线性代数公式大全最全最完美

合集下载

线代公式总结

线代公式总结

线代公式总结
线性代数中有很多重要的公式,以下是其中一些主要的公式:
1. 逆矩阵公式:对于一个矩阵A,如果存在一个矩阵B,使得AB=BA=I (单位矩阵),那么矩阵B称为矩阵A的逆矩阵,记作A^(-1)。

2. 行列式公式:对于一个n阶方阵A,其行列式记作det(A),定义为所有
取自不同行不同列的元素的乘积的代数和,即det(A)=a11a22...ann。

3. 特征值公式:对于一个n阶方阵A,如果存在一个数λ和一个非零向量x,使得Ax=λx成立,那么λ称为矩阵A的特征值,x称为矩阵A的对应于特
征值λ的特征向量。

4. 转置矩阵公式:对于一个矩阵A,其转置矩阵记作A^T,定义为将矩阵
A的行列互换得到的矩阵。

5. 行列式性质公式:对于一个n阶方阵A,有det(A^T)=det(A),
det(kA)=k^ndet(A),det(AB)=det(A)det(B)。

6. 向量点乘公式:对于两个向量a和b,其点乘记作a·b,定义为
a1b1+a2b2+...+anbn。

7. 向量叉乘公式:对于两个向量a和b,其叉乘记作a×b,定义为一个新
的向量c,其中c的每个分量c_i是a和b各个分量乘积的和,即
c=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。

这些公式是线性代数中最重要的部分,可以帮助我们解决很多问题。

(完整版)精心整理线性代数公式大全,推荐文档

(完整版)精心整理线性代数公式大全,推荐文档

3
结论);
Ⅱ、 r(A) r(B) n
⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵,则 r(AB) r(A) r(B) n ;
6. 三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为 1 的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量) 行矩阵
(向量)的形式,再采用结合律;
1 a c
②、型如
0
1
b
的矩阵:利用二项展开式;
0 0 1
二项展开式:
; n
(a
b)n
C
0 n
a
n
Cn1 an1b1
Cnm anm bm
C
a b n1 1 n1
n
Cnnbn
C
m n
a
m
b
3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等
行变换)
①、

(
A,
E
r
):(
E,
X
)
,则
A
可逆,且
X
; A1
②、对矩阵 (A, B) 做初等行变化,当 A 变为 E 时, B 就变成 A1B ,
即: ; c ( A, B)(E, A1B)
③、求解线形方程组:对于 n个未知数 n个方程 Ax b ,如果
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
6.
对于 n阶行列式
A
,恒有:
E
A
n
n
(1)k
Sk nk
,其中
Sk
为k
阶主
k 1
子式;
0
7. 证明 A 0 的方法: ①、 A A ;
②、反证法;
③、构造齐次方程组 Ax 0 ,证明其有非零解;

《线性代数》公式大全

《线性代数》公式大全

《线性代数》公式大全1.向量1.1向量的加法和减法v1=(x1,y1,z1)v2=(x2,y2,z2)v1+v2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)v1-v2=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)1.2向量的数量乘法v=(x,y,z),k是一个实数kv = (kx, ky, kz)1.3向量的点积v1·v2=x1x2+y1y2+z1z21.4向量的模长v,=√(x^2+y^2+z^2)2.矩阵2.1矩阵的加法和减法A = (aij),B = (bij)是两个m x n矩阵A +B = (aij + bij)A -B = (aij - bij)2.2矩阵的数量乘法A = (aij)是一个m x n矩阵,k是一个实数kA = (kaij)2.3矩阵的乘法A = (aij)是一个m x n矩阵,B = (bij)是一个n x p矩阵AB = (cij)是一个m x p矩阵,其中cij = a1j*b1i + a2j*b2i+ ... + anj*bni2.4矩阵的转置A = (aij)是一个m x n矩阵A的转置为A^T = (aij)^T = (aji)2.5矩阵的逆A为可逆矩阵,A^-1为其逆矩阵,满足AA^-1=A^-1A=I,其中I为单位矩阵3.行列式3.1二阶行列式D=,abc d, = ad - b3.2三阶行列式D=,abcdeg h i, = aeI + bfG + cdH - ceG - afH - bd3.3n阶行列式D=,a11a12 (1)a21a22...a2...........an1 an2 ... ann, = (-1)^(i+j)*Mij,其中Mij为aij的代数余子4.线性方程组4.1齐次线性方程组Ax=0,其中A为一个mxn矩阵4.2非齐次线性方程组Ax=b,其中A为一个mxn矩阵,x为一个n维列向量,b为一个m维列向量4.3线性方程组的解法4.3.1矩阵消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为行阶梯形或最简形4.3.2克拉默法则Ax = b的解可以表示为x = (Dx1/D, Dx2/D, ..., Dxn/D),其中D 为系数矩阵A的行列式,Di为将第i列的系数替换为b后的行列式4.3.3矩阵求逆法若A为可逆矩阵,则Ax=b的解可以表示为x=A^(-1)b以上是线性代数的一些重要公式,通过理解和掌握这些公式,可以帮助我们解决线性代数相关的问题和应用。

