOD =90°，⊙CAO =⊙OAD ，⊙⊙OAC ⊙⊙DAO ，AC AO AO AD =即2AO AC AD === ⊙AB =2AC故答案为【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．37．（2021·江苏扬州市·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．⊙该弧所在圆的半径长为___________；⊙ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． ⊙线段PB 长的最小值为_______；⊙若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．【答案】（1）⊙2；2；（2）见解析；（3）；⊙4 【分析】（1）⊙设O 为圆心，连接BO ，CO ，根据圆周角定理得到⊙BOC =60°，证明⊙OBC 是等边三角形，可得半径；⊙过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，以BC 为底，则当A 与D 重合时，⊙ABC 的面积最大，求出OE ，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）⊙根据4tan 3DPC ∠=，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，可得点P 在优弧CPD 上，连接BQ ，与圆Q 交于P ′，可得BP ′即为BP 的最小值，再计算出BQ 和圆Q 的半径，相减即可得到BP ′；⊙根据AD ，CD 和23PCD PAD S S =推出点P 在⊙ADC 的平分线上，从而找到点P 的位置，过点C 作CF ⊙PD ，垂足为F ，解直角三角形即可求出DP ．【详解】解：（1）⊙设O 为圆心，连接BO ，CO ，⊙⊙BAC =30°，⊙⊙BOC =60°，又OB =OC ，⊙⊙OBC 是等边三角形，⊙OB =OC =BC =2，即半径为2；⊙⊙⊙ABC 以BC 为底边，BC =2，⊙当点A 到BC 的距离最大时，⊙ABC 的面积最大，如图，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，⊙BE =CE =1，DO =BO =2，⊙OE⊙DE 2，⊙⊙ABC 的最大面积为)1222⨯⨯2；（2）如图，延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，⊙点D 在圆上，⊙⊙BDC =⊙BAC ，⊙⊙BA ′C =⊙BDC +⊙A ′CD ，⊙⊙BA ′C ＞⊙BDC ，⊙⊙BA ′C ＞⊙BAC ，即⊙BA ′C ＞30°；（3）⊙如图，当点P在BC上，且PC=32时，⊙⊙PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，⊙tan⊙DPC=CDPC=43，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，12PD为半径画圆，⊙当点P在优弧CPD上时，tan⊙DPC=43，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊙BE，垂足为E，⊙点Q是PD中点，⊙点E为PC中点，即QE=12CD=1，PE=CE=12PC=34，⊙BE=BC-CE=3-34=94，⊙BQ4，⊙PD 52，⊙圆Q的半径为155 224⨯=，⊙BP′=BQ-P′Q，即BP；⊙⊙AD =3，CD =2，23PCD PAD S S =， 则23CD AD =， ⊙⊙P AD 中AD 边上的高=⊙PCD 中CD 边上的高，即点P 到AD 的距离和点P 到CD 的距离相等，则点P 到AD 和CD 的距离相等，即点P 在⊙ADC 的平分线上，如图，过点C 作CF ⊙PD ，垂足为F ，⊙PD 平分⊙ADC ，⊙⊙ADP =⊙CDP =45°，⊙⊙CDF 为等腰直角三角形，又CD =2，⊙CF =DF⊙tan⊙DPC =CF PF =43，⊙PF =4，⊙PD =DF +PF【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P 的轨迹． 38．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 和点D ，则tan =ADC ∠________．。

