振动问题的有限元法
机械结构中的模态振型分析
机械结构中的模态振型分析引言机械结构中的模态振型分析是一种重要的工程手段，它可以帮助工程师深入了解机械结构的动态特性，为优化结构设计提供科学依据。
本文将探讨机械结构中模态振型分析的原理、方法与应用，并结合实例进行说明。
一、模态振型的概念模态振型就是机械结构在其固有频率下的振动形态。
通过模态振型分析，我们可以了解机械结构的固有频率、振动模式以及相应的振动幅值。
模态振型分析是理解结构动力学行为的基础，对于抗震分析、噪声控制、疲劳寿命预测等工程问题具有重要意义。
二、模态振型分析的原理模态振型分析的核心原理是求解结构的特征值和特征向量。
特征值表示结构的固有频率，而特征向量则表示结构的振动模态。
通常，我们可以采用有限元方法、模型投影法等数值方法来进行模态振型分析。
有限元方法是一种常用的模态振型分析方法。
它将结构离散为一系列小单元，并基于有限元理论建立结构的模型。
然后，通过求解结构的特征值问题，得到结构的固有频率和模态振型。
这种方法可以适用于各种不同形态的结构，并可以考虑结构的几何非线性和材料非线性。
模型投影法（或称为物理模态法）是另一种常用的模态振型分析方法。
该方法主要适用于线性结构，并将结构的动力方程以投影矩阵的形式表示。
通过对投影矩阵的分解，可以直接得到特征值和特征向量。
虽然该方法在计算上比有限元方法简化，但其适用范围较窄。
三、模态振型分析的应用模态振型分析在工程实践中有着广泛的应用。
以下几个方面是模态振型分析的主要应用领域。
1. 结构设计优化：通过模态振型分析，可以评估不同结构参数对于结构的固有频率和振动模态的影响，进而指导结构设计的优化。
例如，在飞机设计中，模态振型分析可以帮助工程师选择适当的材料和减震措施，提高飞机的结构强度和稳定性。
2. 抗震分析：模态振型分析在抗震设计中起到至关重要的作用。
通过分析结构的固有频率和振动模态，可以评估结构在地震荷载下的动态响应，为结构的抗震设计提供依据。
模态振型分析还可以帮助确定结构的主要振动模态，从而选择适当的减震措施。
线性振动理论和振动近似解法简略史 正文
线性振动理论和振动近似解法简略史摘要：读史使人明智，本文意在对线性振动理论和工程振动近似解法的发展做简要明了的阐述，其中线性振动理论史以科学家对具体模型的解答为路线，依次阐述：单摆、弦线、梁、膜、板壳、三维弹性体理论、激励响应和强迫振动理论。
工程近似解法以时间为顺序依次阐述各近似解法，依次简要阐述：邓克莱法、逐步近似法、阵型叠加法，传递矩阵法、瑞立法、里茨法、有限元法。
部分近似解法做了较为详细的解释。
关键词线性振动近似解法简略史1线性振动理论1.1单摆单摆是最早引起人们注意的振动之一，真正对单摆的研究要追溯到16世纪，早在1581年，伽利略发现了摆的等时性，之后科学家对单摆的研究主要就是计算摆的周期，当然也包括伽利略本人。
伽利略在1638年用落体公式推得摆动周期正比于摆长与重力加速度比的平方根,还从能量的角度讨论摆的周期，但始终没得到正确的比例系数。
结束摆周期的计算是在17世纪中后叶，惠更斯利用几何方法，得到摆振动周期的正确公式。
1678年牛顿在其划时代的《自然哲学的数学原理》中建立运动变化与受力的关系，使振动问题的动力学研究成为可能,假设了介质阻力与速度及速度平方成正比,形成阻尼概念的雏形，在1728年欧拉考察了摆在有阻尼介质中的运动建立并求解了相应的二阶常微分方程，至此单摆在无阻尼和有阻尼的条件下的周期计算基本结束，后期对摆的研究主要集中在摆的大幅振动和其具有的非线性特征。
1638年伽利略摆动周期正比于摆长与］重力加速度比的平方根，即：T二1LJ(1673年伽利略利用几何方法得到单摆振动周期的正确公式\准确解：T二4j(l/g)*K(sin(a/2))广1728年欧拉建立并求解了摆在有阻尼、介质中的运动相应的二阶常微分方程I)图一单摆周期的发现及求解简略图1.2弦线在振动力学研究兴起之前,有两个典型的振动问题引起注意,一个是单摆摆动，另一个就是弦线振动。
弦线振动是无穷多自由度连续系统的振动,单摆摆动是单自由度离散系统的振动,振幅不大时都可认为是线性的。
复杂结构体系的振动分析与控制
复杂结构体系的振动分析与控制随着复杂工程结构体系的不断发展，结构体系的振动问题也逐渐引起了人们的重视。
在工程实践中，振动问题对工程结构体系的安全性、可靠性和耐久性均有着不可忽视的影响。
因此，对于复杂结构体系的振动分析和控制具有重要的理论意义和实际应用价值。
一、复杂结构体系的振动分析复杂结构体系的振动问题主要包括结构固有频率、振型、振幅等多方面。
对于复杂结构体系的振动分析，通常采用有限元法、频域分析法和时域分析法等方法。
1. 有限元法有限元法是目前最为常用的一种结构振动分析方法，其基本思想是将整个结构体系离散化，通过分析每个单元的动力响应来计算整个结构体系的振动特性。
有限元法可以对结构体系的任何形状进行分析，具有较高的精度和可靠性。
但是，其计算过程比较复杂，需要大量的计算资源和时间。
2. 频域分析法频域分析法是将结构振动过程看作频率与振幅之间的关系，通过计算结构振动的频谱密度及振幅的峰值等参数来分析结构的动态响应特性。
该方法计算速度较快，可以对结构体系进行静态、动态和稳定性分析，但其结果并不精确。