线性代数公式总结大全

线性代数公式总结大全

线性代数公式1、行列式1.n 行列式共有n 2个元素,展开后有n !项,可分解为2n 行列式;2.代数余子式的性质:①、A ij和a ij的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ;3.代数余子式和余子式的关系:M ij=(-1)i +j Aij4.设n 行列式D :将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D 1,则D 1=(-1)n (n -1)2A ij=(-1)i +j MijD ;D ;将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为D 2,则D 2=(-1)将D 主副角线翻转后,所得行列式为D 4,则D 4=D ;5.行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积⨯(-1)n (n -1)2n (n -1)2将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为D 3,则D 3=D ;;③、上、下三角行列式(◥=◣):主对角元素的乘积;④、◤和◢:副对角元素的乘积⨯(-1)⑤、拉普拉斯展开式:n (n -1)2;A O A C C A O A==A B 、==(-1)m n A BC B O B B O B C⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;6.对于n 阶行列式A ,恒有:λE -A =λn +∑(-1)k S kλn -k ,其中S k为k 阶主子式;k =1n7.证明A =0的方法:①、A =-A ;②、反证法;③、构造齐次方程组Ax =0,证明其有非零解;④、利用秩,证明r (A )<n ;⑤、证明0是其特征值;2、矩阵8.A 是n 阶可逆矩阵:⇔A ≠0(是非奇异矩阵);⇔r (A )=n (是满秩矩阵)⇔A 的行(列)向量组线性无关;⇔齐次方程组Ax =0有非零解;⇔∀b ∈R n ,Ax =b 总有唯一解;⇔A 与E 等价;⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;⇔A 的特征值全不为0;⇔A T A 是正定矩阵;⇔A 的行(列)向量组是R n 的一组基;⇔A 是R n 中某两组基的过渡矩阵;9.对于n 阶矩阵A :AA *=A *A =A E 无条件恒成立;10.(A -1)*=(A *)-1(AB )T =B T A T(A -1)T =(A T )-1(AB )*=B *A *(A *)T =(A T )*(AB )-1=B -1A -111.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;12.关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、B 可逆:⎛A 1若A =⎝A2⎫⎪⎪,则:⎪⎪A s⎭A s;-1A 2Ⅰ、A =A 1A2⎛A 1-1 -1Ⅱ、A =⎝-1⎫⎪⎪;⎪⎪A s-1⎪⎭O ⎫⎪;(主对角分块)B -1⎭B -1⎫⎪;(副对角分块)O ⎭⎛A -1⎛A O ⎫②、 ⎪=O B ⎝⎭⎝O ⎛O ⎛O A ⎫③、 ⎪= -1⎝B O ⎭⎝A-1⎛A -1⎛A C ⎫④、 ⎪=O B ⎝⎭⎝O -1-1-A -1CB -1⎫⎪;(拉普拉斯)B -1⎭O ⎫;(拉普拉斯)-1⎪B ⎭⎛A -1⎛A O ⎫⑤、 ⎪= -1-1C B ⎝⎭⎝-B CA3、矩阵的初等变换与线性方程组13.一个m ⨯n 矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:F = r⎝O 对于同型矩阵A 、B ,若r (A )=r (B )⇔A B ;14.行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;15.初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若(A ,E )(E ,X ),则A 可逆,且X =A -1;②、对矩阵(A ,B )做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成A B ,即:(A ,B )~(E ,A -1B );-1c r⎛E O ⎫⎪;O ⎭m ⨯n等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax =b ,如果(A ,b )(E ,x ),则A 可逆,且x =A -1b ;16.初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;⎛λ1λ2②、Λ=⎝⎫⎪⎪,左乘矩阵A ,λ乘A 的各行元素;右乘,λ乘A 的各列元素;i i ⎪⎪λn⎭-1r⎛1⎫⎛1⎫⎪ ⎪③、对调两行或两列,符号E (i ,j ),且E (i ,j )-1=E (i ,j ),例如: 1⎪= 1⎪; 1⎪1⎪⎝⎭⎝⎭-1⎛1⎛1⎫11 ⎪-1④、倍乘某行或某列,符号E (i (k )),且E (i (k ))=E (i ()),例如: k ⎪= k k ⎪1 ⎝⎭⎝-1⎫⎪⎪(k ≠0);⎪1⎪⎭k ⎫-k ⎫⎛1⎛1 ⎪ ⎪=1⑤、倍加某行或某列,符号E (ij (k )),且E (ij (k ))-1=E (ij (-k )),如: 1⎪ ⎪(k ≠0);1⎪1⎪⎝⎭⎝⎭17.