线性变换的特征值与特征向量
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对于特征值-6，解齐次线性方程组 (6 I A) X 0 得到一个基础解系：
1
2 2
T
从而 f 的属于-6 的极大线性无关特征向量组是
3 1 22 23
于是 f 的属于-6 的全部特征向量
k3 , k K 这里 k 为数域 K 中任意非零数。
矩阵的相似与相似对角化 相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的 特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有 相同的迹，有相同的谱。 矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） n 阶矩阵 A 的属于特征值 0 的全部特征向 量再添上零向量，可以组成 R n 的一个子空间，
设 a1 , a2 , an 是 n 维线性空间V 的一组基向量， 线性变换 A 在这组 基下的矩阵表示是 A.若设 0 是 A 的一个特征值， 它的一个特征向量 在基 a1 , a2 , an 下的坐标是 ( x1 , x2 , xn )T ，即
=（ a1 , a2 ,
x1 x an ） 2 （1.8.2） x4
x1 x an ) 2 x4
因此，只要将 A 的全部特征值求出来，它 们就是线性变换 f 的全部特征值；只要将矩阵 A的属于 0 的全部特征向量求出来，分别以它 们为坐标的向量就是 f 的属于 0 的全部特征 向量。
例 1 设V 是数域 K 上的 3 维线性空间， f 是V 上的一个线性变换， f 在V 的一个基1 ,2 , 3 下 的矩阵是
n 次 代 数 方 程 0 En A 0 称 为 A 的 特 征 方
程，它的根称为 A 的特征根（或特征值） ，以 A 的特征根 0 代入方程
(0 E A) X 0
所得的非零解 X ， 称为 A 的对应于 0 的特征向 量。矩阵 A 的特征多项式在复数范围内有 n 个 根，因此一个 n 阶方阵有 n 个特征根（重根应 记及重数） 。矩阵 A 的所有特征值的全体称为
A的谱，并用 A 表示。
定理 相似矩阵有相同的特征多项式。 推论 1 相似矩阵有相同的谱。 推论 2 设 是矩阵 A 的特征值 所对应的特征 1 1 向量，则 P 是矩阵 B P AP 的特征值 所 对应的特征向量。
线性变换的特征值和特征向量
定义 设 f 是数域 F 上的线性空间V 的一个线 性变换，如果对于数域 F 中任一元素 0 ，V 中 都存在一个非零向量 ，使得
称之为矩阵 A 的属于特征值 0 的特征子空间，记为V ，0dim(VFra bibliotek )程组
称为 0 的几何重数。不难看出V 正是特征方
0
(0 I A) X 0
（3）设 1 , 2 ,
的解空间。
（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
, r 是 A 的 r 个互不同的特征值，
i
i 的几何重数为 qi ， i 1 , i 2 , , iq 是对应于 i 的 qi 个
线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量
11 ,12 , ,1q ；
1
21 , 22 , , 2q ；
2
r 1 , r 2 , , rq
r
仍然是线性无关的。 （4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代 数重数。 （5）一个特征向量不能属于不同的特征值。
得到一个基础解系：
2
1 0 ,
T
2
0 1
T
从而 f 的属于 3 的极大线性无关特征向量组是
1 21 2 , 2 21 3
于是 f 的属于 3 的全部特征向量是
k11 k22 , k1 , k2 K 这里 K1 , K 2 为数域 K 中不全为零的数对。
f 0
那么称 0 为 f 的一个特征值，而 称为 f 的属 于特征值 0 的一个特征向量。
现在设V 是数域 F 上的 n 维线性空间，V 中取定 一个基 1 ,2 , ,n ，设线性变换 f 在这组基下 的矩阵是 A ，向量 在这组基下的坐标是 X ， 0 F 。那么我们有 （1.8.1） f ( ) 0 AX 0 X 由此可得 定理： 0 是 f 的特征值 0 是 A 的特征值。 是 f 的属于 0 的特征向量 X 是 A 的 属于 0 的特征向量。
2 2 2 A 2 1 4 2 4 1 求 f 的全部特征值与特征向量。
解： A的特征多项式为
2 I A
2 2
2
2
2 4
1
4
1
( 3) ( 6) 所以 A的特征值是 3（二重）与-6。 对于特征值 3，解齐次线性方程组 (3 I A) X 0
把（1.8.2）代入式（1.8.1）得
x1 x an ) 2 = 0 (a1 , a2 , x4 x1 x an ) 2 x4
A(a1 , a2 ,
