线性代数性质公式整理教学文案

线性代数性质公式整

理

线性代数

第一章行列式

一、相关概念

1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即

(1.1)

这里表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。

2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用

表示排列的逆序数。

3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。

4.2阶与3阶行列式的展开——，

5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i 行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式

称为的余子式，记为；称

为的代数余子式，记为，即。

6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如

，称为A的伴随矩阵，记作。

二、行列式的性质

1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。

2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.

3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。

4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：

5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：

6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0

三、行列式展开公式

n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即

|A|按i行展开的展开式

|A|按j列展开的展开式

四、行列式的公式

1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；

2.关于副对角线的n阶行列式的值

3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则

4.范德蒙行列式

5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)

若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：

；； |AB|=|A||B|；；

；；若，则，且特征值相同。

一般情况下：

五、行列式的计算

1.数字型行列式

将行列式化为上下三角，再按行或列展开；

化简技巧：①将每列(行)都加到同一列(行)，或者将每列(行)k i倍都加到同一列(行)。②逐行(或逐列)相加

③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式

数学归纳法——①验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。

②验证n=1和n=2时命题都正确，假设n

③对于n阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。

2.抽象型行列式——通常与矩阵一起考，利用行列式的性质(倍加、提公因数k、拆项)等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。

☆利用单位矩阵恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。3.行列式|A|是否为0的判定

若A=[]是n阶矩阵，那么

行列式|A|=0 矩阵A不可逆

秩r(A)

Ax=0有非零解

0是矩阵A的特征值

A的列(行)向量线性相关。

因此，判断行列式是否为0，常用：①秩；②齐次方程组是否有非零解；③看特征值是否为0；④反证法；⑤若|A|=k|A|，且k≠1时也能得出|A|=0

4.代数余子式求和

①按定义直接计算求和；

②用行列式的按行或列展开的公式。由于的值与的值没有关系，故可以构造一个新的行列式|B|，通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。P205例20

③利用行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0的性质

④根据伴随矩阵的定义，通过求再来求和。

第二章矩阵

一、矩阵的概念及运算

矩阵——m×n个数排成如下m行n列的一个表格称为是一个m×n矩阵，当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵。如果一个矩阵所有元素都是0，则称为零矩阵，记作O。

两个矩阵，，如果m=s，n=t，则称A与B是同型矩阵

两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵A与B相等，记作A=B。

矩阵A是一个表格，而行列式|A|是一个数。

二、矩阵的运算

1.(加法)设A、B是同型矩阵，则

2.(数乘)

3.(乘法)若A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，则A、B可乘，且乘积AB是一个m×n矩阵。记成，其中

4.转置将矩阵A的行列互换得到矩阵A的转置矩阵

三、矩阵的运算规则

ABC为同型矩阵，则

1.加法——

2.数乘——

3.乘法 ABC满足可乘条件

注意一般情况下

对角矩阵

对角矩阵的逆矩阵

4.转置——；；

5.伴随矩阵——；；

；

；；；

6.方阵的幂——

注意

7.特殊方阵的幂 (求)——

①若秩，从而

例如P218

②特殊的二项式展开

③分块矩阵

④特征值、特征向量、相似

⑤简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。

四、特殊矩阵

设A是n阶矩阵：

①单位阵：主对角元素为1，其余元素为0，记成

②数量阵：数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。

③对角阵：非对角元素都是0的矩阵称为对角阵，记成

④上(下)三角阵：当，有的矩阵称为上(下)三角阵。

⑤对称阵：满足，即

⑥反对称阵：满足，即，的对称阵称为反对称阵。

⑦正交阵：矩阵称为正交阵，即

⑧初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。