3. 时域分析法时域分析法是通过计算结构振动过程中的时域变化规律来分析结构体系的动态响应特性。
该方法具有计算精度高、运算速度快等优点，但需要满足一些前提条件，如假设结构运动为线性、时间周期相等等。
二、复杂结构体系的振动控制结构振动控制是指通过采取某种措施来降低或消除结构振动的行为。
针对不同的振动问题，有着不同的控制措施。
1. 被动控制被动控制是指对结构进行一定形式结构改造，给结构增加某些被动装置来控制结构振动的方法。
常用的被动装置有质量阻尼器、支撑滞尼器、增振器和阻尼器等。
被动控制的主要优点是安装简单、使用成本低、稳定可靠，但是其控制性能差，不能有效地控制高频振动。
2. 主动控制主动控制是利用主动控制器激励一些控制原件来产生反馈力，消耗振动能量，达到控制结构振动的目的。
常用的主动控制技术有智能材料控制技术、电流传输线控制技术和阵列振荡器技术等。
有限元法应用举例
核反应堆运行过程中涉及高温、 高压、高辐射等极端条件，热工 水力学分析是确保安全性的重要
环节。
有限元法可以对核反应堆的热工 水力学进行模拟，评估冷却剂流 动、热能传递、压力容器应力分
布等关键参数。
通过模拟分析，可以优化反应堆 设计，提高运行效率，降低事故
风险。
建筑物的能耗模拟与优化
建筑物的能耗是节能减排的重要领域，能耗模拟与优化有助于降低能源消耗和碳排 放。
况，为设备的电磁兼容性设计和优化提供依据。
通过有限元分析，可以评估设备的电磁辐射是否符合相关标准
03
和规定，以及优化设备的天线布局和结构设计等。
高压输电线路的电场分析
高压输电线路在运行过程中会 产生电场和磁场，其强度和分 布情况对环境和人类健康具有 一定影响。
有限元法可以用来分析高压输 电线路的电场分布情况，包括 电场强度的计算和分布规律的 分析等。
通过有限元分析，可以评估高 压输电线路对环境和人类健康 的影响，为线路的规划、设计 和优化提供依据。
07
有限元法应用举例：声学分析
消声室的声学设计
消声室是用于测试和测量声音的特殊 实验室，其内部环境需要极低的噪音 水平。
通过模拟和分析，可以确定最佳的吸 音材料和布局，以及最佳的隔音结构， 以达到最佳的消声效果。
有限元法应用举例
• 有限元法简介 • 有限元法应用领域 • 有限元法应用举例：结构分析 • 有限元法应用举例：流体动力学分析 • 有限元法应用举例：热传导分析 • 有限元法应用举例：电磁场分析 • 有限元法应用举例：声学分析
01
有限元法简介
定义与原理
定义
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散 化为有限数量的简单单元（或称为元素），并建立数学模型 ，对每个单元进行单独分析，再综合所有单元的信息，得到 整个系统的行为。
机械结构的振动模态识别方法
机械结构的振动模态识别方法机械结构是工程中非常重要的一部分，它们的振动特性直接影响着其工作性能和寿命。
因此，准确识别机械结构的振动模态对于设计和维护都具有重要意义。
本文将介绍一些常用的机械结构振动模态识别方法。
一、频域分析法频域分析法是最常见的振动模态识别方法之一。
在该方法中，通过对机械结构振动信号进行傅里叶变换，可以将时域信号转换为频域信号。
通过频谱分析，可以得到机械结构在不同频率下的振动特性。
在实际应用中，通常使用傅里叶变换的快速算法（FFT）来加快计算速度。
频域分析方法可以识别机械结构的基频和各个谐振频率，同时还可以得到相应的振动模态形状。
通过对振动模态形状的研究，可以更好地理解和优化机械结构的设计。
二、模态分析法模态分析法是一种基于数学模型的振动模态识别方法。
在该方法中，通过建立机械结构的振动动力学模型，可以得到其固有频率、振型和阻尼比等参数。
常见的模态分析方法包括有限元法、边界元法和等效线性化方法等。
有限元法是一种基于连续介质力学理论的模态分析方法。
在该方法中，将机械结构进行离散化处理，并通过求解结构的动力学特征方程来得到振动模态参数。
有限元法可以较为准确地预测机械结构的振动模态。
边界元法是一种基于泛函分析和积分变换的模态分析方法。
在该方法中，将机械结构看作由一系列边界上的振动片段组成，并通过求解边界上的积分方程来得到振动模态参数。
边界元法适用于边界振动明显的机械结构。
等效线性化方法是一种基于非线性动力学理论的模态分析方法。
在该方法中，通过将机械结构的非线性振动转化为等效的线性振动，可以得到振动模态参数。
等效线性化方法适用于非线性振动较为显著的机械结构。
三、信号处理方法信号处理方法是一种基于振动信号的模态识别方法。
在该方法中，通过对机械结构的振动信号进行预处理和特征提取，可以得到振动模态参数。
常见的信号处理方法包括小波分析、自适应滤波和Hilbert-Huang变换等。
小波分析是一种将信号分解为不同频率和时间尺度的方法。
模态分析在机械振动中的应用
模态分析在机械振动中的应用机械振动是现代工业中不可避免的现象，通过振动来实现生产运行和机器运转，然而机械振动也会在一定程度上影响生产效率和机械的使用寿命。
因此，进行机械振动的分析和优化非常必要。
模态分析是一种理论和实验相结合的分析方法，在机械振动中的应用有着广泛的意义。
模态分析可以通过对机器的振动模式进行分析，找到影响振动的主要因素，从而通过调整机器的结构或外部环境来优化机械运行的机能。