矩阵秩的基本性质:①、0≤r (A m ⨯n)≤min(m ,n );②、r (A T )=r (A );③、若AB ,则r (A )=r (B );④、若P 、Q 可逆,则r (A )=r (PA )=r (AQ )=r (PAQ );(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、max(r (A ),r (B ))≤r (A ,B )≤r (A )+r (B );(※)⑥、r (A +B )≤r (A )+r (B );(※)⑦、r (AB )≤min(r (A ),r (B ));(※)⑧、如果A 是m ⨯n 矩阵,B 是n ⨯s 矩阵,且AB =0,则:(※)Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组AX =0解(转置运算后的结论);Ⅱ、r (A )+r (B )≤n⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则r (AB )≥r (A )+r (B )-n ;18.三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)⨯行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;⎛1a c ⎫⎪②、型如 01b ⎪的矩阵:利用二项展开式; 001⎪⎝⎭二项展开式:(a +b )=C a +C a b +注:Ⅰ、(a +b )n 展开后有n +1项;n (n -1)(n -m +1)n !=123m m !(n -m )!m nn -mnnnn1nn -11+C am nn -mb +m +Cn -11n -1na b m m n -m ;+C b=∑Cna b n nnm =0n Ⅱ、C nm=0n C n=C n=1Ⅲ、组合的性质:C =C Cm n +1=C +Cm nm -1n∑Cr =0n r n=2nr r -1rC n=nC n -1;③、利用特征值和相似对角化:19.伴随矩阵:⎧n⎪①、伴随矩阵的秩:r (A *)=⎨1⎪0⎩r (A )=n r (A )=n -1;r (A )<n -1②、伴随矩阵的特征值:③、A *=A A -1、A *=A Aλ(AX =λX ,A *=A A -1⇒A *X =AλX );n -120.关于A 矩阵秩的描述:①、r (A )=n ,A 中有n 阶子式不为0,n +1阶子式全部为0;(两句话)②、r (A )<n ,A 中有n 阶子式全部为0;③、r (A )≥n ,A 中有n 阶子式不全为0;21.线性方程组:Ax =b ,其中A 为m ⨯n 矩阵,则:①、m 与方程的个数相同,即方程组Ax =b 有m 个方程;②、n 与方程组得未知数个数相同,方程组Ax =b 为n 元方程;22.线性方程组Ax =b 的求解:①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解;③、特解:自由变量赋初值后求得;23.由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程:⎧a 11x 1+a 12x 2++a 1n x n =b 1⎪a x +a x ++a x =b ⎪2n n 2①、⎨211222;⎪⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2++a nm x n =b n⎛a 11a 12 a a 22②、 21 ⎝a m 1am 2a 1n⎫⎛x 1⎫⎛b 1⎫⎪⎪ ⎪a 2n ⎪x 2⎪ b 2⎪=⇔Ax =b (向量方程,A 为m ⨯n 矩阵,m 个方程,n 个未知数)⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪a mn ⎭⎝x m ⎭⎝b m ⎭⎛x 1⎫⎛b 1⎫ ⎪ ⎪x b 2a n ) ⎪=β(全部按列分块,其中β= 2⎪); ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝x n ⎭⎝b n ⎭③、(a1a2④、a 1x 1+a 2x 2++a nx n=β(线性表出)⑤、有解的充要条件:r (A )=r (A ,β)≤n (n 为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性24.m 个n 维列向量所组成的向量组A :α1,α2,,αm构成n ⨯m 矩阵A =(α1,α2,,αm);T m 个n 维行向量所组成的向量组B :β1T ,β2,⎛β1T ⎫T ⎪βT ,βm构成m ⨯n 矩阵B = 2⎪; ⎪ βT ⎪⎪⎝m ⎭含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;25.①、向量组的线性相关、无关⇔Ax =0有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出(线性方程组)⇔Ax =b 是否有解;③、向量组的相互线性表示(矩阵方程)⇔AX =B 是否有解;26.矩阵A m ⨯n与B l ⨯n行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax =0和Bx =0同解;(P101例14)27.r (A T A )=r (A );(P 101例15)28.n 维向量线性相关的几何意义:⇔α=0;①、α线性相关②、α,β线性相关⇔α,β坐标成比例或共线(平行);③、α,β,γ线性相关⇔α,β,γ共面;29.线性相关与无关的两套定理:若α1,α2,,αs 线性相关,则α1,α2,,αs,αs +1必线性相关;若α1,α2,,αs线性无关,则α1,α2,,αs -1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若r 维向量组A 的每个向量上添上n -r 个分量,构成n 维向量组B :若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;30.