x1 x 此即 (a1 , a2 , an ) A 2 = 0 (a1 , a2 , x4 设 a1 , a2 , an 线性无关 x1 x1 x x A 2 = 0 2 x4 x4
1
2 2
T
从而 f 的属于-6 的极大线性无关特征向量组是
3 1 22 23
于是 f 的属于-6 的全部特征向量
k3 , k K 这里 k 为数域 K 中任意非零数。
矩阵的相似与相似对角化 相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的 特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有 相同的迹，有相同的谱。 矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） n 阶矩阵 A 的属于特征值 0 的全部特征向 量再添上零向量，可以组成 R n 的一个子空间，
设 a1 , a2 , an 是 n 维线性空间V 的一组基向量， 线性变换 A 在这组 基下的矩阵表示是 A.若设 0 是 A 的一个特征值， 它的一个特征向量 在基 a1 , a2 , an 下的坐标是 ( x1 , x2 , xn )T ，即
=（ a1 , a2 ,
x1 x an ） 2 （1.8.2） x4
x1 x an ) 2 x4
因此，只要将 A 的全部特征值求出来，它 们就是线性变换 f 的全部特征值；只要将矩阵 A的属于 0 的全部特征向量求出来，分别以它 们为坐标的向量就是 f 的属于 0 的全部特征 向量。
例 1 设V 是数域 K 上的 3 维线性空间， f 是V 上的一个线性变换， f 在V 的一个基1 ,2 , 3 下 的矩阵是
n 次 代 数 方 程 0 En A 0 称 为 A 的 特 征 方
程，它的根称为 A 的特征根（或特征值） ，以 A 的特征根 0 代入方程
(0 E A) X 0
所得的非零解 X ， 称为 A 的对应于 0 的特征向 量。矩阵 A 的特征多项式在复数范围内有 n 个 根，因此一个 n 阶方阵有 n 个特征根（重根应 记及重数） 。矩阵 A 的所有特征值的全体称为
A的谱，并用 A 表示。
定理 相似矩阵有相同的特征多项式。 推论 1 相似矩阵有相同的谱。 推论 2 设 是矩阵 A 的特征值 所对应的特征 1 1 向量，则 P 是矩阵 B P AP 的特征值 所 对应的特征向量。
线性变换的特征值和特征向量
定义 设 f 是数域 F 上的线性空间V 的一个线 性变换，如果对于数域 F 中任一元素 0 ，V 中 都存在一个非零向量 ，使得
称之为矩阵 A 的属于特征值 0 的特征子空间，记为V ，0dim(VFra bibliotek )程组
称为 0 的几何重数。不难看出V 正是特征方
0
(0 I A) X 0
（3）设 1 , 2 ,
的解空间。
（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
, r 是 A 的 r 个互不同的特征值，
i
i 的几何重数为 qi ， i 1 , i 2 , , iq 是对应于 i 的 qi 个
线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量
11 ,12 , ,1q ；
1
21 , 22 , , 2q ；
2
r 1 , r 2 , , rq
r
仍然是线性无关的。 （4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代 数重数。 （5）一个特征向量不能属于不同的特征值。
得到一个基础解系：
2
1 0 ,
T
2
0 1
T
从而 f 的属于 3 的极大线性无关特征向量组是
1 21 2 , 2 21 3
于是 f 的属于 3 的全部特征向量是
k11 k22 , k1 , k2 K 这里 K1 , K 2 为数域 K 中不全为零的数对。
f 0
那么称 0 为 f 的一个特征值，而 称为 f 的属 于特征值 0 的一个特征向量。
现在设V 是数域 F 上的 n 维线性空间，V 中取定 一个基 1 ,2 , ,n ，设线性变换 f 在这组基下 的矩阵是 A ，向量 在这组基下的坐标是 X ， 0 F 。那么我们有 （1.8.1） f ( ) 0 AX 0 X 由此可得 定理： 0 是 f 的特征值 0 是 A 的特征值。 是 f 的属于 0 的特征向量 X 是 A 的 属于 0 的特征向量。
2 2 2 A 2 1 4 2 4 1 求 f 的全部特征值与特征向量。
解： A的特征多项式为
2 I A
2 2
2
2
2 4
1
4
1
( 3) ( 6) 所以 A的特征值是 3（二重）与-6。 对于特征值 3，解齐次线性方程组 (3 I A) X 0
把（1.8.2）代入式（1.8.1）得
x1 x an ) 2 = 0 (a1 , a2 , x4 x1 x an ) 2 x4
A(a1 , a2 ,
x1 x 此即 (a1 , a2 , an ) A 2 = 0 (a1 , a2 , x4 设 a1 , a2 , an 线性无关 x1 x1 x x A 2 = 0 2 x4 x4