塑性力学基础

2
L2 L
②
1 3 E1 , 2 E 2
③
1 3 E1 , σ 22=σ s2 E
③
求出：
1 3 2 s
2 2
( P s ) A
(3)塑性解：
P l 2 u 2 L ( s ) / E A
σ 1=σ
Pe a sa N1a e EA (1 a ) EA E b
(2)弹塑性解Pp P Pe :
P = Pe 后，P可继续增大，而N1=sA 不增加（a段进入塑性屈服，但 b 段
N1=s A
c
a
EA
P
b
N2
A
B
x

P
P Pp Pe
仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA
理想弹塑性模型
物理方程（本构关系）： 1 3 E1 , 联立①、②、③求解：
2 E 2
③
2
控制方程
2 2
( 1 3 )
L2 2L
P A
①
1 3
2
L2 L
②
1 3 E1 , 2 E 2
解出：
③
1 3 (1
小结：
理想弹塑性和强化弹塑性材料的一维屈服函数形式均可写成
f () = - k = 0为后继屈服函数。 k = s
理想弹塑性
k =H(p) 强化弹塑性
2.加载、卸载准则:
对于一维问题屈服条件已建立，由前面的讨论可知：对强化 材料，当 s时，加载和卸载的应力应变关系是不同的， 加载服从于弹塑性规律，卸载服从弹性关系，这是材料在塑 性阶段的一个重要特点

f () = - k = - s = 0，
s
E
在屈服阶段，发生塑性变形。 卸载后，再加载屈服条件不 变

o
p
线性强化弹塑性材料的屈服条件：
加载：
当 s时，材料为弹性变形； 当 =s时，开始发生塑性变形； f () = - k = - s = 0为初始屈服函数 当 s是强化阶段，发生弹塑性变形。
或： o
E
p
C

e
Et s k (1 Et E ) s Et p E
k s k s Et AD s Et ( p e ) s Et ( p ) E E E
s
Et Et E k s p s p 1 Et E E Et
BC段），但强化阶段 增幅较少
对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段应力较少）屈服条件是不 变的 当应力满足屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变形存在。卸载按
线性弹性。

’s
s
A B C

C A
s
B
o
o
p
O’
e

p
e
p
e

合金钢 -
软钢 -
而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进入强化阶段， 再加载即发生弹性变形和塑性变形，卸载按线弹性
2
L2 L
②
物理方程（本构关系）：
1 3 E1 , 2 s
比较 控制方程
①
③
2 22 ( 1 3 ) P A
2 22 ( 1 3 ) P A
②
①
1 3
L2 2L
2
L2 L
1 3
L2 2L
软钢 -
’s
s
A B C

C
A
s
B
o
o
p
O’
e

合金钢无明显屈服发生
p
e
p
e

合金钢 -
软钢 -
确定材料发生塑性变形的条件为:
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数）
当软钢应力达到A点后，软钢有明显屈服（塑性流动）阶段。
强化阶段 经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为强化阶段，
k s Et AD s Et ( AF FD ) s Et [ p (k s ) E ]

B
s
A
Et
F
D
k (1 Et E ) s (1 Et E ) Et p
Et Et E k s p s p 1 Et E E Et
2 2
)P A
由于σ 2σ 1，所以 2杆先达到屈服
2 (2 2) P A
PL l2 u (2 2) EA
1 3 (1 2 (2 2)
令： σ 2=σ
2 2 P A
)P A
√2L √2L L
PL l2 (2 2) EA
s
P Pe (1
s
E
变形协调条件：a+b=0 几何方程
o
ps

N a a 1 EA
（ =E）
N 2b b EA
理想弹塑性模型
代入变形协调方程为：
N 1a N 2 b 0 EA EA
得：
或
N 2 N1 a b
c
EA
将 N 2 N1 a b 代入平衡方程
N1 P(1 a b)
B A C

C
A
’s
s
s’’
B
s
o O’
o
p
e
p
e

1.2 常见的几种简化力学模型：
1. 理想弹塑性模型：

s
E
加载时： =E s
= s s

o
ps
在屈服阶段，发生塑性变形。 卸载后，再加载屈服条件不变

理想弹塑性模型
在实际问题中当弹性应 变 e p 塑性应变时，
N1 N 3
2 2
L
√2L
√2L
2 N 1 cos N 2 P
或：
2
( 1 3 )
1
P A
①

变形协调条件：
l1 l2 cos
s
2 2
l1 l2
2 2
2L
L2 LБайду номын сангаас
2L
②
o
E
1 3
L2 2L
2
ps

几何方程
EA
P
b
N2
A
B
x
P (1 a b) Pe b
EA Pa ( P Pe )b EA(1 a b)
P P Pp Pe
0
e
(3)塑性解：
N1=sA , N2=sA N1=sA
a

c
EA
P
b
N2=sA
x
则最大荷载 Pp=2sA——极限荷载
这时杆件变形显著增加，丧失承载能力。
需要有一个判别材料是加载还是卸载的准则
强化材料：f () = - k = 0
d 0 加载过程（从一个屈服点到达后继的另一屈服点 d =Etd= Et(de +dp)）
d 0 卸载过程 d =Ed d = 0 中性变载
s
A
B
Et
理想弹塑性材料：
E
d = 0 加载过程 d = 0 d 0 卸载过程 d =Ed
塑性力学基础知识
第一节 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.1单向拉压实验：
不同材料在单向拉压实验中，有不同的应力－应变曲线。