向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示,且A 线性无关,则r ≤s (二版P 74定理7);向量组A 能由向量组B 线性表示,则r (A )≤r (B );(P 86定理3)向量组A 能由向量组B 线性表示⇔AX =B 有解;⇔r (A )=r (A ,B )(P 85定理2)向量组A 能由向量组B 等价⇔r (A )=r (B )=r (A ,B )(P 85定理2推论),P l,使A =P 1P2P l;31.方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵P 1,P 2,r①、矩阵行等价:A ~B ⇔PA =B (左乘,P 可逆)⇔Ax =0与Bx =0同解②、矩阵列等价:A ~B ⇔AQ =B (右乘,Q 可逆);③、矩阵等价:A ~B ⇔PAQ =B (P 、Q 可逆);对于矩阵A m ⨯n 与B l ⨯n:①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等;②、若A 与B 行等价,则Ax =0与Bx =0同解,且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;④、矩阵A 的行秩等于列秩;若A m ⨯s B s ⨯n =C m ⨯n,则:①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵;②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,A T 为系数矩阵;(转置)齐次方程组Bx =0的解一定是ABx =0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;①、ABx =0只有零解⇒Bx =0只有零解;②、Bx =0有非零解⇒ABx =0一定存在非零解;设向量组B n ⨯r:b 1,b 2,,b r可由向量组A n ⨯s :a 1,a 2,,a s线性表示为:(P 110题19结论)(b 1,b 2,,b r)=(a 1,a 2,,a s)K (B =AK )c 32.33.34.35.其中K 为s ⨯r ,且A 线性无关,则B 组线性无关⇔r (K )=r ;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关性)(必要性:r =r (B )=r (AK )≤r (K ),r (K )≤r ,∴r (K )=r ;充分性:反证法)注:当r =s 时,K 为方阵,可当作定理使用;36.①、对矩阵A m ⨯n,存在Q n ⨯m,AQ =E m⇔r (A )=m 、Q 的列向量线性无关;(P 87)②、对矩阵A m ⨯n ,存在P n ⨯m ,PA =E n⇔r (A )=n 、P 的行向量线性无关;37.α1,α2,,αs线性相关⇔存在一组不全为0的数k 1,k 2,,k s,使得k 1α1+k 2α2++k s αs=0成立;(定义)⎛x 1⎫ ⎪x ,αs ) 2⎪=0有非零解,即Ax =0有非零解; ⎪ ⎪⎝x s ⎭⇔(α1,α2,⇔r (α1,α2,,αs)<s ,系数矩阵的秩小于未知数的个数;38.设m ⨯n 的矩阵A 的秩为r ,则n 元齐次线性方程组Ax =0的解集S 的秩为:r (S )=n -r ;39.若η*为Ax =b 的一个解,ξ1,ξ2,,ξn -r为Ax =0的一个基础解系,则η*,ξ1,ξ2,,ξn -r线性无关;(P111题33结论)5、相似矩阵和二次型40.正交矩阵⇔A T A =E 或A -1=A T (定义),性质:①、A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即a i T a j=⎨⎧1⎩0i =j i ≠j(i ,j =1,2,n );②、若A 为正交矩阵,则A -1=A T 也为正交阵,且A =±1;③、若A 、B 正交阵,则AB 也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;41.施密特正交化:(a 1,a 2,,a r)b 1=a 1;b 2=a 2-[b 1,a 2]b 1[b 1,b 1]b r =a r -[b 1,a r ][b ,a ]b 1-2r b 2-[b 1,b 1][b 2,b 2]-[b r -1,a r ]b r -1;[b r -1,b r -1]42.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;43.①、A 与B 等价⇔A 经过初等变换得到B ;⇔PAQ =B ,P 、Q 可逆;⇔r (A )=r (B ),A 、B 同型;②、A 与B 合同⇔C T AC =B ,其中可逆;⇔x T Ax 与x T Bx 有相同的正、负惯性指数;③、A 与B 相似⇔P -1AP =B ;44.相似一定合同、合同未必相似;若C 为正交矩阵,则C T AC =B ⇒A B ,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);45.A 为对称阵,则A 为二次型矩阵;46.n 元二次型x T Ax 为正定:⇔A 的正惯性指数为n ;⇔A 与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使C T AC =E ;⇔A 的所有特征值均为正数;⇔A 的各阶顺序主子式均大于0;⇒a ii>0,A >0;(必要条件)。