一、模态分析的基本原理模态分析是振动分析中最常用的方法之一，它是通过对机械系统进行稳态或暂态振动分析，来研究机械系统的固有振动特性，从而得到机械系统的振动模态。
模态分析通过分析机器在对其施加的外界激励下产生的振动，通过数学模型进行分析，可以确定出机器结构的振动模态和测量机器的振动频率、振幅以及振型。
通过对振动的分析和诊断，找出机器结构的主要影响因素，并对其进行局部优化或调节。
模态分析方法可以帮助机器改善性能、延长寿命、减少振动和减小噪音。
二、模态分析的应用1、振动问题诊断通过模态分析方法，可以测量分析机器的固有频率，以及找出机器结构的主要影响因素。
这些影响因素有可能是机器结构本身的质量、材料、强度等一些固有的因素，也有可能是机器在运行过程中引入的一些外部环境和激励因素。
通过对这些因素进行分析并进行优化，可以解决机器的振动问题，使机器的使用寿命得到延长，并减少故障产生的频率。
2、机械设计和开发在机械产品的设计和开发阶段，模态分析可以提供重要的参考。
通过对机械产品的振动模式进行分析，可以发现设计中的缺陷和问题，从而调整加以优化，减少振动、减少噪音和提高机械性能。
3、机械优化通过模态分析可以测量和分析机器在运转过程中的振动模态和频率，并寻找机器振动产生的主要原因。
在找到振动问题的根本原因后，则可以通过调整和优化机器结构、材料和其他相关因素来改善和解决振动问题，以达到机械的优化效果。
4、电子产品振动分析电子产品的可靠性和稳定性与其振动特性有着密切关系，因此对于电子产品相关振动特性进行分析，也需要使用到模态分析的方法。
第七章结构振动的有限元分析
第七章结构振动的有限元分析第一节引言结构振动是指结构在外力的作用下发生的同步振动。
它在工程结构的设计和分析中具有重要的意义。
传统的结构振动分析方法主要有模态分析法和频域分析法。
近年来，随着计算机技术的发展，有限元方法在结构振动分析中的应用越来越广泛。
第二节有限元方法概述有限元方法是一种通过将连续结构离散化为有限个单元，并在每个单元内进行局部计算，然后将单元组装起来进行全局分析的一种方法。
有限元方法的基本思想是将连续体分解为有限个离散单元，通过求解每个单元的位移和应变，进而得到整个结构的力学行为和响应。
在结构振动分析中，有限元方法可以更准确地描述结构的边界条件和模态特性。
第三节有限元建模有限元建模是有限元分析的关键步骤之一、在有限元建模过程中，需要根据实际情况选择适当的单元类型和单元尺寸，并确定边界条件。
有限元建模的准确性直接影响到振动分析的有效性和准确性。
第四节模态分析模态分析是结构振动分析的常用方法之一、它可以通过求解结构的本征频率和本征振型，对结构进行全面的振动特性分析。
在有限元分析中，模态分析主要通过求解结构的特征值问题来实现。
第五节动力分析动力分析是结构振动分析的另一种常用方法。
与模态分析相比，动力分析能够更真实地反映结构在外力作用下的振动响应。
在有限元分析中，动力分析主要通过求解结构的动力方程来实现。
第六节振动问题的求解技巧与注意事项在进行结构振动的有限元分析时，需要注意一些技巧和问题。
首先，应正确选择结构的边界条件和单元类型，以保证分析结果的准确性。
其次，应注意振动问题的约束条件和模态解耦技巧，以简化计算过程。
此外，在求解动力方程时，还需要注意存在间接刚度法和直接刚度法两种不同的求解方法。
第七节结构振动的应用领域结构振动的有限元分析在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，可以用有限元分析来评估结构的自然频率和振动幅度，以确定结构的稳定性和耐久性。
在航空航天工程中，可以通过有限元分析来研究飞机的结构动态特性，并优化结构设计。
结构振动分析中的模态分析方法
结构振动分析中的模态分析方法结构振动是指建筑、桥梁、机器等各类工程结构在受到外部激励或自身运动时所发生的振动现象。
为了有效地研究和应对这些结构振动问题，需要运用先进的分析技术来分析结构的振动特性，其中最常用的方法之一就是模态分析。
一、模态分析的基本原理模态分析是研究结构振动的一种分析方法，它是通过计算结构在不同的固有频率下的振动模态来描述结构振动特性的方法。
在模态分析中，首先需要使用有限元方法建立结构的数学模型，然后通过解析数学模型的特征方程，得到结构在不同频率下的振型，即模态，及其对应的振幅和相位差等振动参数。
根据这些振动参数，可以得到结构各个部分的振动响应，并进一步分析结构的振动特性，包括结构在不同频率下的最大振幅、结构振动的稳定性、结构间的耦合特性等。
二、模态分析的主要应用模态分析是结构振动分析中应用最为广泛的方法之一，其主要应用场景包括以下几个方面：1、确定结构的固有频率和振型。
通过模态分析，可以准确地计算结构的固有频率和振型。
这些固有频率和振型的计算结果可用于评估结构在不同激励下的响应特性，以便优化结构设计和制定合理的振动控制措施。
2、分析结构的动态响应。
模态分析可以用来预测结构在外部激励下的动态响应，包括结构的动态位移、速度、加速度等。
这些响应特性的预测结果对于工程结构的安全性评估和振动噪声控制等方面具有重要的意义。
3、评估结构的稳定性。
模态分析可以用于评估结构在振动中的稳定性。
通过计算结构在不同频率下的稳定性，可以有效地分析工程结构的稳定性问题，以便制定相应的振动控制措施。