2021年江苏各市(苏州扬州泰州盐城无锡等)中考数学真题分项汇编16 圆含详解

2021年江苏各市(苏州扬州泰州盐城无锡等)中考数学真题分项汇编16 圆含详解

专题16圆一、圆的基本性质1．（2021·江苏无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．2．（2021·江苏扬州市）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm 的正方形，该果罐侧面积为_____2cm ．3．（2021·江苏盐城市）一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______．4．（2021·江苏宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．二、圆锥与扇形5．（2021·江苏徐州市）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍6．（2021·江苏南京市）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．7．（2021·江苏常州市）如图，BC 是O 的直径，AB 是O 的弦．若60AOC ∠=︒，则OAB ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．25︒C ．30D ．35︒8．（2021·江苏宿迁市）如图，在Rt△ABC 中，△ABC =90°，△A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则△ABE =__________．9．（2021·江苏盐城市）如图，在△O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=________︒．10．（2021·江苏连云港市）如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．11．（2021·江苏南京市）如图，,,,,FA GB HC ID JE 是五边形ABCDE 的外接圆的切线，则BAF CBG DCH EDI AEJ ∠+∠+∠+∠+∠=______︒．12．（2021·江苏徐州市）如图，AB 是O 的直径，点C D 、在O 上，若58ADC ∠=︒，则BAC ∠=_________°．13．（2021·江苏连云港市）如图，正方形ABCD 内接于O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若O 的面积为2π，1MN =，则AMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．614．（2021·江苏常州市）如图，在Rt ABC 中，90,30,1ACB CBA AC ∠=︒∠=︒=，D 是AB 上一点（点D 与点A 不重合）．若在Rt ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A 、D 成为直角三角形的三个顶点，则AD 长的取值范围是________．15．（2021·江苏扬州市）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．△该弧所在圆的半径长为___________；△ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． △线段PB 长的最小值为_______；△若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．三、圆的切线16．（2021·江苏泰州市）如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（8，5），△A 与x 轴相切，点P 在y 轴正半轴上，PB 与△A 相切于点B ．若△APB ＝30°，则点P 的坐标为 ___．17．（2021·江苏南京市）如图，已知P 是O 外一点．用两种不同的方法过点P 作O 的一条切线．要求： （1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．18．（2021·江苏南通市）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AE 的延长线与过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，35CAD ∠=︒，连接BC ．（1）求B 的度数；（2）若2AB =，求EC 的长．19．（2021·江苏盐城市）如图，O 为线段PB 上一点，以O 为圆心OB 长为半径的△O 交PB 于点A ，点C 在△O 上，连接PC ，满足2PC PA PB =⋅．（1）求证：PC 是△O 的切线；（2）若3AB PA =，求AC BC的值． 20．（2021·江苏无锡市）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA ，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE ∽．21．（2021·江苏宿迁市）如图，在Rt △AOB 中，△AOB =90°，以点O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于点C ，点D 在边OB 上，且CD= BD ．（1）判断直线CD 与圆O 的位置关系，并说明理由；（2）已知24tan 7DOC ∠=，AB =40，求O 的半径．22．（2021·江苏苏州市）如图，四边形ABCD 内接于O ，12∠=∠，延长BC 到点E ，使得CE AB =，连接ED ． （1）求证：BD ED =；（2）若4AB =，6BC =，60ABC ∠=︒，求tan DCB ∠的值．23．（2021·江苏扬州市）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．24．（2021·江苏连云港市）如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E ，若2EDC ABC S S =，求tan BAC ∠的值．25．（2021·江苏泰州市）如图，在△O中，AB为直径，P为AB上一点，P A＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD△AB，Q为BC上一动点（与点B不重合），AH△QD，垂足为H．连接AD、BQ．（1）若m＝3．△求证：△OAD＝60°；△求BQDH的值；（2）用含m的代数式表示BQDH，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的△O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时△Q的度数．26．（2021·江苏苏州市）如图△，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图△，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，2EF EH=．（1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为h甲，容器乙的水位高度记为h乙，设h h h-=乙甲，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图像如图△所示，其中MN平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题：△求a的值；△求图△中线段PN所在直线的解析式．专题16圆一、圆的基本性质1．（2021·江苏无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．【答案】50 3【分析】先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解．【详解】△扇形的弧长=120501001803ππ⨯=，△圆锥的底面半径=1003π÷2π=503．故答案是：503．【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键．2．（2021·江苏扬州市）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为_____2cm．【答案】100π【分析】根据圆柱体的主视图为边长为10cm的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积．【详解】解：△果罐的主视图是边长为10cm的正方形，为圆柱体，△圆柱体的底面直径和高为10cm，△侧面积为1010π⨯=100π，故答案为：100π．【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据．3．（2021·江苏盐城市）一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______．【答案】6π【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：该圆锥的侧面积＝12×2π×2×3＝6π．故答案为6π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4．（2021·江苏宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．【答案】48π【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．【详解】解：△底面圆的半径为4，△底面周长为8π，△侧面展开扇形的弧长为8π，设扇形的半径为r，△圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，△120180rπ＝8π，解得：r＝12，△侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π．【点睛】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大．二、圆锥与扇形5．（2021·江苏徐州市）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍【答案】C【分析】 设OB =x ，则OA =3x ，BC =2x ，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA =OD ，OB =OC ，△圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，△设OB =x ，则OA =3x ，BC =2x ，△圆的面积=π(3x )2=9πx 2，正方形的面积=()2122x =2x 2， △9πx 2÷2x 2=9142π≈，即：圆的面积约为正方形面积的14倍， 故选C ．【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．6．（2021·江苏南京市）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．【答案】5【分析】连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可【详解】解：连接OA ，△C 是AB 的中点，△OC AB ⊥ △14cm 2AD AB ==设O 的半径为R ，△2cm CD =△(2)cm OD OC CD R =-=-在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，解得，5R =即O 的半径为5cm故答案为：5【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键．7．（2021·江苏常州市）如图，BC 是O 的直径，AB 是O 的弦．若60AOC ∠=︒，则OAB ∠的度数是（）A ．20︒B ．25︒C ．30D ．35︒【答案】C【分析】先根据平角的定义求出△AOB ，再根据等腰三角形的性质求解，即可．【详解】解：△60AOC ∠=︒，△△AOB =180°-60°=120°，△OA =OB ，△OAB ∠=△OBA =（180°-120°）÷2=30°，故选C ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键．8．（2021·江苏宿迁市）如图，在Rt△ABC 中，△ABC =90°，△A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则△ABE =__________．【答案】13︒【分析】如图，连接,DC 先证明,BDC BCD ∠=∠再证明,ABE ACD ∠=∠利用三角形的外角可得：,BDC A ACD A ABE ∠=∠+∠=∠+∠再利用直角三角形中两锐角互余可得：()2902,BDC A ABE ∠=︒-∠+∠再解方程可得答案．【详解】解：如图，连接,DC B 是CD 的中点，,,BD BC BDC BCD ∴=∠=∠,DE DE =,ABE ACD ∴∠=∠,BDC A ACD A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠90,32,ABC A ∠=︒∠=︒()2902,BDC A ABE ∴∠=︒-∠+∠45453213.ABE A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：13.︒【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键． 9．（2021·江苏盐城市）如图，在△O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=________︒．【答案】80【分析】根据圆内接四边形的性质计算出18080ADC ABC ∠∠=︒-=︒即可．【详解】解：△ABCD 是△O 的内接四边形，△ABC ＝100°，△△ABC +△ADC =180°，△180********ADC ABC ∠∠=︒-=︒-︒=︒．故答案为80．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．10．（2021·江苏连云港市）如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．【答案】25【分析】连接OC ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到△BOC =100°，求出△AOC ，根据等腰三角形的性质计算．【详解】解：连接OC，△OC=OB，△△OCB=△OBC=40°，△△BOC=180°-40°×2=100°，△△AOC=100°+30°=130°，△OC=OA，△△OAC=△OCA=25°，故答案为：25．【点睛】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．FA GB HC ID JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则11．（2021·江苏南京市）如图，,,,,∠+∠+∠+∠+∠=______︒．BAF CBG DCH EDI AEJ【答案】180︒【分析】由切线的性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．【详解】如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，∠+∠+∠+∠+∠则OAB OBC OCD ODE OEA=∠+∠+∠+∠+∠OBA OCB ODC OED OAE1=-⨯︒=︒(52)1802702∴BAF CBG DCH EDI AEJ∠+∠+∠+∠+∠=⨯︒-∠+∠+∠+∠+∠590()OAB OBC OCD ODE OEA=︒-︒450270180=︒．故答案为：180︒．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，多边形的内角和公式2180()n -⨯︒（n 为多边形的边数）,由半径相等可得“等边对等角”，正确的理解题意作出图形是解题的关键．12．（2021·江苏徐州市）如图，AB 是O 的直径，点C D 、在O 上，若58ADC ∠=︒，则BAC ∠=_________°．【答案】32【分析】由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为90°然后根据三角形内角和即可求出BAC ∠的度数．【详解】△58ADC ∠=︒，△58ABC ADC ∠=∠=︒，又△AB 是直径，△90ACB ∠=︒，△905832BAC =︒-︒=︒∠．故答案为：32．【点睛】此题考查了同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质．13．（2021·江苏连云港市）如图，正方形ABCD 内接于O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若O 的面积为2π，1MN =，则AMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】 利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．【详解】如图所示，（1）N 为BD 上一动点，A 点关于线段BD 的对称点为点C ，连接CN ，则=CN AN ，过A 点作CN 的平行线AG ，过C 点作BD 的平行线CG ，两平行线相交于点G ，AG 与BD 相交于点M ．//,//,CN MG NM CG∴四边形CNMG 是平行四边形∴MG CN =∴MG AN =则=1AMN C AN AM NM MG AM ++=++（2）找一点'N ， 连接'CN ，则'='CN AN ，过G 点作'CN 的平行线MG ，连接'AM 则''=''''''''''1AM N C AN AM N M AN AM CG AN AM NM AN AM ++=++=++=++．此时1''1AN AM AN AM ++<++∴''AMN AM N C C <∴（1）中AMN 周长取到最小值四边形CNMG 是平行四边形∴CNM NMA ∠=∠四边形ABCD 是正方形∴CO OA =，AC BD ⊥又CNM NMA ∠=∠，NOC MOA ∠=∠，CO OA =∴()CNO AOM AAS ≅∴ON OM =又AC BD∴AN AM =∴ANM 是等腰三角形22S r ππ==，则圆的半径r =1111222OM MN ==⨯= 2222219+24AM r OM ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ 32AM ∴= 3=2+1=42AMN C ∴⨯ 故选：B ．【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到AMN 周长取最小值时M N 、的位置．14．（2021·江苏常州市）如图，在Rt ABC 中，90,30,1ACB CBA AC ∠=︒∠=︒=，D 是AB 上一点（点D 与点A 不重合）．若在Rt ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A 、D 成为直角三角形的三个顶点，则AD 长的取值范围是________．【答案】43＜AD ＜2 【分析】以AD 为直径，作O 与BC 相切于点M ，连接OM ，求出此时AD 的长；以AD 为直径，作O ，当点D 与点B 重合时，求出AD 的长，进入即可得到答案．