高等数学线性代数公式大全

高等数学线性代数公式大全

Aij (1)i j Mij
4. 设 n 行列式 D :
n ( n 1)
将 D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为 D1 ,则 D1 (1) 2 D ;
n ( n 1)
将 D 顺时针或逆时针旋转 90o ,所得行列式为 D2 ,则 D2 (1) 2 D ;
将 D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为 D3 ,则 D3 D ;
1
k 1 1
k
⑤、倍加某行或某列,符号
E (ij (k ))
,且
E (ij (k ))1

E (ij (k ))
,如:


1



1
1

(k

0)

1
5. 矩阵秩的基本性质: ①、 0 r( Amn ) min(m, n) ;
②、 r( AT ) r( A) ;
②、齐次解为对应齐次方程组的解;
③、特解:自由变量赋初值后求得;
11. 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程:
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
①、
a21Lx1L
a22 x2 L LLLL
L
a2n xn b2 LLLL
r( A) r( A, B) ( P85 定理 2) 向量组 A 能由向量组 B 等价 r( A) r(B) r( A, B) ( P85 定理 2 推论)
将 D 主副角线翻转后,所得行列式为 D4 ,则 D4 D ;
5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
n ( n 1)
②、副对角行列式:副对角元素的乘积 (1) 2 ;