4、进行结构损伤诊断。
工程结构的残损或破坏会导致结构频率的变化和振动模态的变化。
通过模态分析，可以检测并诊断工程结构的残损或破坏情况，为结构维修和保养提供重要的依据。
三、模态分析的计算方法在计算模态分析的过程中，需要先确定结构的数学模型，包括结构的几何形状、材料特性和载荷情况等。
根据这些数据，可以采用有限元方法求解结构的特征方程，然后求解特征方程得到结构的固有频率和振型。
第三章-用有限元素法建立结构振动的数学模型
第三章用有限元素法建立结构振动的数学模型3．1 引言【工程要求】：对于简单的连续结构，如单件的杆、板、梁，可以建立结构振动的偏微分方程，但对于杆、板、梁组成的复杂结构，仍然采用建立偏微分方程的方法则十分困难。
如果用假设模态法（李兹方法），对实际工程结构假设出品质良好的整个结构的假设模态也十分困难。
要对结构振动进行数值分析，必须建立振动的数学模型——振动方程。
工程结构振动分析中，要采用将结构离散为有限自由度系统的方法——有限元素法，来建立结构的数学模型。
【发展简况】有限元素法，是在上一世纪五十年代中期，经过M.T.Turner及J.H.Argyris 等人的开拓性工作以及后来许多研究者的大量工作，发展起来的一种结构分析的有效方法，上一世纪六十年代初，由J.S.Archer及J.H.Argyris等人引入到结构动力学分析中来。
有限元素法发展到今天，已经非常成熟，而且与先进的计算机技术结合，已经形成了一个以有限元分析方法为基础的计算机辅助工程（CAE）的技术领域以及更进一步的虚拟产品设计（VPD）这样的先进概念。
世界上著名的CAE分析软件商主要有MSC.software和Ansys等公司的产品。
【有限元动力学分析的任务】在结构振动分析领域，有限元素法处理的问题主要是两类：结构固有振动特性计算和结构振动响应计算（包括频率响应分析与响应时间历程分析）。
两类问题中，用有限元法建立振动数学模型是最基础的工作。
【有限元素法（分析结构振动问题）的特点】：原则上，有限元素法由于其对复杂边界的适应性，它可以处理任何复杂的结构。
求解结果的精度可以根据需要不断改善，建模过程规范统一，计算形式适合于计算机求解。
【存在的问题】：随着精度要求的不断提高，所要求的计算机容量和计算时间急剧增加，从而引出了大型特征值问题的快速求解方法、将大型结构振动问题转化为若干小型结构振动问题集合的子结构求解方法，以及结构振动问题的并行求解方法等问题的研究。
有限元法与程序-结构振动1
集中质量矩阵为
1 0 hΔ 0 mc 3 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
板弯曲矩形单元的一致质量矩阵 板弯曲三角形单元的一致质量矩阵
§8.3 特征值问题
第 8章
结构的振动与稳定
有些结构受到显著的动载荷作用，如房屋、水坝等建 筑受地震的作用，船舶受海浪的冲击，桥梁受车辆的 振动等等，必须进行动力分析。结构线性动力分析的 基本内容，一般包括结构固有频率和固有振型分析， 以及结构对外力作用的响应分析 。 本章将首先建立动力分析的有限元方程，然后介绍 大型稀疏矩阵特征值问题的几个常用求解方法，分 别是逆迭代法、行列式搜索法和子空间迭代法。随 后简单介绍复杂结构的动态子结构处理法。最后， 介绍弹性结构在外载荷作用下丧失稳定时的临界载 荷问题。
( A I ){x} 0
特征值问题的基本性质 （1）实对称矩阵的特征值均为实数
1 2 n
2 2 0 12 2 n
（2）特征向量彼此正交
i M j ij T i K j i2 ij
按与前面相同的有限元集成办法得到
(t ) C (t ) K (t ) R M
[M]称为总体质量矩阵， [m]e为单元质量矩阵，又 称一致质量矩阵。 早期用有限元计算动力学问题时单元质量用简单 的等价办法团聚在各个节点上，形成对角质量矩 阵，称为集中质量矩阵。 [C]和[c]e分别称为结构阻尼矩阵和单元阻尼矩阵 μ称为粘性阻尼系数，很难确定，因此一般不计算 单元阻尼矩阵而直接采用Rayleigh阻尼，即
得到
有限元法及其应用 pdf
有限元法及其应用 pdf标题：有限元法及其应用引言概述：有限元法是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域。
本文将介绍有限元法的基本原理和应用领域，并详细阐述其在结构分析、流体力学、热传导、电磁场和生物力学等方面的具体应用。
正文内容：1. 结构分析1.1 结构力学基础1.1.1 杆件和梁的有限元分析1.1.2 平面和空间框架的有限元分析1.1.3 壳体和板的有限元分析1.2 结构动力学分析1.2.1 振动问题的有限元分析1.2.2 地震响应分析1.2.3 结构非线性分析2. 流体力学2.1 流体流动的有限元分析2.1.1 稳态流动问题的有限元分析2.1.2 非稳态流动问题的有限元分析2.1.3 多相流动问题的有限元分析2.2 流体结构耦合分析2.2.1 气动力和结构响应的有限元分析2.2.2 液固耦合问题的有限元分析2.2.3 流体流动与热传导的有限元分析3. 热传导3.1 热传导方程的有限元分析3.1.1 稳态热传导问题的有限元分析3.1.2 非稳态热传导问题的有限元分析3.1.3 辐射传热问题的有限元分析3.2 热结构耦合分析3.2.1 热应力分析3.2.2 热变形分析3.2.3 热疲劳分析4. 