【详解】解：以AD 为直径，作O 与BC 相切于点M ，连接OM ，则OM △BC ，此时，在Rt ABC 的直角边上存在3个不同的点分别和点A 、D 成为直角三角形，如图，△在Rt ABC 中，90,30,1ACB CBA AC ∠=︒∠=︒=，△AB =2，△OM △BC ， △1sin 302OM OB ︒==， 设OM =x ，则AO =x ， △122x x =-，解得：23x =， △AD =2×23=43， 以AD 为直径，作O ，当点D 与点B 重合时，如图，此时AD =AB =2，△在Rt ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A 、D 成为直角三角形的三个顶点，则AD 长的取值范围是：43＜AD ＜2． 故答案是：43＜AD ＜2．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理的推论，解直角三角形，画出图形，分类讨论，是解题的关键．15．（2021·江苏扬州市）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．△该弧所在圆的半径长为___________；△ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． △线段PB 长的最小值为_______；△若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．【答案】（1）△2；2；（2）见解析；（3） 【分析】（1）△设O 为圆心，连接BO ，CO ，根据圆周角定理得到△BOC =60°，证明△OBC 是等边三角形，可得半径； △过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，以BC 为底，则当A 与D 重合时，△ABC 的面积最大，求出OE ，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）△根据4tan 3DPC ∠=，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，可得点P 在优弧CPD 上，连接BQ ，与圆Q 交于P ′，可得BP ′即为BP 的最小值，再计算出BQ 和圆Q 的半径，相减即可得到BP ′； △根据AD ，CD 和23PCD PAD S S =推出点P 在△ADC 的平分线上，从而找到点P 的位置，过点C 作CF △PD ，垂足为F ，解直角三角形即可求出DP ．【详解】解：（1）△设O 为圆心，连接BO ，CO ，△△BAC =30°，△△BOC =60°，又OB =OC ，△△OBC 是等边三角形，△OB =OC =BC =2，即半径为2；△△△ABC 以BC 为底边，BC =2，△当点A 到BC 的距离最大时，△ABC 的面积最大，如图，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，△BE =CE =1，DO =BO =2，△OE△DE 2，△△ABC 的最大面积为)1222⨯⨯2；（2）如图，延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，△点D 在圆上，△△BDC =△BAC ，△△BA ′C =△BDC +△A ′CD ，△△BA ′C ＞△BDC ，△△BA ′C ＞△BAC ，即△BA ′C ＞30°；（3）△如图，当点P在BC上，且PC=32时，△△PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，△tan△DPC=CDPC =43，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，12PD为半径画圆，△当点P在优弧CPD上时，tan△DPC=43，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE△BE，垂足为E，△点Q是PD中点，△点E为PC中点，即QE=12CD=1，PE=CE=12PC=34，△BE=BC-CE=3-34=94，△BQ，△PD 52，△圆Q的半径为155 224⨯=，△BP′=BQ-P′Q BP△△AD=3，CD=2，23PCD PADS S=，则23 CDAD=，△△P AD中AD边上的高=△PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，则点P到AD和CD的距离相等，即点P在△ADC的平分线上，如图，过点C作CF△PD，垂足为F，△PD平分△ADC，△△ADP=△CDP=45°，△△CDF为等腰直角三角形，又CD=2，△CF=DF△tan△DPC=CFPF=43，△PF△PD=DF+PF．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹．三、圆的切线16．（2021·江苏泰州市）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），△A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与△A相切于点B．若△APB＝30°，则点P的坐标为___．【答案】()0,11．【分析】连接AB，作AD△x轴，AC△y轴，根据题意和30°直角三角形的性质求出AP的长度，然后由圆和矩形的性质，根据勾股定理求出OC的长度，即可求出点P的坐标．【详解】如下图所示，连接AB ，作AD △x 轴，AC △y 轴，△PB 与△A 相切于点B△AB △PB ，△△APB ＝30°，AB △PB ，△P A =2AB =2510⨯=．△90,90,90O OCA ADO =︒=︒=︒∠∠∠，△四边形ACOD 是矩形，点A 的坐标为（8，5），所以AC =OD =8，CO =AD =5，在Rt PAC △中，6PC ==．如图，当点P 在C 点上方时，△5611OP OC CP =+=+=，△点P 的坐标为()0,11．【点睛】此题考查了勾股定理，30°角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．17．（2021·江苏南京市）如图，已知P 是O 外一点．用两种不同的方法过点P 作O 的一条切线．要求： （1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【答案】答案见解析．【分析】方法一：作出OP 的垂直平分线，交OP 于点A ，再以点A 为圆心，P A 长为半径画弧，交O 于点Q ，连结PQ ，PQ 即为所求．方法二：作出以OP 为底边的等腰三角形BPO ，再作出△OBP 的角平分线交OP 于点A ，再以点A 为圆心，P A 长为半径画弧，交O 于点Q ，连结PQ ，PQ 即为所求．【详解】解：作法：连结PO ，分别以P 、O 为圆心，大于12PO 的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO 于点A ；以点A 为圆心，P A 长为半径画弧，交O 于点Q ，连结PQ ，PQ 即为所求．作法：连结PO ，分别以P 、O 为圆心，以大于12PO 的长度为半径画弧交PO 上方于点B ，连结BP 、BO ；以点B 为圆心，任意长为半径画弧交BP 、BO 于C 、D 两点，分别以于C 、D 两点为圆心，大于12CD 的长度为半径画弧交于一点，连结该点与B 点，并将其反向延长交PQ 于点A ，以点A 为圆心，P A 长为半径画弧，交O 于点Q ，连结PQ ，PQ 即为所求．【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18．（2021·江苏南通市）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AE 的延长线与过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，35CAD ∠=︒，连接BC ．（1）求B的度数；（2）若2AB=，求EC的长．【答案】（1）55°；（2）718π．【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC△CD，则判断OC△AE，所以△DAC=△OCA，然后利用△OCA=△OAC 得到△OAB的度数，即可求解；（2）利用（1）的结论先求得△AEO=△EAO=70°，再平行线的性质求得△COE=70°，然后利用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）连接OC，如图，△CD是△O的切线，△OC△CD，△AE△CD，△OC△AE，△△DAC=△OCA，△OA=OC，△CAD=35°，△△OAC=△OCA=△CAD=35°，△AB为△O的直径，△△ACB=90°，△△B=90°-△OAC=55°；（2）连接OE，OC，如图，由（1）得△EAO =△OAC +△CAD =70°，△OA =OE ，△△AEO =△EAO =70°，△OC △AE ，△△COE =△AEO =70°，△AB =2，则OC =OE =1，△EC 的长为70718018018n r πππ==． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．19．（2021·江苏盐城市）如图，O 为线段PB 上一点，以O 为圆心OB 长为半径的△O 交PB 于点A ，点C 在△O 上，连接PC ，满足2PC PA PB =⋅．（1）求证：PC 是△O 的切线；（2）若3AB PA =，求AC BC的值． 【答案】（1）见解析；（2）12【分析】(1) 连接OC ，把2PC PA PB =⋅转化为比例式，利用三角形相似证明90PCO ∠=︒即可；(2)利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接OC△2PC PA PB =⋅ △PC PB PA PC=， 又△△P =△P ，△PAC PCB ∽△PAC PCB =∠∠，PCA PBC ∠=∠△PCO PCB OCB ∠=∠-∠△PCO PAC OCB ∠=∠-∠又△OC OB =△OCB OBC ∠=∠△PCO PAC ABC ACB ∠=∠-∠=∠已知C 是O 上的点，AB 是直径，△90ACB ∠=︒，△90PCO ∠=︒△AC PO ⊥，△PC 是圆的切线；（2）设AP a =，则3AB a =， 1.5r a =△ 1.5OC a =在Rt △PCO 中△ 2.5OP a =， 1.5OC a =，△2PC a =已知PAC PCB ∽，AC PA BC PC= △12AC BC =． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，灵活运用三角形相似的判定证明相似，运用勾股定理计算是解题的关键．20．（2021·江苏无锡市）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA ，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知△ABC =90°，由切线的性质可知△OBP =90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得△AOB =40°，继而得△OAB =70°，再推出△CDE =70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）△AC 是O 的直径，△△ABC =90°，△PB 切O 于点B ，△△OBP =90°，△90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，△PBA OBC ∠=∠；（2）△20PBA ，PBA OBC ∠=∠，△20OBC ∠=︒，△OB =OC ，△20OCB OBC ∠=∠=︒，△△AOB =20°+20°=40°，△OB =OA ，△△OAB =△OBA =(180°-40°)÷2=70°，△△ADB =12△AOB =20°，△AC 是O 的直径，△△ADC =90°，△△CDE =90°-20°=70°，△△CDE =△OAB ，△40ACD ∠=︒，△40ACD AOB ∠=∠=︒，△OAB CDE ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．21．（2021·江苏宿迁市）如图，在Rt △AOB 中，△AOB =90°，以点O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于点C ，点D 在边OB 上，且CD= BD ．（1）判断直线CD 与圆O 的位置关系，并说明理由；（2）已知24tan 7DOC ∠=，AB =40，求O 的半径．【答案】（1）直线CD 与圆O 相切，理由见解析；（2）【分析】（1）连接,OC 证明90,DCB OCA ∠+∠=︒可得90,OCD ∠=︒ 从而可得答案；（2）由24,tan ,7CD OC CD DOC OC ⊥∠== 设24,CD x = 则7,OC x = 再求解25,7,OD x OA x == 再表示49,OB OD BD x =+= 再利用222,AO BO AB += 列方程解方程，可得答案．【详解】解：（1）直线CD 与圆O 相切，理由如下：如图，连接,OC90,,AOB OA OC ∠=︒=90,,B OAC OAC OCA ∴∠+∠=︒∠=∠,CD BD =,B DCB ∴∠=∠90,DCB OCA ∴∠+∠=︒1809090,OCD ∴∠=︒-︒=︒,OC CD ∴⊥ OC 为O 的半径，CD ∴是O 的切线．（2）24,tan ,7CD OC CD DOC OC ⊥∠== 设24,CD x = 则7,OC x =25,7,OD x OA OC x ∴===,CD BD =24,BD x ∴=49,OB OD BD x ∴=+=40,90,AB AOB =∠=︒222,AO BO AB ∴+=()()22274940,x x ∴+= 232,49x ∴=12x x ∴==（负根舍去）O ∴的半径为：777OC x ==⨯= 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，熟练应用基础知识，把知识串联起来是解题的关键．22．（2021·江苏苏州市）如图，四边形ABCD 内接于O ，12∠=∠，延长BC 到点E ，使得CE AB =，连接ED ． （1）求证：BD ED =；（2）若4AB =，6BC =，60ABC ∠=︒，求tan DCB ∠的值．【答案】（1）见解析；（2 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知180A BCD ∠+∠=︒，再由180DCE BCD ∠+∠=︒，即可得出A DCE ∠=∠．根据圆周角定理结合题意可知AD CD =，即得出AD CD =．由此易证()ABD CED SAS △≌△，即得出BD ED =． （2）过点D 作DM BE ⊥，垂足为M ．根据题意可求出10BE =，结合（1）可知152BM EM BE ===，即可求出1CM =．根据题意又可求出230∠=︒，利用三角函数即可求出DM =最后再利用三角函数即可求出最后结果． 【详解】（1）证明：△四边形ABCD 是圆的内接四边形，△180A BCD ∠+∠=︒．△180DCE BCD ∠+∠=︒，△A DCE ∠=∠．△12∠=∠，△AD CD =，△AD CD =． 在ABD △和CED 中，AB CE A DCE AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()ABD CED SAS △≌△，△BD ED =．（2）解：如图，过点D 作DM BE ⊥，垂足为M ．△6BC =，4AB CE ==，△10BE BC CE =+=．由（1）知BD ED =． △152BM EM BE ===． △1CM BC BM =-=．△60ABC ∠=︒，12∠=∠，△230∠=︒．△tan 305DM BM =⋅︒==．△tan DM DCB CM ∠== 【点睛】 本题为圆的综合题．考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形．利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键．23．（2021·江苏扬州市）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π【分析】（1）过点B 作BF △CD ，证明△ABD △△FBD ，得到BF =BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到△ABD =30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF △CD ，△AD △BC ，△△ADB =△CBD ，△CB =CD ，△△CBD =△CDB ，△△ADB =△CDB ，又BD =BD ，△BAD =△BFD =90°，△△ABD △△FBD （AAS ），△BF =BA ，则点F 在圆B 上，△CD 与圆B 相切；（2）△△BCD =60°，CB =CD ，△△BCD 是等边三角形，△△CBD =60°△BF △CD ，△△ABD =△DBF =△CBF =30°，△△ABF =60°，△AB =BF =△AD =DF =tan30AB ⋅︒=2，△阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．24．（2021·江苏连云港市）如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E ，若2EDC ABC S S =，求tan BAC ∠的值．【答案】（1）见解析；（2【分析】 （1）利用SAS 证明≌∆∆BAC DAC ，可得90ADC ABC ∠=∠=︒，即可得证；（2）由已知条件可得EDC EBA ∆∆∽，可得出:=DC BA :=CB BA tan BAC ∠；【详解】（1）△AC 平分BAD ∠，△BAC DAC ∠=∠．△AB AD =，AC AC =，△≌∆∆BAC DAC ．△90ADC ABC ∠=∠=︒．△CD AD ⊥，△AD 是C 的切线．（2）由（1）可知，90EDC ABC ∠=∠=︒，又E E ∠=∠，△EDC EBA ∆∆∽．△2∆∆=EDC ABC S S ，且≌∆∆BAC DAC ，△:1:2∆∆=EDC EBA S S ，△:=DC BA△DC CB =，△:=CB BA△90ABC ∠=︒△tan ∠=CB BAC BA 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 25．（2021·江苏泰州市）如图，在△O 中，AB 为直径，P 为AB 上一点，P A ＝1，PB ＝m （m 为常数，且m ＞0）．过点P 的弦CD △AB ，Q 为BC 上一动点（与点B 不重合），AH △QD ，垂足为H ．连接AD 、BQ ．（1）若m ＝3．△求证：△OAD ＝60°；△求BQ DH的值； （2）用含m 的代数式表示BQ DH ，请直接写出结果； （3）存在一个大小确定的△O ，对于点Q 的任意位置，都有BQ 2﹣2DH 2+PB 2的值是一个定值，求此时△Q 的度数．【答案】（1）△见解析；△2；（2（3）存在半径为1的圆，45°【分析】（1）△连接OD ，则易得CD 垂直平分线段OA ，从而OD =AD ，由OA =OD ，即可得△OAD 是等边三角形，从而可得结论；△连接AQ ，由圆周角定理得：△ABQ =△ADH ，从而其余弦值相等，因此可得BQ AB DH AD= ，由△可得AB 、AD 的值，从而可得结论；（2）连接AQ 、BD ， 首先与（1）中的△相同，有BQ AB DH AD =，由△APD △△ADB ，可求得AD 的长，从而求得结果； （3）由（2）的结论可得：22(1)BQ m DH =+，从而BQ 2﹣2DH 2+PB 222(1)m DH m =-+当m =1时，即可得是一个定值，从而可求得△Q 的值．【详解】（1）△如图，连接OD ，则OA =OD△AB =P A +PB =1+3=4△OA =122AB = △OP =AP =1即点P 是线段OA 的中点△CD △AB△CD 垂直平分线段OA△OD =AD△OA =OD =AD。