线性代数公式大全--最全最完美

线性代数公式大全--最全最完美

线性代数公式大全——最新修订1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式;2. 代数余子式的性质:①、ij A 和ij a 的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D :将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)21(1)n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D ,则(1)22(1)n n D D -=-;将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =;将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;⑤、拉普拉斯展开式:A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;7. 证明0A =的方法:①、A A =-; ②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵:⇔0A ≠(是非奇异矩阵); ⇔()r A n =(是满秩矩阵) ⇔A 的行(列)向量组线性无关; ⇔齐次方程组0Ax =有非零解; ⇔n b R ∀∈,Ax b =总有唯一解; ⇔A 与E 等价;⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;⇔A 的特征值全不为0; ⇔T A A 是正定矩阵;⇔A 的行(列)向量组是n R 的一组基;⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵;2. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立;3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、B 可逆:若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则: Ⅰ、12s A A A A =;Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(主对角分块) ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) ⑤、11111A O A O C B B CA B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ⇔ ; 2. 行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若(,)(,)rA E E X ,则A 可逆,且1X A -=;②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即:1(,)(,)cA B E A B - ~ ;③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)rA b E x ,则A 可逆,且1x A b -=; 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ,左乘矩阵A ,i λ乘A 的各行元素;右乘,iλ乘A 的各列元素;③、对调两行或两列,符号(,)E i j ,且1(,)(,)E i j E i j -=,例如:1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;④、倍乘某行或某列,符号(())E i k ,且11(())(())E i k E i k -=,例如:1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ⑤、倍加某行或某列,符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-,如:11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;5. 矩阵秩的基本性质:①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤;②、()()T r A r A =; ③、若AB ,则()()r A r B =;④、若P 、Q 可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+;(※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+;(※) ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;(※)⑧、如果A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,且0AB =,则:(※) Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解(转置运算后的结论);Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则()()()r AB r A r B n ≥+-;6. 三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)⨯行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑;注:Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项;Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质:111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ;③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:①、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩;②、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =;③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述:①、()r A n =,A 中有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;(两句话)②、()r A n <,A 中有n 阶子式全部为0; ③、()r A n ≥,A 中有n 阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax b =,其中A 为m n ⨯矩阵,则:①、m 与方程的个数相同,即方程组Ax b =有m 个方程;②、n 与方程组得未知数个数相同,方程组Ax b =为n 元方程; 10. 线性方程组Ax b =的求解:①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程:①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩;②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(向量方程,A 为m n ⨯矩阵,m 个方程,n 个未知数) ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(全部按列分块,其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭); ④、1122n n a x a x a x β+++=(线性表出)⑤、有解的充要条件:()(,)r A r A n β=≤(n 为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A :12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα;m 个n 维行向量所组成的向量组B :12,,,T TTmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解;(矩阵方程)3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax =和0Bx =同解;(101P 例14)4. ()()T r A A r A =;(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义:①、α线性相关⇔0α=; ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线(平行);③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若12,,,s ααα线性相关,则121,,,,s s αααα+必线性相关;若12,,,s ααα线性无关,则121,,,s ααα-必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B :若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示,且A 线性无关,则r s ≤(二版74P 定理7);向量组A 能由向量组B 线性表示,则()()r A r B ≤;(86P 定理3) 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解; ()(,)r A r A B ⇔=(85P 定理2)向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==(85P 定理2推论)8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ,使12l A P P P =;①、矩阵行等价:~rA B PA B ⇔=(左乘,P 可逆)0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价:~cA B AQ B ⇔=(右乘,Q 可逆); ③、矩阵等价:~A B PAQ B ⇔=(P 、Q 可逆); 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯:①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等;②、若A 与B 行等价,则0Ax =与0Bx =同解,且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩; 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=,则:①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵;②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵;(转置)11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明; ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解;②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解;12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为:(110P 题19结论)1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =(B AK =)其中K 为s r ⨯,且A 线性无关,则B 组线性无关()r K r ⇔=;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关性) (必要性:()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=;充分性:反证法)注:当r s =时,K 为方阵,可当作定理使用;13. ①、对矩阵m n A ⨯,存在n m Q ⨯,m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关;(87P ) ②、对矩阵m n A ⨯,存在n m P ⨯,n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关; 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ,使得11220s s k k k ααα+++=成立;(定义)⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解,即0Ax =有非零解;⇔12(,,,)s r s ααα<,系数矩阵的秩小于未知数的个数;15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为:()r S n r =-;16. 若*η为Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系,则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关;(111P 题33结论)5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=(定义),性质:①、A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩;②、若A 为正交矩阵,则1T A A -=也为正交阵,且1A =±; ③、若A 、B 正交阵,则AB 也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:12(,,,)r a a a11b a =;1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ;⇔=PAQ B ,P 、Q 可逆; ()()⇔=r A r B ,A 、B 同型;②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ,其中可逆; ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数; ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ; 5. 相似一定合同、合同未必相似;若C 为正交矩阵,则T C AC B =⇒A B ,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6. A 为对称阵,则A 为二次型矩阵; 7. n 元二次型T x Ax 为正定:A ⇔的正惯性指数为n ;A ⇔与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C AC E =; A ⇔的所有特征值均为正数; A ⇔的各阶顺序主子式均大于0;0,0ii a A ⇒>>;(必要条件)。