电磁场4.1 静电场和静磁场的有限元分析4.1.1 静电场的有限元分析4.1.2 静磁场的有限元分析4.2 电磁场的有限元分析4.2.1 电磁场的有限元分析方法4.2.2 电磁场与结构的耦合分析4.2.3 电磁场与流体的耦合分析5. 生物力学5.1 生物组织的有限元分析5.1.1 骨骼系统的有限元分析5.1.2 软组织的有限元分析5.1.3 生物材料的有限元分析5.2 生物力学仿真5.2.1 运动学分析5.2.2 力学分析5.2.3 生物仿真与设计总结：有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值分析方法。
本文从结构分析、流体力学、热传导、电磁场和生物力学五个大点详细阐述了有限元法的应用。
通过对各个领域的具体应用介绍，我们可以看到有限元法在工程领域中的重要性和广泛性。
基于有限元法的动力吸振器设计
基于有限元法的动力吸振器设计动力吸振器是指利用共振系统吸收物体的振动能量以减小物体本体振动的一种装置。
其原理是在振动物体上附加质量弹簧共振系统，这种附加系统在共振时产生的反作用力可使振动物体的振动减小。
1一、基础知识动力吸振器的共振频率，要设计成使主系统的振动等于零。
则动力吸振器的固有频率要设计成等于需要吸收的激发频率，即将主系统的频率通过动力吸振器进行转移，在动力吸振器的设计中，方法很多，可以采用理论计算，也可采用有限元方法，或根据实车测试结果进行调教匹配。
本期我们基于机械振动理论，采用有限元方法进行动力吸振器的设计计算，该方法在解决实际工程问题中，准确有效，且响应快等特点。
1.1 1、动力吸振器相关理论基础任何振动都可以分解成单自由度或多自由度系统进行求解，且有些系统分解成单自由度，更容易解答。
如以传动轴为例，进行相关分析计算，传动轴的一阶弯曲模态对整车NVH性能有着非常重要意义，在实车调教中通常调整传动轴模态以改善NVH性能。
我们将传动轴简化成以下单自由度振动系统。
图1 传动轴模型图2 传动轴简化振动系统1.22、传动轴模态频率计算。
通过建立传动轴振动方程，进行求解，可以得到该系统的一阶频率为：2二、传动轴模态计算通过建立有限元模型并进行计算，可以得到该传动轴一阶弯曲模态频率为150Hz。
从振型图可以看出传动轴最大振幅位于中部，为减少传动轴振动，或避开150Hz，在结构和布置等限制条件下，我们可以通过设计动力吸振器避开需要解决的频率150Hz。
图3传动轴一阶弯曲模态3三、传动轴动力吸振器设计采用有限元方法，我们将在传动轴模型上增加一个质量弹簧振动系统，数学模型如下图所示。
图4传动轴动力吸振器振动系统1、动力吸振器质量求解。
在有限元方法中，我们将模态特征值求解方法由质量归一改为位移归一法，即可求解出传动轴一阶弯曲模态频率150Hz下的模态质量。
如本案例可计算得到150Hz模态质量为1.6Kg，根据振动理论，一般动力吸振器的质量约为0.1-0.3倍的模态质量，本文取0.2，即动力吸振器质量为0.32kg，由f=1/2*pi(√k/m)可以计算出刚度k=284N/mm，即传动轴150Hz下的动力吸振器m=0.32kg，k=284N/mm，位置为传动轴中部。
研究振动工程问题的方法与技术
研究振动工程问题的方法与技术振动工程是一项涵盖多个领域的工程学科，主要研究物体在振动作用下的动态响应特性。
它广泛应用于航空航天、机械、建筑、交通及能源等领域。
为了准确地解决振动工程问题，我们需要合理地选择研究方法和技术。
本文将从以下几个方面展开：一、振动工程问题的研究方法1. 理论分析法理论分析法是振动工程研究中最基本的方法之一。
它通常基于物理法则和公式，依据物体的几何形状和材料特性来推导出解析解或近似解，并通过计算机软件模拟振动系统的响应特性和变化趋势。
理论分析法的优点在于可以准确得出物体的振动响应特性和变化趋势，从而进行有效的设计优化，并预测或评估其性能。
但是，它需要比较高的数学和物理水平，同时对于较为复杂的系统可能需要花费较长的时间和计算资源。
2. 实验方法实验方法是振动工程研究的一种重要手段。
用于测试振动系统的动态响应，通过传感器、数据采集系统等实验设备来获取振动信号，并基于实验数据分析振动系统的特点。
实验方法的优点在于可以直接用实际测量来获取振动系统的特性和特征，更加直观，同时可以发现不同于理论分析的现象和异常，为后续的分析和修正提供了依据。
然而，实验方法受到设备、环境等因素的影响，精度和可重复性可能较差，同时检测过程消耗步骤复杂且费时。
3. 数值模拟方法数值模拟方法是一种通过计算机软件对振动系统进行数值模拟分析的方法。
通过建立各个部份的三维模型，基于振动基本理论和计算分析方法，计算机进行求解，生成振动响应特性曲线图、分布图等。
数值模拟方法的优点在于可以通过优良的计算速度，处理较为复杂的振动问题，同时可以通过几何模型和边界条件的变化来模拟各种实际情况，从而更好地指导和改进设计，减少试验实验成本。
但是，数值模拟的准确性取决于模型的真实性和精度，同时需要大量的计算资源。
二、振动工程问题的技术手段1.随机振动信号处理振动信号是在时间和空间上随机变化的，因此其处理涉及到随机振动信号分析。
