《平行线等分线段定理》教学设计

B C N B C

F

《平行线等分线段定理》教学设计

执教 李裕达

【教学内容】人教版初中《几何》第二册§4.9平行线等分线段定理（课本P 176 ~ P 178） 【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；

2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。 【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用 【教学难点】平行线等分线段定理的证明 【教学方法】引导·探究·发现法

【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等 【教学设计】

一、实际问题，导入新课

1．问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？

2．折法：（教师演示，学生动手） ·先将矩形（ABCD ）纸对折， 得折痕MN （如图1）； ·再把B 点叠在折痕MN 上， 得到Rt △BEP （如图2）；

·最后沿EP 折叠，便可得到

（如图1） 等边△BEF （如图2）。 （如图2）

3．导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。

二、复习引导，发现定理

1．复习提问

（1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？ （2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？ 师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。 2．操作实验

请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：

（1）画一条与这组平行线垂直的直线l 1，则直线l 1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？ （2）任意画一条与这组平行线相交的直线l 2，量一量直线l 2被这组平行线截得的线段是否相等。 3．引导猜想

引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？ 猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。

4．验证猜想

教师用《几何画板》验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。

三、归纳探究，证明定理

1．归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？

已知：直线a // b // c ，AB = BC （如图1） 求证：A'B' = B'C'。

2．探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？ （2）四边形ACC'A' 是什么四边形？ （3）在梯形中常作什么样的辅助线？ 3．证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。 证法一：（略）参见课本P 176的证法。

证法二：过A'、B' 点作AC 的平行线，分别交直线b 、c

于D 、E （如图2）。（以下证明略）

〖注1〗 结论与直线A'C' 的位置无关；

〖注2〗 对于3条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。 4

．定理：

推理形式：∵a // b // c ，AB = BC ， ∴A'B' = B'C'。

四、图形变式，引出推论

1．隐线变式，得推论1

在图1中，隐藏直线a 、b 、c ，得梯形ACC'A'（如图3）。这时定理的条件、结论各是什么？ 条件：在梯形ACC'A'中，AB=BC ，

AA' // BB' // CC'。 结论：A'B' = B'C'。

推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。

（图3） （图4） （图5） （图6） 2．运动变式，得推论2

既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线A'C' 平行向左移动，得到变式图形4。这时定理在△ACC' 中的条件、结论各是什么？

条件：在△ACC' 中，BB' //CC'，AB=BC 。 结论：A'B' = B'C'。 推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。 3．变换图形，深化理解

c

c

平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。

c

c

c

如果将直线A'C' 继续向左平行移动（如图5、6），这时定理的条件、结论有什么变化？

五、运用新知，解决问题

1．应用定理，等分线段

（1）已知线段AB ，你能它三等分吗？依据是什么？ （图7） 已知：线段AB （如图7）。 求作：线段AB 的三等分点。

作法：（略。见图8） （师生同步完成作图过程） 〖注〗作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。

（2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？ （图8） 2．应用推论，分解图形

例1．已知：如图9，在□ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 的中点， CM 、AM 分别交BD 于E 、F 。 求证：BE = EF = FD 。

分析：（1）根据条件，你能得到哪些平行线？ （图9）

（2）在图9中，有哪些与推论有关的基本图形？ 证明：（略。过程由学生自己完成）

例2．已知：如图10，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， 过点A 、B 、C 、D 、O 分别作直线a 的垂线，垂足 分别为A'、B'、C'、D'、O'。

求证：A'D' = B'C'。

分析：（1）你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形？ （图10） （2）在直线a 上，有哪些线段是相等的？根据是什么？ 证明：（略。过程由学生自己完成）

思考：若去掉条件“AC 、BD 交于点O

”，结论是否成立？

3．你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？

六、课堂小结，提炼升华

1．理解一个定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。 2．掌握两个推论

推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。 推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。 3．了解三种思想

化归思想——定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决； 两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。

运动思想——两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。

辩证思想——定理是由特殊（三条平行线）推广到一般；

B B

C