线性代数重要公式、定理大全

线性代数重要公式、定理大全

1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式;2. 代数余子式的性质:①、ij A 和ij a 的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D :将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)21(1)n n D D -=-;(1)22(1)n n D D -=-将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D ,则; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;⑤、拉普拉斯展开式:A O A C A BCB O B==、(1)m n CA OA A BB OB C==-⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;7. 证明0A =的方法:①、A A =-; ②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵:⇔0A ≠(是非奇异矩阵); ⇔()r A n =(是满秩矩阵) ⇔A 的行(列)向量组线性无关;⇔齐次方程组0Ax =有非零解;⇔n b R ∀∈,Ax b =总有唯一解; ⇔A 与E 等价;⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; ⇔A 的特征值全不为0; ⇔T A A 是正定矩阵;⇔A 的行(列)向量组是n R 的一组基; ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵;2. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立;3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、B 可逆:若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则: Ⅰ、12s A A A A =;Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(主对角分块) ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ⇔ ; 2. 行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若(,)(,)rA E E X ,则A 可逆,且1X A -=;②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即:1(,)(,)cA B E A B - ~ ;③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)rA b E x ,则A 可逆,且1x A b -=; 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ,左乘矩阵A ,i λ乘A 的各行元素;右乘,iλ乘A 的各列元素;③、对调两行或两列,符号(,)E i j ,且1(,)(,)E i j E i j -=,例如:1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;④、倍乘某行或某列,符号(())E i k ,且11(())(())E i k E i k -=,例如:1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ⑤、倍加某行或某列,符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-,如:11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;5. 矩阵秩的基本性质:①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤;②、()()T r A r A =; ③、若AB ,则()()r A r B =;④、若P 、Q 可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+;(※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+;(※) ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;(※)⑧、如果A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,且0AB =,则:(※) Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解(转置运算后的结论);Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则()()()r AB r A r B n ≥+-;6. 三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)⨯行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑;注:Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项;Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质:111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C CCC CCrC nC ;③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:①、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩; ②、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =;③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述:①、()r A n =,A 中有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;(两句话)②、()r A n <,A 中有n 阶子式全部为0; ③、()r A n ≥,A 中有n 阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax b =,其中A 为m n ⨯矩阵,则:①、m 与方程的个数相同,即方程组Ax b =有m 个方程;②、n 与方程组得未知数个数相同,方程组Ax b =为n 元方程; 10. 线性方程组Ax b =的求解:①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程:①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩;②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(向量方程,A 为m n ⨯矩阵,m 个方程,n 个未知数) ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(全部按列分块,其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭); ④、1122n n a x a x a x β+++=(线性表出)⑤、有解的充要条件:()(,)r A r A n β=≤(n 为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A :12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα;m 个n 维行向量所组成的向量组B :12,,,T TTmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 是否有AX B ⇔=解;(矩阵方程)3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax =和0Bx =同解;(101P 例14)4. ()()T r A A r A =;(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义:①、α线性相关 ⇔0α=;②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线(平行);③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若12,,,s ααα线性相关,则121,,,,s s αααα+必线性相关;若12,,,s ααα线性无关,则121,,,s ααα-必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B :若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示,且A 线性无关,则r s ≤(二版74P 定理7);向量组A 能由向量组B 线性表示,则()()r A r B ≤;(86P 定理3) 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解; ()(,)r A r A B ⇔=(85P 定理2)向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==(85P 定理2推论)8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ,使12l A P P P =;①、矩阵行等价:~rA B PA B ⇔=(左乘,P 可逆)0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价:~cA B AQ B ⇔=(右乘,Q 可逆); ③、矩阵等价:~A B PAQ B ⇔=(P 、Q 可逆); 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯:①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等;②、若A 与B 行等价,则0Ax =与0Bx =同解,且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩; 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=,则:①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵; ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵;(转置)11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解;②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解;12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为:(110P 题19结论)1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =(B AK =)其中K 为s r ⨯,且A 线性无关,则B 组线性无关()r K r ⇔=;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关性) (必要性:()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=;充分性:反证法)注:当r s =时,K 为方阵,可当作定理使用;13. ①、对矩阵m n A ⨯,存在n m Q ⨯,m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关;(87P )②、对矩阵m n A ⨯,存在n m P ⨯,n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关;14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ,使得11220s s k k k ααα+++=成立;(定义)⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解,即0Ax =有非零解;⇔12(,,,)s r s ααα<,系数矩阵的秩小于未知数的个数;15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为:()r S n r =-;16. 若*η为Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系,则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关;(111P 题33结论)5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=(定义),性质:①、A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩;②、若A 为正交矩阵,则1T A A -=也为正交阵,且1A =±; ③、若A 、B 正交阵,则AB 也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:12(,,,)r a a a11b a =;1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ;⇔=PAQ B ,P 、Q 可逆;()()⇔=r A r B ,A 、B 同型;②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ,其中可逆; ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数; ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ; 5. 相似一定合同、合同未必相似;若C 为正交矩阵,则T C AC B =⇒A B ,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6. A 为对称阵,则A 为二次型矩阵; 7. n 元二次型T x Ax 为正定:A ⇔的正惯性指数为n ;A ⇔与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C AC E =; A ⇔的所有特征值均为正数;A ⇔的各阶顺序主子式均大于0;0,0ii a A ⇒>>;(必要条件)。