其方法包括功率谱密度估算、相关分析法、主成分分析方法以及高阶统计量分析等。
结构第一阶振型系数
结构的第一阶振型是指在特定边界条件下，结构在自由振动时的最低频率模态。
要求写出相关参考内容，但文中不能出现链接。
以下是关于结构第一阶振型系数的内容：
结构第一阶振型系数是指结构的各自由度运动幅值与该系数的乘积之和为零，是计算结构自由振动特性的重要参数。
它能够描述结构自由振动时各自由度之间的相对运动，对结构的动力特性分析具有重要意义。
结构第一阶振型系数与结构的刚度矩阵和质量矩阵密切相关。
在计算振型系数时，通常需要先求解结构的刚度矩阵和质量矩阵。
结构的刚度矩阵描述了结构在受力作用下的变形特性，而质量矩阵则描述了结构的质量分布情况。
这两个矩阵的特征值和特征向量对应着结构的固有频率和振型。
根据相关文献资料，结构第一阶振型系数通常可以通过以下方法进行计算：
1.有限元法：有限元法是一种常用的结构动力学分析方法，可以通过离
散化结构、建立有限元模型，并对模型进行求解，得到结构的截面位移，从而计算出振型系数。
2.雅可比迭代法：雅可比迭代法是一种迭代求解矩阵特征值和特征向量
的方法，在结构动力学中常常用于求解振型系数。
该方法通过迭代计算特征值和特征向量，得到结构的第一阶振型系数。
3.近似解法：在某些特殊情况下，结构的第一阶振型系数可以通过近似
解法进行估算。
例如，在简支梁的自由振动问题中，可以使用欧拉-伯努利梁理论得到挠曲振型系数。
以上是关于结构第一阶振型系数的相关内容，这些方法都可以用于计算结构自由振动的特性，并得到结构的第一阶振型系数。
这些计算方法都有其适用的范围和计算精度，根据实际工程需要选择合适的方法进行分析。
多自由度系统振动
的方法。
传递矩阵法适用于线性时不变系 统，能够处理多自由度系统的振
动问题，计算效率较高。
传递矩阵法的精度取决于系统参 数和边界条件的准确性，对于复 杂系统和非线性问题，需要采用
其他方法进行求解。
模态叠加法
模态叠加法是一种基于模态展开的数值 计算方法，通过将系统的振动表示为一 系列模态的线性组合，求解每个模态的
振动方程，得到系统的动态特性。
模态叠加法适用于线性时不变系统，能 够处理多自由度系统的振动问题，计算
精度较高。
模态叠加法需要选择合适的模态数目和 模态提取方法，对于大规模系统和复杂
未来研究方向
深入研究多自由度系统振动的 非线性特性，探索更精确的数
学模型和数值模拟方法。
针对复杂多自由度系统，研究 多因素耦合振动和多场耦合振
动的理论和方法。
发展多自由度系统振动主动控 制和智能控制技术，提高系统 振动控制精度和响应速度。
将多自由度系统振动理论应用 于实际工程领域，解决重大装 备和结构的振动问题，提高其 稳定性和安全性。
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02
它涉及到多个振动子之间的相互 作用和耦合，其动力学行为比单 自由度系统更为复杂。
研究背景和意义
随着科技的发展，多自由度系统在许多领域中得到了广泛应用，如大型机械装备、 精密仪器、高层建筑等。
由于多自由度系统在受到外部激励或内部参数变化时，会产生复杂的振动行为，这 不仅会影响系统的性能和稳定性，还可能引发安全问题。
航天器振动控制
总结词
转子动力学有限元法计算及编程
转子动力学有限元法计算及编程转子动力学有限元法计算及编程一、引言转子动力学是一门研究转子在高速旋转过程中的振动特性以及相关问题的学科。
它广泛应用于航空、能源、机械等各个领域。
在实际工程中，准确预测和分析转子振动对于确保系统的安全性、工作效率和可靠性至关重要。
转子动力学有限元法（Rotor Dynamics Finite Element Method）通过应用有限元法理论和技术，能够有效地模拟和分析转子的振动问题，成为一种重要的数值计算方法。
二、有限元法基础有限元法是一种常用的工程计算方法，通过将连续物体离散化为有限数量的单元，然后在每个单元上进行力学分析，最终得出整个结构的力学性能。
在转子动力学有限元法中，转子被近似为连续的刚体。
系统的振动模态可以通过求解刚体的运动方程得到，其中包括刚体的转动和位移。
三、有限元法振动问题模型建立1. 系统几何模型在有限元法中，转子可以被近似为一系列的刚性单元。
每个转子单元的转子几何参数、质量特性和刚度特性都需要被确定。
2. 材料参数及转动惯量为了建立准确的数学模型，需要确定转子材料参数，如材料的弹性模量、材料的泊松比等。
还需要考虑转子的转动惯量，它与转子的几何形状和密度分布直接相关。
3. 支承刚度和系统运动方程转子系统的支承刚度是转子动力学分析中的关键参数之一。
支承刚度对转子的振动特性有着重要的影响。
根据系统的几何形状和支承结构，可以得到转子的运动方程。
四、转子动力学有限元法编程转子动力学有限元法编程的实现可以通过使用适当的编程语言和数值计算库来完成。
MATLAB或Python等编程语言可以用于转子动力学的模型建立和数值计算。
在编程过程中，需要先建立转子的有限元模型，包括几何参数、刚度特性和质量分布等信息。
可以通过求解转子的运动方程来获得系统的振动模态和振型。
可以对转子系统进行参数求解、模态分析和振动响应分析等。
五、转子动力学有限元法的应用和发展前景转子动力学有限元法在航空、动力机械、电力、工业流程等领域具有广泛的应用前景。