C A
当应力－应变曲线在OA范围 内变化，材料为弹性变化。 当应力达到 s时（软钢有明 显屈服发生AB段）
s
B
将发生塑性变形
o
p
e
p
e

当软钢应力达到A点后，软钢有明显 屈服（塑性流动）阶段。

B
s
A
Et
F
D
E
o
p
C

e
卸载： 如在强化阶段的B点卸载，按线弹性卸载至C点，有塑性应变保留
产生新的塑性变形）。
（p= -e= -E）。如再次加载，则由C点沿CB按线弹性变化（不
当应力达到 B点时，B点应力为新的屈服极限，称为后继屈服极限。 f () = - k = - B = 0为后继屈服函数 k =H(p)——k与塑性变形历史有关。
o


s
E
A
B
o

例：1、拉压杆的弹塑性问题 ：
图示为两端固定的等截面杆(超静定 杆)，设材料为理想弹塑性材料，在 x=a处（b a）作用一逐渐增大的力P
c
N1
a

EA
P
b
N2
x
问题1 求最大荷载和C截面位移的发展情况 解： 平衡条件 : N1+N2=P
（1）弹性解：
当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为
力P 作用点的伸长取决于b段杆的变形
N 2 b ( P s A)b b EA EA
0
e

N 2 b ( P s A)b b EA EA
Pe s A /(1 a b)
s A (1 a b) Pe
N1=s A
c
a
其中：
E
o
p
s C
e

Et E 1

Et
线性强化弹塑性模型
s+Et
在实际问题中当弹性应 变 e p 塑性应变时，
线性强化 刚塑性模型
s

可忽略弹性变形。
o
幂硬化模型
幂硬化模型假设应力与应变具有 幂函数关系


通过调整指数n来拟合实际的应力应变曲线
B
小结： （1）在弹性阶段（ s）：= e 应力应变关系一一对应力。 （2）当应力达到初始屈服条件（ =s时），材料进入弹塑性阶段， = e+ p，应力－应变关系不再是一一对应关系，而要考虑加载 变形历史。 （3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料，屈服条件 采用初始 屈服条件。对于无明显屈服流动且强化阶段较高的材料，将有后继屈服 函数产生。 （4）有些强化材料具有包辛格效应。
N1
P
N2
A
a

b
B
x
N 2 ( P a b) (1 a b)
由于b a，所以 N1 N2 ，AC段先达到屈服 最大弹性荷载： 出现塑性变形时的载荷 取 N1 s A
s
E
o
Pe N1 /(1 a b) s A /(1 a b)
ps
理想弹塑性模型
力P 作用点的伸长为 ：
s
再令：
P Ps (1 2) s A l2 us 2 L s / E
当
P Ps
时三根杆全部进入塑性流动阶段
4）从
P Ps 卸载，求载荷完全
√2L √2L L
卸除后杆中的残余应力和残余变形
此时： l2 ue s
Pp P Pe :
N1 N 3 2 N 1 cos N 2 P
2 2
2 2 L E
) s A
二、弹塑性解：
Pp为在1、3杆也达到屈服时的载荷 平衡条件 :
2
( 1 3 )
P A
①
几何方程
1 3
L2 2L
n
0 n 1
1.3金属材料在静水压力实验：
（Bridgmen）对大量金属进行水压力实验及拉压和
静水压力联合实验，得到下列结果：
1. 在 静 水 压 力 ( 高 压 ) p 作 用 下 ， 金 属 体 积 应 变 e=V/V=p/k成正比，当p达到或超过金属材料的s时，e 与p仍成正比；并且除去压力后，体积变化可以恢复， 金属不发生塑性变形。 2. 金属受静水压力和拉压联合作用与金属单独受拉压作 用比较，发现静水压力对初始屈服应力 s没有影响。
对于于强化特性明显的材料，由O’点继续加载，在O’ B 段又是线性弹性变化，当 达到B点再次发生塑性变形，
’s s
B A C A

B C
o
O’

e
’s
s
o
O’
p
s’’
包辛格效应
当卸载后，反向加载时，有些金属材料反映出反向加载的屈服极限 ’’s s ——称为包辛格效应（Bauschinger. J. 德国人）。
理想刚塑性模型
s
=s
可忽略弹性变形。
o

2. 线性强化弹塑性模型：

A
加载时： =E
Et
B
s
s
= E s+ Et ( - s ) s
Et s Et ( s ) s E ( s ) E E s (1 t ) Et s (1 ) Et E
结论：静水压力与塑性变形无关。
第二节 一维问题弹塑性分析
一维问题包括：杆系的拉压（桁架）问题、圆杆扭转问题、梁的纯弯曲问题。 这些问题每一点的应力状态（在弹性和弹塑性阶段）主方向始终不变，且知道 它们的方向，所以了解不同材料在单向杆件拉压的屈服条件就可以应用到上述 其它问题。 1.屈服条件： 理想弹塑性材料的屈服条件为：
P P Pp Pe
s
E
o
ps


理想弹塑性模型 上述讨论为载荷从零增加到极限载荷的全过程。若只是求极限载荷则 可令： N1=sA N2=sA Pp=2sA 反而简单
0
e
• 例：设三杆的材料相同，横截 面面积均为A，求使结构结出现 塑性变形的载荷和极限载荷。 解： （1）弹性解： 平衡条件 :