微分几何课后答案

向平行； 当λ
≠
0 时， 有 e × e ' = 0 ，而 （ e × e ' ) 2 = e 2 e ' 2 -( e ·e ' ) 2 ＝ e ' 2 ， （因为 e
r
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
r r r r r r 具有固定长， e · e ' = 0） ，所以 e ' = 0 ，即 e 为常向量。所以，r (t ) 具有固定方向。
。
⑵
r r r r ' = 3a{1 − t 2 ,2t ,1 + t 2 } ， r ' ' = 6a{−t ,1, t}, r ' ' ' = 6a{−1,0,1} ，
，k =
r r r ' × r ' ' = 18a 2 {t 2 − 1,−2t , t 2 + 1}
r r 18a 2 2 (t 2 + 1) | r '×r ' ' | 1 = = r 3 2 2 2 3 | r '| 3a(t + 1) 2 27 a 2 2 (t + 1)
⑶验证伏雷内公式。 分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本 向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。 r 解 ⑴ r ' = {−3 cos 2 t sin t ,3 sin 2 t cos t ,−2 sin 2t} = sin t cos t{−3 cos t ,3 sin t ,−4} ，
r
r
r r r '×r ' ' | r '×r ' ' | r 新曲线的方程为 r ={ cos α cost + sin α sint ，cos α sint- sin α cost ，tsin α + cos α }
γ = r r = {sin α sint ,- sin α cost , cos α }
r r r 知 r (t ) 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若 r × r '
≠
r 0 ，则存在数量函数
λ (t ) 、 µ (t ) ，使 r ' ' = λ r + µ r '
r
r
r
①
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微分几何主要习题解答
r r r r 令 n = r × r ' ，则 n
≠
r r r r r r 0 ，且 r (t ) ⊥ n (t ) 。对 n = r × r ' 求微商并将①式代入得
r r r r r 证 对于向量函数 r (t ) ，设 e (t ) 为其单位向量，则 r (t ) = λ (t ) e (t ) ，若 r (t ) 具有固 r r r r r r r r 定方向，则 e (t ) 为常向量，那么 r ' (t ) = λ ' (t ) e ，所以 r × r ' = λ λ ' （ e × e ）= 0 。
z − bt = 0 ，即(b sin t )x-(b cos t )y+az-abt=0 b 0
.
r 2. 求曲线 r = { t sin t ,t cos t ,t e t } 在原点的密切平面、法平面、从切面、
切线、主法线、副法线。
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微分几何主要习题解答
解 原点对应 t=0 , r ' (0)={ sin t +t cos t , cos t - t sin t , e t +t e t }t =0 ={0,1,1}，
r r r r r n' =r × r ' ' = µ（ r × r ' ） =µ
r r r r r r 于是 n × n ' = 0 ， 由上题知 n 有固定方向， 而 r (t ) n，
r r ⊥ n ，即 r ( t ) 平行于固定平面。
§3 曲线的概念
r 3. 证明圆柱螺线 r ={
a
cos θ ,a sin θ , bθ } ( − ∞ p θ p +∞ )的切线和 z 轴作固
r r 长，所以 r · r ' = 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平
面通过这点的向径，也就通过其始点球心。 若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系， ⇐ r r r 则 r · r ' = 0， r (t ) 具有固定长，对应的曲线是球面曲线。 方法二： r r r r = r (t ) 是球面曲线 ⇔ 存在定点 r0 （是球面中心的径矢）和常数 R（是球面的
r r r r r r r r 半径）使 (r − r0 )2 = R 2 ⇔ 2(r − r0 ) ⋅ r ′ = 0 ，即 (r − r0 ) ⋅ r ′ = 0
（﹡）
r r r r r 而过曲线 r = r (t ) 上任一点的法平面方程为 ( ρ − r ) ⋅ r ′ = 0 。可知法平面过球面
r r r r | r '×r ' ' | 2a 2 cosh t 1 = r '×r ' ' = a{− sinh t , cosh t ,−1} ，所以 k = r 3 = 3 | r '| 2a cosh 2 t ( 2a cosh t )
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τ=
r r r (r ' , r ' ' , r ' ' ' ) a2 1 = = r r 2 4 2 (r '×r ' ' ) 2a cosh t 2a cosh 2 t
r
r
r
r
r r 主法线的方向向量，而 r ' ' ⋅ k = 0 所以主法线与 z 轴垂直；主法线方程是
x − a cos t y − a sin t z − bt = = cos t sin t 0 与 z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和 z 轴垂直相交。
4.在曲线 x = cos α cost ,y = cos α sint , z = tsin α 的副法线的正向取单 位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。 解 r ' = {-cos α sint, cos α cost, sin α } , r ' ' ={ -cos α cost,- cos α sint , 0 }
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x − cos a cos t sin(a − t ) − cos(a − t )