基于有限元方法的振动系统动力学分析
基于有限元方法的振动系统动力学分析振动是物体在外部作用下发生周期性的自由运动，广泛存在于自然界和人工工程中。
对于工程领域来说，振动是一种常见而且重要的现象，需要进行充分研究和掌握。
因为工业领域中的精密机械设备、航空航天器、桥梁、建筑等都要受到振动的影响，因此了解和掌握振动分析成为了一项必要的工作。
在振动分析中，有限元方法是一种重要的数值计算技术，能够用来计算系统在特定工况下的自由振动、强迫振动和动态特性等。
有限元方法的基本思想是将物体整体离散成若干元，然后针对每个元的受力状态对其进行计算。
因为在物理学和工程领域中，大部分振动问题都可以抽象成弹性振动问题，因此有限元方法也用得较为广泛。
下面我们将从振动系统模型建立，有限元方法的原理和实现以及动力学分析等方面进行阐述，以期为工程领域的借鉴提供一定的帮助。
一、振动系统模型建立首先，我们需要理解振动系统的原理和发展规律，然后再将其抽象成一种数学模型。
在工程领域常见的振动系统有机械弹簧阻尼振动系统、电路RLC振动系统等，这里我们以机械弹簧阻尼振动系统为例。
1.1 建立振动系统模型机械弹簧阻尼振动系统的简化模型由三个主要元素组成：质点、弹簧和阻尼器。
其中，质点质量为m，其自由度为x，弹簧的刚度为k，弹簧自由度为u，阻尼器的阻尼系数为c。
将质点与弹簧、阻尼器建立作用关系如下：1. 质点的受力情况：F = m*x''(t) (1)其中，x''(t)表示自由度x对时间t的二阶微分。
2. 弹簧的变形条件：u = x1 - x2 (2)其中，x1、x2为弹簧两端对应的自由度，利用胡克定律可以得到：F = k*u (3)3. 阻尼器的作用：F = -c*x'(t) (4)其中，x'(t)表示自由度x对时间t的一阶微分。
此时，质点、弹簧、阻尼器三者之间的作用力平衡，即有F = m*x''(t) = -k*x(t) - c*x'(t) (5)使用微分方程的方法可以得到质点加速度x''(t)关于时间t的方程，即：m*x''(t) + c*x'(t) + k*x(t) = f(t) (6)其中，f(t)为外界作用力。
机械振动学基础知识振动系统的有限元分析方法
机械振动学基础知识振动系统的有限元分析方法机械振动学是研究机械系统在受到外力作用时所产生的振动现象的科学。
振动系统的有限元分析方法是研究振动系统的分析方法之一，它通过将振动系统离散化为有限个单元，利用数值计算方法来模拟和分析系统的振动特性。
本文将介绍机械振动学的基础知识以及振动系统的有限元分析方法。
机械振动学基础知识振动系统是由弹性元件和质量元件构成的，当受到外力作用时，系统会发生振动。
振动系统包括弹簧、阻尼器和质量块等元件。
其中，弹簧用于恢复系统的位移；阻尼器用于阻碍系统振动的增长；质量块用于储存和释放振动系统的动能。
振动系统的有限元分析方法有限元法是一种数值计算方法，它将连续的振动系统分解为有限个单元，每个单元包括节点和单元内部的位移场。
通过求解各节点的位移场，可以得到整个系统的振动响应。
1. 建立有限元模型首先，需要建立振动系统的有限元模型。
对于简单的振动系统，可以直接建立单元模型，包括节点、单元和材料属性等。
对于复杂的振动系统，可以采用现有的有限元软件进行建模。
2. 离散化在建立有限元模型后，需要对振动系统进行离散化。
将连续系统离散化为有限个单元，每个单元包括节点和连接节点的单元。
通过离散化，可以得到系统的离散动力学方程。
3. 求解动力学方程在得到系统的离散动力学方程后，可以利用数值计算方法求解系统的振动响应。
常用的方法包括有限差分法、有限元法、模态分析法等。
4. 分析结果最后，根据求解的振动响应结果，可以分析系统的振动特性，如频率响应、模态形态等，为系统设计和优化提供参考。
结论机械振动学是研究机械系统振动现象的科学，而振动系统的有限元分析方法是研究振动系统的重要方法之一。
通过建立有限元模型、离散化系统、求解动力学方程和分析结果，可以深入了解振动系统的振动特性，为系统设计和优化提供有效的手段。
希望本文能够帮助读者更好地理解机械振动学的基础知识和有限元分析方法。
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由此得到
L
t2 t1
(qe
)T ( Keqqe
Meqqe
Ceqqe
Feq)d t
0
由于单元位移的变分 (qe )T 是任取的，所以可由式 得到单元的运动方程为
Meqqe Ceqqe Keqqe Feq
Theory of Vibration
工程振动与测试
7.2 单元体的特性分析 7.2.1 形函数矩阵N
t2 [ (qe )T ( t1
cN T N dV )qe ]d t
V
Theory of Vibration
工程振动与测试
于是变分式成为
L t2 (qe )T[( BTDB dV )qe ( rN T N dV )qe
t1
V
V
( cN T N dV )qe ( N TFV dV ) ( N TFS d S)]d t 0
Theory of Vibration
工程振动与测试
单元体上的应力为 σ Dε DBq e
D为应力应变关系矩阵，又称为弹性矩阵，所 以单元体的应变能为
U
V
1 2
εTσ dV