专题30 圆的基本性质-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)

专题30 圆的基本性质-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)

专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑷圆心；⑸半径，⑹其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

2021年九年级中考数学 一轮专题汇编：圆的有关性质(含答案)

2021年九年级中考数学 一轮专题汇编：圆的有关性质(含答案)
2. 【答案】D
3. 【答案】D [解析] ∵OM＝3 cm，∴⊙O 的半径为 3 cm，∴⊙O 的直径为 6 cm， 即⊙O 中最长的弦的长度为 6 cm， ∴MN 最长为 6 cm，∴0 cm＜MN≤6 cm.
4. 【答案】C [解析] 如图，连接 OA，OC，过点 O 作 OD⊥AB，垂足为 D，则 AD＝BD＝2， ∴DC＝2＋1＝3.S 圆环＝πOC2－πOA2＝π(OD2＋DC2－OD2－AD2)＝π(32－22) ＝5π≈15.7.
A．10
B．13
C．16
D．19
5. 一块圆形宣传标志牌如图所示，点 A，B，C 在⊙O 上，CD 垂直平分 AB 于点 D.现测得 AB＝8 dm，DC＝2 dm，则圆形标志牌的半径为 ( )
A．6 dm
B．5 dm
C．4 dm
D．3 dm
6. 如图，⊙O 的半径为 4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接 OB、OC，若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦 BC 的长为( ) A. 3 3 B. 4 3 C. 5 3 D. 6 3
5. 【答案】B [解析] 如图，连接 OD，OB，则 O，C，D 三点在一条直线上．因为 CD 垂 直平分 AB，AB＝8 dm，所以 BD＝4 dm，OD＝(OC－2)dm.由勾股定理，得 42＋(OC－2)2 ＝OC2，解得 OC＝5(dm)． 故选 B.
6. 【答案】B 【解析】如解图，延长 CO 交⊙O 于点 A′，连接 A′B.设∠BAC＝α， 则∠BOC＝2∠BAC ＝2α，∵∠BAC＋∠BOC＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝ 60°.∴∠BA′C＝∠BAC＝60°，∵CA′为直径，∴∠A′BC＝90°，则在 Rt△A′BC 中，BC＝A′C·sin∠BA′C＝2×4× 3＝4 3.

2021年中考数学 圆的有关性质 一轮复习(含答案)

2021年中考数学 圆的有关性质 一轮复习(含答案)

