整数分解在密码学中的应用
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整数分解在密码设计中的应用
摘 要：数论中的欧拉定理是基于RSA公钥密码体制，它被广泛接受和实施，基于公钥密码系统的大整数因子分解。通过实例、定义介绍整数分解、RSA公钥系统体系，理解他们的定义、算法及其两者之间的关系，紧接着我们就要介绍整数分解在密码设计中的应用。通过对RSA加密算法的基本原理、加解密过程、安全性和实际应用的解读，让我们对RSA算法有了一定的了解。本文是通过研究和分析RSA算法的基本实现过程和它与实际生活的应用，这对我们了解RSA算法有了很重要的指导作用。
关键字：整数分解 ；RSA密码体制 ；密码设计
Replacement password of computer programming
Abstract： The euler theorem in number theory is based on the RSA public key cryptosystem, which is widely accepted and implemented, based on the large integer factorization of public key cryptosystems. Through the example, the definition of integer decomposition, RSA public key system system, understand their definition, algorithm and the relationship between them, then we will introduce the application of integer decomposition in password design. Through the basic principle of RSA encryption algorithm, encryption and decryption process, security and practical application, let us have a certain understanding of RSA algorithm. This paper is to study and analyze the basic implementation process of RSA algorithm and its application and real life, which has important guidance for us to understand RSA algorithm.
4.1RSA公钥系统简介
私钥密码的体制具有局限性：它的密钥量太大，应用范围太小了。这也就是为什么接下来会有公钥的产生。RSA算法在1978年由美国MIT的三名数学家R.Rivest，A.Shamir和L.Adleman所提出。这一发现便成为了密码学发展史上的一次非常重大革命。它的安全性是基于大数因子分解。而RSA正是他们这三个创始人姓氏开头的字母。正是因为整数分解的困难性这才保证了RSA加密的安全性。RSA的加密和解密算法就是公钥体制的基本原理。之所以RSA能抵抗已知的绝大多数密码的攻击原因就在这里。所以，它可以说是当今影响力最大的公钥加密算法。不过有时候它的安全性会大大的降低，那可能就是因为当RSA钥匙较短。RSA钥匙取值比较短的话，那攻击者便轻而易举的就将密码破解了。但是现在也没有更好的系统来代替它。所以考虑到安全问题，还是要设置长度够长的密钥。这是必须的。
（一）人工或简单机械编码时期公元前第五世纪（缓慢发展）：密码技术这门艺术技巧性不是一般的强。那时候它并不是一门科学，大多是人都是凭着自己的直觉来进行破密，没有任何的理论和依据的。
（二）电子码周期：（二）电子码周期：1949和1975之间，香农发表了"保密系统的通信理念”并且出版了"保密系统的通信理论”。这坚实的理论基础让密码学地位大大的提高。虽然这一项研究成绩不是特别理想。
Keywords: integer decomposition；RSA public key encryption characteristics；the design of cryptography；
1 引言
数论是一门应用性极强的应用数学学科。而现代密码学在推进数论的发展中的地位非常重要。随着现代公钥密码学的发展，数论中的许多难易解答的问题如整数分解问题在密码学中的应用是非常广泛的。RSA算法在1978年由美国MIT的三名数学家R.Rivest，A.Shamir和L.Adleman所提出。经过30多年的研究，我们还是无法证明或者反证破解RSA公钥系统的难易程度是否与分解密码体制中的整数模的难易程度相同。因此，我们认为破解RSA密码体制问题的难易程度是等价于整数分解的问题。这个就是密码学和整数分解两者之间的联系。
3.2实际应用
知道两个大素数，它们的乘积自然而然就可以求出。不过要是只知道他们的乘积，求这个乘积的因子，这个困难性就比比较大了。这是很多密码系统的核心原理，因为它就是利用这个原理加密的。所以只要我们能够快速的解决整数分解问题，那么我们就可以破解部门些密码系统，例如RSA公钥系统算法。
4 RSA公钥系统
（三）计算机密码时期:1976年至今，"密码学中的新方向”这一创新的思想让密码学研究更上一层楼，踏上了更高的台阶。
3 整数分解
3.1整数分解简介
我们很早就接触过整数分解，整数分解就是给一个正整数。将这个正整数分解为几个素数乘法。例如，给出15，这个数可以分解成3×5。而这个问题在现代数学、密码学和量子计算机等领域中有着非常重要的意义。地位也是非常之高的。这是一本为大学生和研究生而写的读物，但是因为它的低起点，所以它也适于作为中小的课外读物。整数分解的终点是有一定的高度的。历来想解决整数分解这一大难题的学者数不胜数。整数分解理论曲折而又深刻。整数分解涉及答案。这对于计算机研究者，密码学研究者来说是一个宝贵的资源和研究。
2 密码学的发展
密码学是一个即古老又新兴的学科。有本书上说."人类的密码使用、文字使用这两者存在的时间几乎是相同的。”打从有了文字的存在，我们有时候会试图隐藏特定的信息，以保护信息的安全性。我们最早为了保证通信不被外泄，一般都会通过图片和特殊符号来传达我们要传达的信息的密令。密码来自希腊词"krypto”和"理性”这个词，直译是"隐藏的”和"消息”。密码学有着神奇的发展历程 。是一个非常重要的角色。因此人类密码学的发展划分为三个阶段：
摘 要：数论中的欧拉定理是基于RSA公钥密码体制，它被广泛接受和实施，基于公钥密码系统的大整数因子分解。通过实例、定义介绍整数分解、RSA公钥系统体系，理解他们的定义、算法及其两者之间的关系，紧接着我们就要介绍整数分解在密码设计中的应用。通过对RSA加密算法的基本原理、加解密过程、安全性和实际应用的解读，让我们对RSA算法有了一定的了解。本文是通过研究和分析RSA算法的基本实现过程和它与实际生活的应用，这对我们了解RSA算法有了很重要的指导作用。
关键字：整数分解 ；RSA密码体制 ；密码设计
Replacement password of computer programming
Abstract： The euler theorem in number theory is based on the RSA public key cryptosystem, which is widely accepted and implemented, based on the large integer factorization of public key cryptosystems. Through the example, the definition of integer decomposition, RSA public key system system, understand their definition, algorithm and the relationship between them, then we will introduce the application of integer decomposition in password design. Through the basic principle of RSA encryption algorithm, encryption and decryption process, security and practical application, let us have a certain understanding of RSA algorithm. This paper is to study and analyze the basic implementation process of RSA algorithm and its application and real life, which has important guidance for us to understand RSA algorithm.
