立体几何初步测试题及答案

《立体几何初步》测试题

、选择题（本大题共 10小题，每小题6分，共60 分）

1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（

）

A.

充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分不必要条件

D.

既不充分又不必要条件

2. 若a // b , b c A ，则a, c 的位置关系是（

）

相交直线

相交直线或异面直线 a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是

B. 等腰直角三角形

D •其他等腰三角形

4.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为&高为4的等腰三角形•则该几何体的体积为（ ）

A 48

B 64

C 96

D 192

上，则这个球的表面积是（ A. 25 B • 50

4、2 3

7.若I 、m n 是互不相同的空间直线，a 真命题的是（ ）

A.若 // ,l ,n ，则 I // n B C. 若 l ,l// ，贝U D

5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8个顶点都在同一球面

6.已知正方体外接球的体积是

32 3

那么正方体的棱长等于

（）

A.异面直线

B.

C.平行直线

D. 3 .圆锥的侧面展开图是直径为 （ ） A.等边三角形

C.顶角为30°的等腰三角形

• 125

•都不对

B 是不重合的平面，贝U 下列命题

中为 •若 ,l ，则l

8.如图，在正方体ABCD A i BiGD i 中，E, F, G, H 分别为

AA , AB , BB i , B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的

角等于（）

A. 45°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

9.已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线;

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面

其中正确的个数是（）

10.平面与平面平行的条件可以是（

A.内有无穷多条直线与平行；

B.且a 的任何直线都与平行

）

直线a ,直线b

、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11.直观图（如右图）中，四边形O' A B' C为

菱形且边长为2cm,则在xoy坐标中四边形ABCD

为______ ，面积为________ ^.

12.长方体ABC—A1B1GD中，AB=2 BC=3 AA=5，则一只小虫从A点沿长方体的

表面爬到C点的最短距离是_____________ .

13.已知直线b

14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为 ________

15. 如图，△ ABC是直角三角形，ACB=90 , PA 平面ABC此图

形中有—个直角三角形

16.将正方形ABC［沿对角线BD折成直二面角A- BD- C,有如下四个

结论：（1）ACL BD （2）^ACD是等边三

角形

（3）AB与平面BCD所成的角为60°;（4）AB与CD所成的角为

60 其中正确结论的序号为____

三、解答题（本大题共4小题，共60分）

17. （10分）如图，PA L平面ABC平面PAB1平面PBC 求证：AB丄BC

18. （10分）在长方体 ABCD AB 1C 1D 1中，已知DA DC 4, DD 1 3，求异面直线 A|B 与B ,C 所成角的

余弦值

。.

19. （ 12分）在四棱锥P-ABCD 中, △ PBC 为正三角形，AB 丄平面PBC AB// CD 1

AB=DC E 为PD 中点.

2

⑴求证：AE//平面PBC

（2）求证：AE !平面PDC.

AE PB 于 E , AF PC 于 F 求证：(1) BC 平面PAB ;

(2) AE 平面 PBC ;

(3) PC 平面 AEF .

21.

(14分)已知△ BCD 中，/ BCD 90°, BC=CD=1, A 吐平面 BCD

AE AF

/ ADB 60°, E 、F 分别是AC AD 上的动点，且 竺竺 (0

1).

AC AD

(I)求证：不论入为何值，总有平面

BEFL 平面ABC

20. （14分）如图，P 为 ABC 所在平面外一点，PA 平面ABC ,

ABC 90 ,

E

P

(H)当入为何值时，平面BEFL平面ACD

(0 1), 《立体几何初步》测试题参考答案

1-5 DDABB 6-10 DCBCD 11.矩形 8

12.

5・..2

13. 平行或在平面内;

14. 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径， 设棱长是a

15. 4 16. ( 1)( 2)( 4)

17. 证明：过 A 作AD 丄PB 于D,由平面PABL 平面PBC ，得AD 丄平面PBC 故

ADL BC,

又BC L PA 故BC L 平面PAB 所以BC L AB

18. 连接AD ， AD//B 1C, BAQ 为异面直线A .B 与B “C 所成的角.

连接 BD ，在△ A ,DB 中，A ,B A ,D 5, BD 4 2， 2 2 2 A 1B 2 A 1

D 2 BD 2

25 25 32 9

则 cos BAD 1

1 .

2 A 1B A 1D

2 5 5

25

1

19. (1)证明：取PC 的中点M,连接EM 则EM/ CDEM 二DC 所以有EM/ AB 且 EM=AB,

2 则四边形ABM 是平行四边形.所以AE// BM,因为AE 不在平面PBC 内,所以AE//平 面 PBC.

(2)因为AB 丄平面PBC AB// CD 所以CDL 平面PBC CD L BM.由(1)得,BM 丄PC, 所以BML 平面PDC 又AE// BM 所以AEX 平面PDC. 20.证明 :(1) T PA 平面

ABC ，• PA BC ，- •• ABC 90，

• AB BC ，

又PA AB A • BC 平面 PAB.

⑵ T BC 平面 PAB 且AE 平面 PAB ，二BC AE ，又：PB AE ，且

BC PB B ，二 AE 平面 PBC.

⑶ T AE 平面 PBC ，二 AE PC ，又 T AF PC ，且 AE AF A ，二 PC

平面AEF .

21.证明：(I)T AB 丄平面 BCD ••• AB 丄 CD, T CDL BC 且 ABA BC=B • CD 丄平面 ABC. 又 AE AF

AC AD

•••不论入为何值，恒有 EF// CD ••• EF 丄平面 ABC EF 平面BEF, •••不论入为何值恒有平面 BEF 丄平面 ABC.

a 2r 内切球，r 内切球

|"a

2r

外接球

，r 外接球 2 , r 内切球：r 外接球