2021中考数学 圆的有关性质 一轮复习一、选择题1. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则⊙ADC的度数是( )A . 40°B . 30°C . 20°D . 15°2. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A ，B ，C ，给出三角形ABC ，则这块玻璃镜的圆心是 ( )A .AB ，AC 边上的中线的交点 B .AB ，AC 边上的垂直平分线的交点 C .AB ，AC 边上的高所在直线的交点D .∠BAC 与∠ABC 的角平分线的交点3. 如图，在半径为的☉O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD 的长是 ( )A .2B .2C .2D .44. 如图所示，⊙O的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则ON ＝( )A . 5B . 7C . 9D . 115. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是(2，a)(a ＞2)，半径为2，函数y ＝x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为2 3，则a的值是()A．2 B．2＋ 2C．2 3 D．2＋36. 如图，⊙O的半径为8 cm，把劣弧AB沿AB折叠，使劣弧AB经过圆心O，再把劣弧CD沿CD折叠，使劣弧CD经过AB的中点E，则折痕CD的长为()A．8 cm B．8 3 cm C．27 cm D．47 cm7. 如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()A．3 B．4 C．3 2 D．4 2二、填空题8. 如图，C，D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝________．9. 2018·曲靖如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A ＝n°，则∠DCE＝________°.10. 如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________°.11. 如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tan D ＝________．12. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，C 为弧BD 的中点．若∠DAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.13. 如图所示，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB ＝23，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．14. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ，连接OD ，BE ，它们交于点M ，且MD ＝2，则BE 的长为________.三、解答题15. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，D 为AB ︵的中点．(1)求∠ABD 的大小；(2)若AC ＝6，BD ＝5 2，求BC 的长．16. 如图⊙，在⊙ABC中，点D 在边BC 上，∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB ＝1∶2∶3，⊙O 是⊙ABD 的外接圆． (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)当BD 是⊙O 的直径时(如图⊙)，求⊙CAD 的度数．17. 如图，PB 切⊙O于点B ，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为D ，交⊙O 于点A ，连接AO 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，AF ，BF . (1)若⊙AOF ＝120°，⊙O 的半径为3， 求：⊙⊙CBF 的度数； ⊙AB ︵的长； ⊙阴影部分的面积．(2)若AB ＝8，DE ＝2，求⊙O 的半径． (3)求证：直线P A 为⊙O 的切线．(4)若BC ＝6，AD ⊙FD ＝1⊙2，求⊙O 的半径．2021中考数学 圆的有关性质 一轮复习-答案一、选择题1. 【答案】C【解析】如解图，连接CO ，∵AB ︵＝AC ︵，∴∠AOC ＝⊙AOB ＝40°，∴∠ADC ＝12⊙AOC ＝12×40°＝20°.故选C.2. 【答案】B[解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B .3. 【答案】C[解析]过点O 作OF ⊥CD 于点F ，OG ⊥AB 于G ，连接OB ，OD ，OE ，如图所示，则DF=CF ，AG=BG=AB=3， ∴EG=AG -AE=2. 在Rt⊙BOG 中， OG===2，∴EG=OG ，∴⊙EOG 是等腰直角三角形， ∴∠OEG=45°，OE=OG=2.∵∠DEB=75°，∴∠OEF=30°， ∴OF=OE=.在Rt⊙ODF 中，DF===，∴CD=2DF=2.故选C .4. 【答案】A【解析】⊙ON ⊙AB ，AB ＝24，∴AN ＝AB2＝12，∴在Rt △AON 中，ON ＝OA 2－AN 2＝132－122＝5.5. 【答案】B [解析] 如图，连接PB ，过点P 作PC ⊥AB 于点C ，过点P 作横轴的垂线，垂足为E ，交AB 于点D ，则PB ＝2，BC ＝ 3.在Rt △PBC 中，由勾股定理得PC ＝1.∵直线y ＝x 平分第一象限的夹角，∴△PCD 和△DEO 都是等腰直角三角形，∴PD ＝2，DE ＝OE ＝2，∴a ＝PE ＝2＋ 2.故选B.6. 【答案】D[解析] 如图，作CD 关于AB 对称的弦C ′D ′，连接OE 并延长，交CD 于点F ，交C ′D ′于点F ′.由题意可得OF ′⊥C ′D ′，且OF ′＝34×8＝6(cm)，所以C ′F ′＝OC ′2－OF ′2＝ 2 7 cm ，所以CD ＝C ′D ′＝2C ′F ′＝47cm.7. 【答案】C [解析] 如图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接AO.∵OE ⊥AB ，∴AE ＝12AB ＝4.在Rt △OAE 中，OA ＝5，由勾股定理可得OE ＝3，同理得OF＝3.又∵AB ⊥CD ，∴四边形OEPF 是正方形，∴PE ＝OE ＝3.在Rt △OPE 中，由勾股定理可得OP ＝3 2.二、填空题8. 【答案】1 [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠ACD ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝12×2＝1.9. 【答案】n10. 【答案】15 [解析] ∵OC ⊥OB ，∴∠COB ＝90°.又∵OC ＝OB ，∴△COB 是等腰直角三角形， ∴∠OBC ＝45°.∵OA ＝AB ，OA ＝OB ，∴OA ＝AB ＝OB ， ∴△AOB 是等边三角形，∴∠OBA ＝60°， ∴∠ABC ＝∠OBA －∠OBC ＝15°.11. 【答案】22 【解析】如解图，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵AB ＝3×2＝6，AC ＝2，∴BC ＝AB 2－AC 2＝62－22＝42，∵∠D ＝⊙A ，∴tan D ＝tan A ＝BC AC ＝422＝2 2.12. 【答案】70 [解析] 如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵C 为弧BD的中点，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝20°，∴∠ABC ＝70°.13. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.14. 【答案】8 [解析] 连接AD ，如图所示．∵以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ， ∴∠AEB ＝∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC. 又∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD.又∵OA ＝OB ，∴OD ∥AC ， ∴OD ⊥BE ，∴BM ＝EM ， ∴CE ＝2MD ＝4， ∴AE ＝AC －CE ＝6，∴BE ＝AB2－AE2＝102－62＝8.三、解答题15. 【答案】解：(1)∵D 为AB ︵的中点， ∴AD ︵＝BD ︵.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠ABD ＝∠DAB ＝45°.(2)由(1)知AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD ＝5 2. 又∵∠ADB ＝90°， ∴AB ＝AD2＋BD2＝10. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴BC ＝AB2－AC2＝102－62＝8.16. 【答案】(1)证明：如解图，连接OA ，OD.设⊙ABC ＝x ， ∵∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB ＝1⊙2⊙3， ∴∠ADB ＝3x ，∠ACB ＝2x ，解图∴ ∠DAC ＝x ，∠AOD ＝2⊙ABC ＝2x ，∴∠OAD ＝180°－2x2＝90°－x ，(2分)∴∠OAC ＝90°－x ＋x ＝90°， ∴OA ⊥AC ，又⊙OA 为⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线．(4分) (2)解：⊙BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD ＝90°，∵∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB ＝1⊙2⊙3, ∠ABC ＋⊙ADB ＝90°，∴∠ABC ＋3⊙ABC ＝90°，(6分) 解得⊙ABC ＝22.5°，∴∠ADB ＝67.5°，∠ACB ＝45°，∴∠CAD ＝⊙ADB －⊙ACB ＝22.5°.(8分)17. 【答案】解：(1)①∵∠AOF ＝120°， ∴∠ABF ＝60°. ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°， ∴∠CBF ＝30°. ②连接OB . ∵∠AOF ＝120°， ∴∠AOE ＝60°.∵EF ⊥AB 于点D ，∴AE ︵＝BE ︵，∴∠AOE ＝∠BOE ＝60°，∴∠AOB ＝120°， ∴AB ︵＝120π×3180＝2π.③∵∠AOE ＝60°，EF ⊥AB 于点D ， ∴∠OAB ＝30°.∵AC ＝6，∴BC ＝3，∴AB ＝3 3. ∵OA ＝3，∴OD ＝32，∴S ⊙AOB ＝12AB ·OD ＝12×3 3×32＝94 3. ∵S 扇形OAB ＝120360π×32＝3π，∴阴影部分的面积＝S 扇形OAB －S ⊙AOB ＝3π－94 3. (2)∵EF ⊥AB 于点D ，∴AD ＝BD ＝4. 设OA ＝x ，则OD ＝OE －DE ＝x －2.在Rt⊙OAD 中，由勾股定理，得OA 2＝OD 2＋AD 2，即x 2＝(x －2)2＋42，解得x ＝5，∴⊙O 的半径为5. (3)证明：连接OB .∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°.∵EF ⊥AB 于点D ，∴AE ︵＝BE ︵，∴∠AOP ＝∠BOP .又∵OA ＝OB ，PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO ，∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∴直线P A 为⊙O 的切线．(4)∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3.设AD ＝y .∵AD ∶FD ＝1∶2，∴FD ＝2y ，∴OA ＝OF ＝FD －OD ＝2y －3.在Rt⊙AOD 中，由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即(2y －3)2＝y 2＋32. 解得y 1＝4，y 2＝0(不合题意，舍去)．∴OA ＝2y －3＝5，即⊙O 的半径为5.。

2021年中考数学 专题训练：圆的有关性质(含答案)

2021年中考数学 专题训练：圆的有关性质(含答案)