4.1RSA公钥系统简介
私钥密码的体制具有局限性：它的密钥量太大，应用范围太小了。这也就是为什么接下来会有公钥的产生。RSA算法在1978年由美国MIT的三名数学家R.Rivest，A.Shamir和L.Adleman所提出。这一发现便成为了密码学发展史上的一次非常重大革命。它的安全性是基于大数因子分解。而RSA正是他们这三个创始人姓氏开头的字母。正是因为整数分解的困难性这才保证了RSA加密的安全性。RSA的加密和解密算法就是公钥体制的基本原理。之所以RSA能抵抗已知的绝大多数密码的攻击原因就在这里。所以，它可以说是当今影响力最大的公钥加密算法。不过有时候它的安全性会大大的降低，那可能就是因为当RSA钥匙较短。RSA钥匙取值比较短的话，那攻击者便轻而易举的就将密码破解了。但是现在也没有更好的系统来代替它。所以考虑到安全问题，还是要设置长度够长的密钥。这是必须的。
（一）人工或简单机械编码时期公元前第五世纪（缓慢发展）：密码技术这门艺术技巧性不是一般的强。那时候它并不是一门科学，大多是人都是凭着自己的直觉来进行破密，没有任何的理论和依据的。
（二）电子码周期：（二）电子码周期：1949和1975之间，香农发表了"保密系统的通信理念”并且出版了"保密系统的通信理论”。这坚实的理论基础让密码学地位大大的提高。虽然这一项研究成绩不是特别理想。
Keywords: integer decomposition；RSA public key encryption characteristics；the design of cryptography；
1 引言
数论是一门应用性极强的应用数学学科。而现代密码学在推进数论的发展中的地位非常重要。随着现代公钥密码学的发展，数论中的许多难易解答的问题如整数分解问题在密码学中的应用是非常广泛的。RSA算法在1978年由美国MIT的三名数学家R.Rivest，A.Shamir和L.Adleman所提出。经过30多年的研究，我们还是无法证明或者反证破解RSA公钥系统的难易程度是否与分解密码体制中的整数模的难易程度相同。因此，我们认为破解RSA密码体制问题的难易程度是等价于整数分解的问题。这个就是密码学和整数分解两者之间的联系。
3.2实际应用
知道两个大素数，它们的乘积自然而然就可以求出。不过要是只知道他们的乘积，求这个乘积的因子，这个困难性就比比较大了。这是很多密码系统的核心原理，因为它就是利用这个原理加密的。所以只要我们能够快速的解决整数分解问题，那么我们就可以破解部门些密码系统，例如RSA公钥系统算法。
4 RSA公钥系统
（三）计算机密码时期:1976年至今，"密码学中的新方向”这一创新的思想让密码学研究更上一层楼，踏上了更高的台阶。
3 整数分解
3.1整数分解简介
我们很早就接触过整数分解，整数分解就是给一个正整数。将这个正整数分解为几个素数乘法。例如，给出15，这个数可以分解成3×5。而这个问题在现代数学、密码学和量子计算机等领域中有着非常重要的意义。地位也是非常之高的。这是一本为大学生和研究生而写的读物，但是因为它的低起点，所以它也适于作为中小的课外读物。整数分解的终点是有一定的高度的。历来想解决整数分解这一大难题的学者数不胜数。整数分解理论曲折而又深刻。整数分解涉及答案。这对于计算机研究者，密码学研究者来说是一个宝贵的资源和研究。
2 密码学的发展
密码学是一个即古老又新兴的学科。有本书上说."人类的密码使用、文字使用这两者存在的时间几乎是相同的。”打从有了文字的存在，我们有时候会试图隐藏特定的信息，以保护信息的安全性。我们最早为了保证通信不被外泄，一般都会通过图片和特殊符号来传达我们要传达的信息的密令。密码来自希腊词"krypto”和"理性”这个词，直译是"隐藏的”和"消息”。密码学有着神奇的发展历程 。是一个非常重要的角色。因此人类密码学的发展划分为三个阶段：