y − cos a sin t cos(a − t ) sin(a − t )
z − t sin a sin a = 0 0
即 sin α sin(t- α ) x –sin α cos(t- α ) y + z – tsin α – cos α = 0 . 5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一： r ⇒ 设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径 r (t ) 具有固定
r
对 于 新 曲 线
r r'
={-cos
α sint+ sin α cost ， cos α cost+ sin α sint ，
sin α }={sin( α -t), cos( α -t), sin α } , 其密切平面的方程是
r r ' ' ={ -cos( α -t), sin( α -t),0} ,
中心 ⇔ （﹡）成立。 所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
7．求以下曲面的曲率和挠率 r ⑴ r = {a cosh t , a sinh t , at} ,
r ⑵ r = {a (3t − t 3 ),3at 2 , a (3t + t 3 )}(a f 0) 。
r r r 解 ⑴ r ' = {a sinh t , a cosh t , a} ，r ' ' = {a cosh t , a sinh t ,0} ，r ' ' ' = a{sinh t , cosh t ,0} ，
r r r r r r r 反之，若 r × r ' = 0 ，对 r (t ) = λ (t ) e (t ) 求微商得 r ' = λ ' e + λ
r r e ' ，于是 r ×
r r r r r r r r r r ' = λ 2 （ e × e ' ）= 0 ，则有 λ = 0 或 e × e ' = 0 。当 λ (t ) = 0 时，r (t ) = 0 可与任意方
r r r (r ' , r ' ' , r ' ' ' ) 18 × 6a 3 × 2 1 。 τ= r r 2 = 2 4 = 2 2 2 (r '×r ' ' ) 18 a × 2(t + 1) 3a (t + 1) 2 r r r r 8．已知曲线 r = {cos 3 t , sin 3 t , cos 2t} ，⑴求基本向量 α , β , γ ；⑵曲率和挠率；
r r r r r r r r r 量，且 r (t ) · n = 0 。两次求微商得 r ' · n = 0 ， r ' ' · n = 0 ，即向量 r ， r ' ， r ' ' r r r r 垂直于同一非零向量 n ，因而共面，即（ r r ' r ' ' ）=0 。 r r r r r r r r r r r r 反之, 若（ r r ' r ' ' ）=0，则有 r × r ' = 0 或 r × r ' ≠ 0 。若 r × r ' = 0 ，由上题
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第一章 曲线论
§2 向量函数
r r r r 5. 向量函数 r (t ) 具有固定方向的充要条件是 r (t ) × r ' (t ) = 0 。
r r r r 分析：一个向量函数 r (t ) 一般可以写成 r (t ) = λ (t ) e (t ) 的形式，其中 e (t ) 为单位向 r r 量函数， λ (t ) 为数量函数，那么 r (t ) 具有固定方向的充要条件是 e (t ) 具有固定方向， r r 即 e (t ) 为常向量， （因为 e (t ) 的长度固定） 。
解 r'= {
r
-a sin t ,a cos t ,b}，s =
s a +b
2 2
∫ | r ' |dt =
0
t
r
a 2 + b 2 t ，所以 t =
bs a + b2
2
s a2 + b2
，
r 代入原方程得 r ={a cos
, a sin
s a +b
2 2
,
}
§4
空间曲线
z = b t 在任意点的密切平面的方程。
}
1．求圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ，
解 r ' ={
r
-a sin t ,a cos t ,b}, r ' ' ={-a cos t ,- a sin t ,0
y − a sin t a cos t − a sin t
r
所以曲线在任意点的密切平面的方程为
x − a cos t − a sin t − a cos t
从切面方程是 2x-y+z=0 ,副法线方程式
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x y z = = 。 1 1 −1
3．证明圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ， z 证 r ' ={
= b t 的主法线和 z 轴垂直相交。
} ，由 r ' ⊥ r ' ' 知 r ' ' 为
r
-a sin t ,a cos t ,b}, r ' ' ={-a cos t ,- a sin t ,0
r r r r 6．向量函数 r (t ) 平行于固定平面的充要条件是（ r r ' r ' ' ）=0 。 r r 分析：向量函数 r (t ) 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量 n (t ) ，使 r r r r r r r (t ) · n = 0 ，所以我们要寻求这个向量 n 及 n 与 r ' ， r ' ' 的关系。 r r r 证 若 r (t ) 平行于一固定平面π，设 n 是平面π的一个单位法向量，则 n 为常向
r
r r ' ' (0) = {2 cos t + t cos t , cos t - t sin t ,2 e t +t e t }t =0
所以切线方程是
={2,0,2} ，
x y z ，法面方程是 y + z = 0 ； = = 0 1 1
x
y
z
密切平面方程是 0 1 1 =0 ，即 x+y-z=0 ， 2 0 2 x + y − z = 0 主法线的方程是 y+ z=0 即 y z x ； = = 2 −1 1
定角。 证明
r r ' = {-a sin θ ,a cos θ , b }, 设切线与 z 轴夹角为 ϕ ,则 cos ϕ
r r r r '⋅k b 。 = r r = 2 2 为常数，故 ϕ 为定角（其中 k 为 z 轴的单位向量） | r || e | a +b
r 10. 将圆柱螺线 r ={a cos t ，a sin t ，b t }化为自然参数表示。