2021中考数学 专题训练：圆的有关性质一、选择题1. 如图，☉O 的直径AB 垂直于弦CD.垂足是点E ，∠CAO=22.5°，OC=6，则CD 的长为 ( )A .6B .3C .6D .122. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P (0，－3)，那么经过点P 的所有弦中，最短的弦的长为( )A ．4B ．5C ．8D ．103. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，∠1＝45°，则∠2等于( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．40°4. 如图，AB是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形5. 2019·葫芦岛如图，在⊙O 中，∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，则∠ABO 的度数为( )A ．70°B ．55°C ．45°D ．35°6. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝3∠COD (∠COD <60°)，则劣弧AB ，劣弧CD 的大小关系是( ) A.AB ︵＝3CD ︵B.AB ︵>3CD ︵C.AB ︵<3CD ︵D ．3AB ︵<CD ︵7. (2019•益阳)如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA=PB B ．∠BPD=∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD8. 如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点．若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°9. 如图，将半径为6的⊙O 沿AB 折叠，AB ︵与垂直于AB 的半径OC 交于点D ，且CD ＝2OD ，则折痕AB 的长为( )A ．4 2B ．8 2C ．6D ．6 310. 如图，AB 是⊙O的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( ) A . 12 B . 22 C . 32 D . 33二、填空题11. 如图，AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线，点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上，连接AE ，若∠ABC=64°，则∠BAE 的度数为 .12. 如图，△ABC内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝50°，点D 是BAC ︵上一点，则∠D ＝________．13. 2018·孝感已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm.14. 将量角器按图所示的方式放置在三角形纸片上，使顶点C 在半圆上，点A ，B的读数分别为100°，150°，则∠ACB 的大小为________°.15. 如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tan D ＝________．16. 如图所示，在半圆O 中，AB为直径，P 为AB ︵的中点，分别在AP ︵和PB ︵上取其中点A 1和B 1，再在P A ︵1和PB ︵1上分别取其中点A 2和B 2.若一直这样取下去，则∠A n OB n ＝________°.三、解答题17. 如图，AB 是☉O 的直径，C 是☉O 上一点，过点O 作OD ⊥AB ，交BC 的延长线于点D ，交AC 于点E ，F 是DE 的中点，连接CF . (1)求证:CF 是☉O 的切线; (2)若∠A=22.5°，求证:AC=DC.18. 如图①，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB ＝1∶2∶3，⊙O 是△ABD 的外接圆． (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)当BD 是⊙O 的直径时(如图②)，求∠CAD 的度数．19. 如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝90°，AC为直径，过点A作圆O 的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G，连接CG.(1)求证：AB＝CD；(2)求证：CD2＝BE·BC；(3)当CG＝3，BE＝92，求CD的长．20. 已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a ≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞32，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜52）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．21. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n既为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？2021中考数学专题训练：圆的有关性质-答案一、选择题1. 【答案】A[解析]∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵☉O的直径AB垂直于弦CD，∴∠CEO=90°，CE=DE.∵∠COE=45°，∴CE=OE=OC=3，∴CD=2CE=6，故选A.2. 【答案】C[解析] 过点P作弦AB⊥OP，连接OB，如图．则PB＝AP，∴AB＝2BP＝2 OB2－OP2.再过点P任作一条弦MN，过点O作OG⊥MN于点G，连接ON.则MN＝2GN＝2 ON2－OG2.∵OP＞OG，OB＝ON，∴MN＞AB，∴AB 是⊙O 中的过点P 最短的弦．在Rt △OPB 中，PO ＝3，OB ＝5，由勾股定理，得PB ＝4，则AB ＝2PB ＝8.3. 【答案】C4. 【答案】B[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的． 故选B.5. 【答案】B6. 【答案】A[解析] 把∠AOB 三等分，得到的每一份角所对的弧都等于CD ︵，因此有AB ︵＝3CD ︵.7. 【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA=PB ，所以A 成立；∠BPD=∠APD ，所以B 成立；∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC=BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ．8. 【答案】D[解析] 连接AD ，OA ，OB .∵B 是AC ︵的中点，∴∠ADB ＝∠BDC ＝40°，∴∠AOB ＝2∠ADB ＝80°.又∵M 是OD 上一点，∴∠ADB ≤∠AMB ≤∠AOB ，即40°≤∠AMB ≤80°，则不符合条件的只有85°.9. 【答案】B[解析] 如图，延长CO 交AB 于点E ，连接OB .∵CE ⊥AB ，∴AB＝2BE .∵OC ＝6，CD ＝2OD ，∴CD ＝4，OD ＝2，OB ＝6.由折叠的性质可得DE ＝12×(6×2－4)＝4，∴OE ＝DE －OD ＝4－2＝2.在Rt △OEB 中，BE ＝OB 2－OE 2＝62－22＝4 2， ∴AB ＝8 2.故选B.10. 【答案】A【解析】如解图，连接OC ，∵EC 切⊙O 于C ，∴∠OCE ＝90°，∵OA ＝OC ，解图∴∠ACO ＝∠A ＝30°，∴∠COE ＝∠ACO ＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E ＝180°－∠OCE －∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt △COE 中，sin ∠E ＝sin30°＝12.二、填空题 11. 【答案】52° [解析]∵圆内接四边形对角互补， ∴∠B +∠D=180°，∵∠B=64°，∴∠D=116°.∵点D 关于AC 的对称点是点E ，∴∠D=∠AEC=116°. ∵∠AEC=∠B +∠BAE ，∴∠BAE=52°.12. 【答案】40°【解析】AC 是⊙O 的直径⇒∠ABC ＝90°⇒⎭⎪⎬⎪⎫ ∠A ＝90°－50°＝40°∠A 和∠D 都是BC ︵所对的圆周角 ⇒∠D ＝∠A ＝40°.13. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，如图①， ∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴EO ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点E 并反向延长交AB 于点F ，如图②，∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AF ＝8 cm ，CE ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴OF ＝6 cm ，OE ＝8 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝14 cm.∴AB 与CD 之间的距离为2 cm 或14 cm.14. 【答案】25[解析] 设量角器的中心为O ，由题意可得∠AOB ＝150°－100°＝50°，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝25°.15. 【答案】22 【解析】如解图，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵AB ＝3×2＝6，AC ＝2，∴BC ＝AB 2－AC 2＝62－22＝42，∵∠D ＝∠A ，∴tan D ＝tan A ＝BC AC ＝422＝2 2.16. 【答案】(902n －1)[解析] 当n ＝1时，∠A 1OB 1＝90°；当n ＝2时，∠A 2OB 2＝90°2＝45……所以∠A n OB n ＝(902n －1)°.三、解答题17. 【答案】证明:(1)∵AB 是☉O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°. ∵点F 是ED 的中点， ∴CF=EF=DF ，∴∠AEO=∠FEC=∠FCE.∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC.∵OD⊥AB，∴∠OAC+∠AEO=90°，∴∠OCA+∠FCE=90°，即OC⊥FC，∵OC是☉O的半径，∴CF与☉O相切.(2)∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE=∠ACD=90°.∵∠AEO=∠DEC，∴∠OAE=∠CDE=22.5°.连接AD，∵AO=BO，OD⊥AB，∴AD=BD，∴∠ADO=∠BDO=22.5°，∴∠ADB=45°，∴∠CAD=90°-∠ADB=45°=∠ADB，∴AC=CD.18. 【答案】(1)证明：如解图，连接OA，OD.设∠ABC＝x，∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∴∠ADB＝3x，∠ACB＝2x，解图∴ ∠DAC ＝x ，∠AOD ＝2∠ABC ＝2x ，∴∠OAD ＝180°－2x 2＝90°－x ，(2分) ∴∠OAC ＝90°－x ＋x ＝90°，∴OA ⊥AC ，又∵OA 为⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(4分)(2)解：∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB ＝1∶2∶3,∠ABC ＋∠ADB ＝90°，∴∠ABC ＋3∠ABC ＝90°，(6分)解得∠ABC ＝22.5°，∴∠ADB ＝67.5°，∠ACB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADB －∠ACB ＝22.5°.(8分)19. 【答案】(1)证明：∵AC 为直径，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴BC ∥AD ，∴∠BCA ＝∠CAD ，又∵AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA (AAS)，∴AB ＝CD ；(2)证明：∵AE 为⊙O 的切线且O 为圆心，∴OA ⊥AE ，即CA ⊥AE ，∴∠EAB ＋∠BAC ＝90°，而∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∴∠EAB ＝∠BCA ，而∠EBA ＝∠ABC ，∴△EBA ∽△ABC ，∴EB AB ＝BA BC ，∴AB 2＝BE ·BC ，由(1)知AB ＝CD ，∴CD 2＝BE ·BC ；(3)解：由(2)知CD 2＝BE ·BC ，即CD 2＝92BC ①，∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点，∴G 为AB 的三等分点，即CD ＝AB ＝3BG ，在Rt △CBG 中，CG 2＝BG 2＋BC 2，即3＝(13CD )2＋BC 2②， 将①代入②，消去CD 得，BC 2＋12BC －3＝0，即2BC 2＋BC －6＝0，解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③，将③代入①得，CD ＝332.20. 【答案】（1）因为抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于A (－1, 0)、B (4, 0)两点， 所以y ＝a (x ＋1)(x －4)＝ax 2－3ax －4a ．所以－4a ＝－2，b ＝－3a ．所以12a =，32b =-．所以221313252()22228y x x x =--=--。

2021年中考数学二轮复习冲刺集训：圆的有关性质(含答案)

2021年中考数学二轮复习冲刺集训：圆的有关性质(含答案)

