第六章GARCH模型3(中山大学)

var[ y] varx [ E ( y | x)] Ex [var( y | x)]
2 t
在这里我们 还要考察残 差序列的平 稳性问题！
var(ut ) Eut1 (var(ut | ut 1 ) Eut1 ( | ut 1 ) Eut1 ( 0 1ut21 | ut 1 ) 0 1Eut1 (ut21 | ut 1 ) 0 1 var(ut 1 )
13
单指数模型的伪回归：中国银行
14
2.1 条件矩
条件均值
– 对于时间序列x的每个值都存在一个时间序列y的 条件分布
yf y|x ( y | x)dy f ( x, y) y E[Y | X ] , f ( y | x) yf y|x ( y | x) f x ( x) y
t t t 1 2 t 1 t 2 t t 1 t t 2 t 1 t t 2 t 2 t 2 2 t 2 t
yt b0 b1 xt ut , ut
iidN (0, 2 ), b0 0
2 t
if ut
N (0, t2 ), t2 2
ˆ ) var( var(b 1
2 1 t 1
ht 0 u
u ,..., u
2 2 t 2
2 q t q
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2.3 ARCH（1）模型的参数约束
E ( y ) Ex ( E ( y | x) E (ut ) Eut 1 [ E (ut | ut 1 )] 又 ut vt t，vt N (0,1) E (ut ) Eut 1 [ E (vt t )] Eut 1 [ t E (vt )] 0
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随机过程的平稳性
定义：平稳随机过程为其联合分布和条件分 布均不随者时间而变化的过程。则若yt是平 稳的，则对于任意的t，k和M，都有其联合分 f ( yt ,..., yt k ) f ( yt m ,..., yt k m ), 并且 布满足
f ( yt ) f ( yt m ), f ( yt | yt m ) f ( yt m | yt ) E ( yt ) E ( yt m ), E ( yt E ( yt )) 2 E ( yt m E ( yt m )) 2
注意：ut是一个白噪声，其无条件方差是一个常数。 2 但是ut的条件方差随时间而变化，假设 ut 服从 AR(1)过程（模型的名称来源）
u 0 u wt
2 t 2 1 t 1
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u 0 u
2 t
2 1 t 1
wt
E ( wt ) 0 2 , t E ( wt w ) 0, t
6 4 D(JPY) (1995-2000) 2 0 -2
高峰厚尾分布曲线
正态分布曲线
-4 -6 -8 200 400 600 800 1000 1200 1400
3
yt b0 b1 xt ut ut iidN (0, )
2
ˆ b ˆ x u xt x, yt b 0 1 t t 2 ˆ ˆ ˆ N (b b E ( x), ) y
2 2
RSS ESS
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无条件方差
ESS E[(Y E (Y | X ))2 ] E X (var[Y | X ]) RSS E[( E (Y | X ) E (Y )) ]
2
E[(E (Y | X ) (EX E (Y | X ))) ]
2
varX [E [Y | X ]]
– 若将E(y|x)视为关于x的随机变量，则有
E (Y ) [ yf y|x ( y | x)dy] f x ( x)dx
x y| x
EX [ EY | X (Y | X )]
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2.1 条件矩
条件方差
(Y E (Y | X ))2 f (Y | X )dY Y var[Y | X ] 2 ( Y E ( Y | X )) f ( Y | X ) Y
t 0 1
var( yt | xt ) var(ut )
2
4
1、金融时间序列的特点
实证结果表明：金融资产的回报率并不完 全满足正态分布
– 对深市2000.1.4~2006.5.9日回报率样本偏度是 0.75，峰度是8.91。
由于大多数的金融资产具有明显的重尾性， 可以采用两种方法进行改进
若线性回归模型的误差实际上是异方差，却被 假定为同方差，这就意味着标准误差的估计值 是错误的。 此时，参数的估计量的方差是有偏估计（或者 不收敛，是时变的），统计检验和臵性区间就 9 不正确！
x y x ( b x u ) x u ˆ b b x x x xu x ˆ var(b ) var( ) var(u ) x ( x ) x
– 条件分布：ARCH和GARCH – 寻找其他分布形式来描述，主要有t分布， GED分布和g&h分布
5
350 300 250 200 150 100 50 0 -0.05 -0.00 0.05 Series: R_SZZS Sample 1 1520 Observations 1519 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability 5.60e-05 0.000143 0.094014 -0.065430 0.013451 0.751425 8.916269 2358.298 0.000000
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回归与无条件方差
ESS误差平方和，RSS回归平方和，TSS总偏差平方和
ESS RSS R 1 TSS TSS
2
TSS E (Y E (Y )) 2 E[Y E (Y | X ) E (Y | X ) E (Y )]2 E[(Y E (Y | X )) 2 ] E[( E (Y | X ) E (Y )) 2 ] 2 E[(Y E (Y | X ))( E (Y | X ) E (Y ))] E[(Y E (Y | X )) ] E[( E (Y | X ) E (Y )) ]
2 t
t2 0 1ut21 2ut22 ,..., qut2q
或者
ut vt t , vt N (0,1)
0 u u ,..., u
2 t 2 1 t 1 2 2 t 2
2 q t q
或者
ut
N (0, ht )
Theoretical Quantile-Quantile 8 6
Normal Quantile
4 2 0 -2 -4 -6 -.08
-.04
.00
.04
.08
.12
R_SZZS
.08 .06 .04 .02 .00 -.02 -.04 -.06 -.08 96M01
96M07
97M01
Biblioteka Baidu97M07
第六章 条件异方差模型
本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的——建立变量 的条件方差或变量波动性模型。 我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因 : 首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测 置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模
型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当
控制的，我们就能得到更有效的估计。
1
1、金融时间序列的特点
尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融回报序 列普遍表现出厚尾（fat tails）和在均值处 出现过度的峰度（excess peakedness）， 偏离正态分布 波动丛集性（volatility clustering）和波 动集中性（ volatility pooling），波动是 自相关的 正负冲击的非对称性：好消息和坏消息对投 资者的影响 以上的这些特点，传统计量经济学的线性回 归模型是无法解决的。
由此得到方差分解公式：
var[Y ] EX [var(Y | X )] varX [E (Y | X )]
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现实中，金融时间序列存在着波动聚集性， 而波动的来源是残差，假设较大的波动出现 往往随后会出现较大的波动，即波动是相关 的，也就是波动自回归的。
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2.2 ARCH模型的导出
yt b0 b1 x1,t b2 x2,t ,... ut E (ut ) 0 2 , t E (ut u ) 0, t
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随机过程的平稳性
平稳性：若随机过程的随机特征（如均值， 方差）不随时间发生变化，则称该过程是 平稳。
– 区别：条件方差是时变的，故其为一个分布， 但是该分布却是平稳的，即平稳随机过程的随 机性质不随时间而变。
平稳性的优点：（1）可用系数方程将时间 序列的模型化；（2）方程的系数可以利用 序列的过去数据来估计得到
98M01
98M07
RETURN_MIDPRICE
8
ARCH，autoregressive conditionally heteroscedastic，自回归条件异方差模型
2
ARCH模型
– 条件：在时间序列中，给出不同的时点的样本（对 于不同时点的观测值），得到残差的方差是不同的， 故方差随时间给出的条件而变化，即异方差 – 自回归：残差平方服从AR(p)过程
单指数模型的伪回归：中国银行
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单指数模型的伪回归：中国银行
32 28 24 20 16 12 8 4 0 -0.05 0.00 0.05 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability -1.06e-19 -0.001192 0.084688 -0.073893 0.015912 1.104984 12.85942 557.2528 0.000000 Series: Residuals Sample 2 132 Observations 131