V
1 (qe )T BT DBq e 2
dV
Theory of Vibration
工程振动与测试
设单元体振动时，阻尼系数为c，则阻尼力为 cq 。 单元体上阻尼力所消耗的能量Wd为
Theory of Vibration
工程振动与测试
有限元计算的基本过程： （1）将结构离散化，即把结构划分成离散的单
元。 （2）考虑单元的性质，建立单元的质量矩阵、
刚度矩阵、阻尼矩阵、载荷矩阵，推导出单元体的运 动方程式。
（3）组合各单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼 矩阵，得到整个离散系统的运动方程。
在有限元中，形函数的作用十分重要，因为单 元形状和相应的形函数确定以后，其它运算可依照 标准步骤和普遍公式进行。单元上任一点的位移用 节点的位移表示为
V
V
S
令
Keq BTDBdV
V
Meq rN TN dV
V
Ceq cN TN dV
V
Feq ( N TFV dV ) ( N TFS d S)
V
S
Theory of Vibration
工程振动与测试
Keq、Meq、Ceq、Feq分别表示单元体的刚度 矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵和载荷矩阵
t2 [ (qe )T ( rN T N dV )qe ]d t
t1
V
t2 [ (qe )T ( t1
rN T N dV )qe ]d t
V
Theory of Vibration
工程振动与测试
用同样的方法可得到
t2 [ (qe )T ( cN T N dV )qe ]d t
t1
V
S
工程振动与测试
应用分步积分公式，上式的第二项有
t2 [ (qe )T ( rN T N dV )qe ]d t
t1
V
[ (qe )T(
V
rN T N
d
V
)q
e
]t2 t1
t2 [ (qe )T (
t1
V
rN T N dV )qe ]d t
式中qe(t1)=0，qe(t2)=0，则只剩下第二项。
工程振动与测试
第7章 振动问题的有限元法
有限元法是力学模型系统上近似的数值计算方 法。它先将要分析的工程结构模型，假想地分割成 有限个单元，组成离散化模型。
各个单元之间在单元的外节点处互相连接起来。 然后导出各单元体的运动方程，然后由各个单元的 运动方程组合而形成原工程结构的有限元运动方程。
有限元法中分析的结构，是一个由有限个单元 组成的与原结构非常接近的离散系统。计算所得结 果的精确程度取决于单元体的划分。
L t2 [ (qe )T( BTDBdV )qe (qe )T( rN T N dV )qe
t1
V
V
(qe )T( cN T N dV )qe (qe )T( N TFV dV )
V
V
Theory of Vibration
(qe )T( N TFS d S)]d t 0
单元体中任一点的速度矢量可表示为
q u v w T Nqe
Theory of Vibration
工程振动与测试
单元体的动能为
T
1
V
2
rqTq dV
1
V
2
r (qe )T N T Nqe
dV
式中r为单元体积的质量
由弹性力学公式，应变与位移的关系为
ε Bqe
式中B为应变位移关系矩阵，是几何矩阵，与t 无关。
（4）解特征方程，求出频率与振型。 （5）求解动力响应问题。
Theory of Vibration
工程振动与测试
有限元法中采用的单元类型很多，其形状、 大小可以变化，各单元互相之间也容易连接，因 此它能适应复杂的结构，也适用于各种不同的边 界条件。
有限元法中的分析顺序是比较固定的，因此 便于计算机计算，并有标准程序和通用程序。
Wd
V
1 cqTq dV
2
V
1 c(qe )T N T Nq e dV 2
单元体上所受的外力分为两部分，即体积力 FV和表面力FS。它们的势能分别为
We1 qTFV dV (qe )T N TFV dV
V
V
We2 qTFS d S (qe )T N TFS d S
S
S
We We1 We2
任一点的位移矢量q用单元体上各节点的位移矢量qe
表示为
q Nq e
式中N为形函数矩阵，它是坐标x、y、z的函数。
Theory of Vibration
工程振动与测试 单元体中任一点的位移矢量q又可表示为
q u(t) v(t) w(t)T
式中u(t)、v(t)、w(t)分别表示该点沿x、y、z方向 的位移，它们都是时间t的函数。
Theory of Vibration
工程振动与测试
拉格朗日函数
L 1
[r (qe )T N T Nqe (qe )T BT DBq e c(qe )T N T Nqe
2V
2(qe )T N TFV ]dV (qe )T N TFS d S
S
由哈密尔顿原理，将其在时间区间(t1,t2)上对L积分， 并使其变分等于零，考虑到D的对称性后，有
Theory of Vibration
工程振动与测试
7.1 单元体的运动方程式
取一单元体，设单元体的动能为T，应变能为U，
阻尼消耗的能量为Wd，外力的势能为We。建立拉格 朗日函数为
L T U Wd We
设q为单元体中任一点的位移矢量，qe为单元体上
各节点的位移矢量，它是时间t的函数。令单元体中