2021中考数学冲刺集训：圆的有关性质一、选择题1. 如图，AB为☉O的直径，C，D为☉O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为()A.60°B.50°C.40°D.20°2. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为()A．4 B．5 C．8 D．103. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于()A. 64°B. 58°C. 72°D. 55°4. 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F的度数是()A．20°B．35°C．40°D．55°5. △ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是()A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是()A.7 B．27 C．6 D．87. 2019·武汉京山期中在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB上升()A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米8. 如图，量角器的零刻度线与三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是()A．48°B．64°C．96°D．132°二、填空题9. 如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．10. 如图，AB 是⊙O的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD＝________°.11. 如图0，A ，B 是⊙O 上的两点，AB ＝10，P 是⊙O 上的动点(点P 与A ，B 两点不重合)，连接AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF ＝________．12. 已知：如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，则四边形OACB是________．(填特殊平行四边形的名称)13. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．14. 如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B ＋∠E ＝________°.15. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.16. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以点C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为________．三、解答题17. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F . (1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).18. 如图，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BAD ＝90°，AC 为直径，过点A 作圆O的切线交CB 的延长线于点E ，过AC 的三等分点F (靠近点C )作CE 的平行线交AB 于点G ，连接CG . (1)求证：AB ＝CD ； (2)求证：CD 2＝BE ·BC ；(3)当CG ＝3，BE ＝92，求CD 的长．19. (2019•辽阳)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，∠=∠．AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若23==，求阴影部分的面积．CE AE20. 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的一个动点(不与点B，D重合)．(1)当圆心O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.(2)若四边形OBCD为平行四边形．①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．2021中考数学冲刺集训：圆的有关性质-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]如图，连接AD，∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=90°.∵∠A和∠BCD都是所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°-40°=50°.故选B.2. 【答案】C[解析] 过点P作弦AB⊥OP，连接OB，如图．则PB＝AP，∴AB＝2BP＝2 OB2－OP2.再过点P任作一条弦MN，过点O作OG⊥MN于点G，连接ON.则MN＝2GN＝2 ON2－OG2.∵OP＞OG，OB＝ON，∴MN＞AB，∴AB是⊙O中的过点P最短的弦．在Rt△OPB中，PO＝3，OB＝5，由勾股定理，得PB＝4，则AB＝2PB＝8.3. 【答案】B【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝12(180°－∠AOC)＝12×(180°－64°)＝58°.4. 【答案】B5. 【答案】C【解析】由CD 为腰上的高，I 为△ACD 的内心，则∠IAC ＋∠ICA＝12(∠DAC ＋∠DCA)＝12(180°－∠ADC)＝12(180°－90°)＝45°，所以∠AIC ＝180°－(∠IAC ＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB ≌△AIC ，得∠AIB ＝∠AIC ＝135°.6. 【答案】B [解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.7. 【答案】D8. 【答案】C[解析] ∵∠ACB ＝90°，∴点C 在以O 为圆心，OA 长为半径的圆上．第24秒时，∠ACE ＝48°，∴∠EOA ＝2∠ACE ＝96°.二、填空题9. 【答案】35 【解析】∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠C ＝∠OAC ，∵∠AOB ＝40°，∴∠B ＝∠OAB ＝70°，∵CD ∥AB ，∴∠BAC ＝∠C ，∴∠OAC＝∠BAC ＝12∠OAB ＝35°. 10. 【答案】62 【解析】根据直径所对的圆周角等于90°及∠BCD ＝28°，可得∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝90°－28°＝62°，再根据同弧所对圆周角相等有∠ABD ＝∠ACD ＝62°.11. 【答案】5 [解析] ∵OE 过圆心且与PA 垂直，∴PE ＝EA.同理PF ＝FB ，∴EF 是△PAB 的中位线， ∴EF ＝12AB ＝5.12. 【答案】菱形 [解析] 连接OC.∵C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠COB ＝60°. 又∵OA ＝OC ＝OB ，∴△OAC 和△OCB 都是等边三角形， ∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ，∴四边形OACB是菱形．13. 【答案】5[解析] 设圆的半径为x，则OE＝x－1.根据垂径定理可知，CE＝3，由勾股定理可得32＋(x－1)2＝x2，解得x＝5.故答案为5.14. 【答案】215[解析] 连接CE，则∠B＋∠AEC＝180°，∠DEC＝∠CAD＝35°，∴∠B ＋∠AED＝(∠B＋∠AEC)＋∠DEC＝180°＋35°＝215°.15. 【答案】65[解析] ∵∠C＝25°，∴∠A＝∠C＝25°.∵⊙O的直径AB过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，∴∠AED＝90°，∴∠D＝90°－25°＝65°.16. 【答案】3或73[解析] 如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.∵PC＝5，BC＝3，PB＝4，∴BC2＋PB2＝PC2，∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.又∵PB＝AC＝4，∴四边形ACBP为平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴▱ACBP为矩形，∴PA＝BC＝3.在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，∴P′A＝82＋32＝73.综上所述，PA的长为3或73.三、解答题17. 【答案】(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ， ∴BC CA ＝CD BC ， ∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ， ∴∠CBD ＝∠BAC ， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°， ∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°， 即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径， ∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形． 证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ， 又∵△CBD ∽△CAB ， ∴∠BAC ＝∠CBD ， ∴∠CBD ＝∠DAE ， ∵∠DAE ＝∠DBF ， ∴∠DBF ＝∠CBD ， ∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°， ∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ， ∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线， ∴∠ABC ＝90° ∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20， ∴⊙O 的半径为r ＝AB2＝10， ∵∠BAC ＝36°， ∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.18. 【答案】(1)证明：∵AC 为直径， ∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°， ∴BC ∥AD ，∴∠BCA ＝∠CAD ， 又∵AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA (AAS)， ∴AB ＝CD ；(2)证明：∵AE 为⊙O 的切线且O 为圆心， ∴OA ⊥AE ， 即CA ⊥AE ，∴∠EAB ＋∠BAC ＝90°， 而∠BAC ＋∠BCA ＝90°， ∴∠EAB ＝∠BCA ， 而∠EBA ＝∠ABC ， ∴△EBA ∽△ABC ， ∴EB AB ＝BA BC ， ∴AB 2＝BE ·BC ， 由(1)知AB ＝CD ， ∴CD 2＝BE ·BC ；(3)解：由(2)知CD 2＝BE ·BC ，即CD 2＝92BC ①，∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点， ∴G 为AB 的三等分点， 即CD ＝AB ＝3BG ，在Rt △CBG 中，CG 2＝BG 2＋BC 2，即3＝(13CD )2＋BC 2②， 将①代入②，消去CD 得，BC 2＋12BC －3＝0， 即2BC 2＋BC －6＝0，解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③，将③代入①得，CD ＝332.19. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE 于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒，∵OA OE =， ∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵23CE AE ==∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠，∴2AEO EAC ∠=∠，∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠，∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒，∴OAE △是等边三角形，∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴2πAOE S =扇形，在Rt OAE △中，sin 32OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π-20. 【答案】52解：(1)60(2)①如图(a)．∵四边形OBCD 为平行四边形，∴∠BOD ＝∠BCD ，∠OBC ＝∠ODC .又∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠BAD ＝12∠BOD ，∴12∠BOD ＋∠BOD ＝180°，解得∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝12∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBC ＝∠ODC ＝180°－∠BOD ＝180°－120°＝60°. 又∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠OBA ＋∠ODA ＝∠ABC ＋∠ADC －(∠OBC ＋∠ODC )＝180°－(60°＋60°)＝60°.②如图(b)所示，连接AO .∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB .∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA .∵∠OAB＝∠OAD＋∠BAD，∴∠OBA＝∠ODA＋∠BAD＝∠ODA＋60°. 如图(c)，同理可得∠ODA＝∠OBA＋60°.。

2021年中考真题训练题圆的有关性质答案

2021年中考真题训练题圆的有关性质答案

2021年中考真题训练题圆的有关性质答案1.如图1，⊙o的直径ab与弦cd垂直，且∠bac=40°，则∠bod=80°．13.如下图1a，b，c，d是同一个圆上的顺次四点，则图中相等的圆周角共有（b）a、 2对b.4对c.8对d.16对eoacdb14。

如上图2所示，如果AB是⊙ o、 CD是音乐的和弦⊙ 哦，∠ abd=55°，则∠ BCD为（a）a.35°2。

如图2所示，AB是⊙ o、点c和D是圆上的两点，∠ AOC=100°，则∠ d=（40°）。

3.如图3所示，点P是外切圆上的点⊙ 等边三角形ABC的o。

在下面的判断中，不正确的是（c）A。

当弦Pb最长时，δAPC是等腰三角形B。

当δAPC是等腰三角形时，Po⊥ 根据Po⊥ 交流电，∠ ACP=300d．当∠acp=300如图4所示，当δPBC是直角三角形4时，量角器的直径与直角三角形板ABC的斜面ab重合，其中量角器0的刻度线的端点n与点a重合，射线CP从Ca开始，以每秒3度的速度顺时针旋转，CP和量角器的半圆弧在点E处相交，24秒时量角器上点E的相应读数为。

144 °5.(2021莱芜)如图5，在⊙o中，已知∠oab=22.5°，则∠c的度数为（d）a.135°b.122.5°c.115.5°d.112.5°6.众所周知，如图1所示，⊙ o是ABC的δ外接圆，OD垂直于AC，在D处相交，连接ad、CD、BD∠, abd=50°，则∠ DBC=_____50°7．如上图2，ab为圆o的直径，点c，d在圆o上，∠bac=50°，则∠adc=（40°）。