2 t
E(u | u ) 0 u
2 t 2 t 1
2 1 t 1
回忆：条件期望值等价于回归
E( yt | xt ) 0 1xt
Chou，Korner（1992）
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正态-ARCH（q）
yt b0 b1 x1,t b2 x2,t ,... ut , ut N (0, )
xt ut x
2 t
)
var( xt ut ) ( x )
2 2 t

x

2 2 t
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普通最小二乘估计（OSL）：回归直线要使 得残差平方和最小。 异方差存在时，普通最小二乘估计法给误差 方差大的观测值以较大的权重，给误差方差 小的观测值以较小的权重。 回归结果：使得残差平方和最小，故产生一 个后果，只要方差大的那部分数据得到很好 的拟合，这样普通最小二乘不再是有效的— —参数估计量的方差不再是最小的方差。 这样由OSL估计得到的参数估计量的方差是 “伪方差”，无法证明回归参数与真实值的 11 关系。
– 回归的结果可能是错误的
2
这种序列的特征是 （1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。 （2）按时间观察，表现出“波动集群” （volatility clustering）特征，即方差在一 定时段中比较小，而在另一时段中比较大。 （3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾” （leptokurtosis and fat-tail）特征， 即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。
理解：条件期望是关于随机变量X的值的函数， 对于X不同的取值，条件期望也是不同，即 E(y|x)为随机变量。
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回归与条件均值
所谓条件期望值函数，也就是因变量对自变量的回 归。在本例中，也就是y对x的回归 条件均值是x的函数，若X是一个分布，则条件均值 也是一个分布。
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2.1 条件矩
迭代期望定理