8.如上图3，若⊙o的半径为13cm，点p是弦ab上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦ab的长为___________24cm9.如上图4所示，半圆o的直径为ab=10cm，弦AC=6cm，ad被一分为二∠ 所以ad的长度是（a）CMAbCd410△ ABC是三角形的内接三角形⊙ O.如果∠ AOC=160°，即∠ ABC是（d）a.80°b.160°c.100°d.80°或100°11。

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2021中考数学 专题汇编：圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知直径MN ⊥弦AB ，垂足为C ，有下列结论：①AC ＝BC ；②AN ︵＝BN ︵；③AM ︵＝BM ︵；④AM ＝BM .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42. 如图，☉O的直径AB 垂直于弦CD.垂足是点E ，∠CAO=22.5°，OC=6，则CD 的长为 ( )A .6B .3C .6D .123. 如图，AB 是⊙O的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上．若∠AED ＝20°，则∠BCD的度数为( )A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°4. 2019·葫芦岛如图，在⊙O 中，∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，则∠ABO 的度数为( )A ．70°B ．55°C ．45°D ．35°5. 2019·赤峰如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为()A．30°B．40°C．50°D．60°6. 如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为()A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°7. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为2 3，则a的值是()A．2 B．2＋ 2C．2 3 D．2＋ 38. 如图，⊙P与x轴交于点A(—5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为()A.13＋ 3 B ．2 2＋ 3C ．4 2D ．2 2＋29. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．7 cmD ．8 cm10. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA ＝1 m ，水面宽AB ＝1.2m ，某天下雨后，排水管水面上升了0.2 m ，则此时排水管水面宽为( )A ．1.4 mB ．1.6 mC ．1.8 mD ．2 m二、填空题（本大题共8道小题）11. 2019·随州如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵上．若∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为________．12. 如图，AB 为⊙O的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O的半径为________．13. 已知：如图，A ，B是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，则四边形OACB 是________．(填特殊平行四边形的名称)14. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，C 为弧BD 的中点．若∠DAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.15. 如图所示，OB ，OC是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.16. 如图，已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．17. 如图，在☉O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交☉O 于点D ，则CD 的最大值为 .18. 已知⊙O的半径为2，弦BC ＝2 3，A 是⊙O 上一点，且AB ︵＝AC ︵，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为________．三、解答题（本大题共4道小题）19.如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 相交于点D ，E ，BD ＝C D ，过点D 作⊙O 的切线交边AC 于点F. (1)求证：DF ⊥AC ；(2)若⊙O 的半径为5，∠CDF ＝30°，求BD ︵的长．(结果保留π)20. 如图，在⊙O 中，AB ＝DE ，BC ＝EF .求证：AC ＝DF .21. 如图为一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB ＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米． (1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．22.如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠F AB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝43且CFCP＝34时，求劣弧BD︵的长度．2021中考数学专题汇编：圆的有关性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D2. 【答案】A[解析]∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵☉O的直径AB垂直于弦CD，∴∠CEO=90°，CE=DE.∵∠COE=45°，∴CE=OE=OC=3，∴CD=2CE=6，故选A.3. 【答案】B[解析] 连接AC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠AED＝20°，∴∠ACD＝20°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝110°.故选B.4. 【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】D[解析] ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝22.5°，∴∠AOB＝180°－22.5°－22.5°＝135°，∴∠C＝180°－12×135°＝112.5°.7. 【答案】B[解析] 如图，连接PB，过点P作PC⊥AB于点C，过点P作横轴的垂线，垂足为E，交AB于点D，则PB＝2，BC＝ 3.在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝1.∵直线y＝x平分第一象限的夹角，∴△PCD和△DEO都是等腰直角三角形，∴PD＝2，DE＝OE＝2，∴a＝PE＝2＋ 2.故选B.8. 【答案】B[解析] 如图，连接PA，PB，PC，过点P作PD⊥AB于点D，PE ⊥OC于点E.∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝30°.∵A(－5，0)，B(1，0)，∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝3，PA＝PB＝PC＝2 3.∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝3，PE＝OD＝3－1＝2，∴CE＝PC2－PE2＝12－4＝2 2，∴OC＝CE＋OE＝2 2＋3，∴点C的纵坐标为2 2＋ 3.故选B.9. 【答案】A[解析] 作出该球轴截面的示意图如图所示．依题意，得BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm.设OE＝x cm，则OA＝(2＋x)cm.∵OA2＝AE2＋OE2，∴(2＋x)2＝42＋x2，解得x＝3，故该球的半径为5 cm.10. 【答案】B[解析] 如图，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OC.∵AB＝1.2 m，OE⊥AB，OA＝1 m，∴AE＝0.6 m，∴OE＝0.8 m.∵排水管水面上升了0.2 m，∴OF＝0.8－0.2＝0.6(m)．由题意可知CD∥AB.∵OE⊥AB，∴OE⊥CD，∴CF＝OC2－OF2＝0.8 m，CD＝2CF，∴CD ＝1.6 m ．故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】40°12. 【答案】5[解析] 设圆的半径为x ，则OE ＝x －1.根据垂径定理可知，CE ＝3，由勾股定理可得32＋(x －1)2＝x2，解得x ＝5. 故答案为5.13. 【答案】菱形[解析] 连接OC.∵C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠COB ＝60°. 又∵OA ＝OC ＝OB ，∴△OAC 和△OCB 都是等边三角形， ∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ， ∴四边形OACB 是菱形．14. 【答案】70[解析] 如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵C为弧BD 的中点，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝20°， ∴∠ABC ＝70°.15. 【答案】50[解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.16. 【答案】8[解析] 由题意可得A ，P ，B ，C 在同一个圆上，所以当BP 为圆的直径时，BP 最大，此时∠P AB ＝90°.过点C 作CD ⊥AB 于点D ，可求得AB ＝4 3，进而可求得BP 的最大值为8.17. 【答案】[解析]连接OD ，因为CD ⊥OC ，所以CD=，根据题意可知圆半径一定，故当OC 最小时CD 最大.当OC ⊥AB 时OC 最小，CD 最大值=AB=.18. 【答案】3或1 [解析] 如图所示：∵⊙O 的半径为2，弦BC ＝2 3，A 是⊙O 上一点，且AB ︵＝AC ︵， ∴AO ⊥BC ，垂足为D ， 则BD ＝12BC ＝ 3. 在Rt △OBD 中， ∵BD2＋OD2＝OB2， 即(3)2＋OD2＝22， 解得OD ＝1.∴当点A 在如图①所示的位置时，AD ＝OA －OD ＝2－1＝1； 当点A 在如图②所示的位置时，AD ＝OA ＋OD ＝2＋1＝3.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】(1)证明：如解图，连接OD ，(1分) ∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点，解图∴OD ⊥DF ，∴∠ODF ＝90°，(2分)∵BD ＝CD ，OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线，(3分)∴OD ∥AC ，∴∠CFD ＝∠ODF ＝90°，∴DF ⊥AC.(4分)(2)解：∵∠CDF ＝30°，由(1)得∠ODF ＝90°，∴∠ODB ＝180°－∠CDF －∠ODF ＝60°，∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，(7分)∴∠BOD ＝60°，∴lBD ︵＝n πR 180＝60π×5180＝53π.(8分)20. 【答案】证明：∵AB ＝DE ，BC ＝EF ，∴AB ︵＝DE ︵，BC ︵＝EF ︵，∴AB ︵＋BC ︵＝DE ︵＋EF ︵，∴AC ︵＝DF ︵，∴AC ＝DF .21. 【答案】解：(1)如图①，设点E 是桥拱所在圆的圆心，连接AE ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交AB ︵于点D.根据垂径定理知F 是AB 的中点，D 是AB ︵的中点，DF 的长是桥拱到水面的最大高度，∴AF ＝FB ＝12AB ＝40米，EF ＝DE －DF ＝AE －DF.由勾股定理，知AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE －DF)2.设桥拱的半径为r 米，则r2＝402＋(r －20)2，解得r ＝50.答：桥拱的半径为50米．(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．理由如下：如图②，由题意，知DE ⊥MN ，PM ＝12MN ＝30米，EF ＝50－20＝30(米)．在Rt △PEM 中，PE ＝EM2－PM2＝40米， ∴PF ＝PE －EF ＝40－30＝10(米)．∵10米＞9米，∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．22. 【答案】(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径， ∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ，∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠CAF ＝∠OAC ，∴AC 平分∠F AB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠DCP ＝90°，∴∠ACB ＝∠DCP ＝90°，又∵∠BAC ＝∠D ，∴△ACB ∽△DCP ，∴∠EBC ＝∠P ，∵CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝90°，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC ＝90°，∴∠CBP ＝90°，∴∠BEC ＝∠CBP ，∴△CBE ∽△CPB ，∴BC PC ＝CE CB ，∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠F AB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ， ∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34，∴CE CP ＝34，设CE ＝3k ，则CP ＝4k ，∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2，∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠DOB ＝120°， ∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.。

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