线性代数公式大全

线性代数公式大全

⎛ a11 a12 L a1n ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
②、
⎜ ⎜
a21
a22
L
a2 n
⎟⎜ ⎟⎜
x2
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
b2
⎟ ⎟

Ax
=
b (向量方程,
A为m×n
矩阵,
m
个方程,
n 个未知数)
⎜ M M O M ⎟⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟
⎜ ⎝ am1
am2
L
⎟⎜ ⎟ amn ⎠⎝ xm ⎠
⎜⎟ ⎝ bm ⎠
1
⇔ A 的特征值全不为 0;
⇔ AT A 是正定矩阵;
⇔ A 的行(列)向量组是 Rn 的一组基;
⇔ A 是 Rn 中某两组基的过渡矩阵;
2. 对于 n 阶矩阵 A : AA* = A* A = A E 无条件恒成立;
3. ( A−1)* = ( A*)−1 ( AB)T = BT AT
( A−1)T = ( AT ) −1 ( AB)* = B* A*
O O
⎞ ⎟ ⎠m×
n

等价类:所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵 A 、 B ,若 r(A) = r(B) ⇔ A B ;
2. 行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非 0 元素必须为 1;
③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0;
A1−1
Ⅱ、
A−1
=
⎜ ⎜
A2−1
O
⎞ ⎟
⎟; ⎟
⎜⎜⎝
As−1 ⎟⎟⎠
②、
⎛ ⎜ ⎝
A O
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

线性代数公式大全——最新修订1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式;2. 代数余子式的性质:①、ij A 和ij a 的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D :将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)21(1)n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D ,则(1)22(1)n n D D -=-;将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =;将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;⑤、拉普拉斯展开式:A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;7. 证明0A =的方法:①、A A =-; ②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵:⇔0A ≠(是非奇异矩阵); ⇔()r A n =(是满秩矩阵) ⇔A 的行(列)向量组线性无关; ⇔齐次方程组0Ax =有非零解; ⇔n b R ∀∈,Ax b =总有唯一解; ⇔A 与E 等价;⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;⇔A 的特征值全不为0; ⇔T A A 是正定矩阵;⇔A 的行(列)向量组是n R 的一组基;⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵;2. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立;3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、B 可逆:若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则: Ⅰ、12s A A A A =;Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(主对角分块) ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) ⑤、11111A O A O C B B CA B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ⇔ ; 2. 行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若(,)(,)rA E E X ,则A 可逆,且1X A -=;②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即:1(,)(,)cA B E A B - ~ ;③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)rA b E x ,则A 可逆,且1x A b -=; 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ,左乘矩阵A ,i λ乘A 的各行元素;右乘,iλ乘A 的各列元素;③、对调两行或两列,符号(,)E i j ,且1(,)(,)E i j E i j -=,例如:1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;④、倍乘某行或某列,符号(())E i k ,且11(())(())E i k E i k -=,例如:1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ⑤、倍加某行或某列,符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-,如:11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;5. 矩阵秩的基本性质:①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤;②、()()T r A r A =; ③、若AB ,则()()r A r B =;④、若P 、Q 可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+;(※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+;(※) ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;(※)⑧、如果A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,且0AB =,则:(※) Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解(转置运算后的结论);Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则()()()r AB r A r B n ≥+-;6. 三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)⨯行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑;注:Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项;Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质:111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ;③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:①、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩;②、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =;③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述:①、()r A n =,A 中有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;(两句话)②、()r A n <,A 中有n 阶子式全部为0; ③、()r A n ≥,A 中有n 阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax b =,其中A 为m n ⨯矩阵,则:①、m 与方程的个数相同,即方程组Ax b =有m 个方程;②、n 与方程组得未知数个数相同,方程组Ax b =为n 元方程; 10. 线性方程组Ax b =的求解:①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程:①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩;②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(向量方程,A 为m n ⨯矩阵,m 个方程,n 个未知数) ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(全部按列分块,其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭); ④、1122n n a x a x a x β+++=(线性表出)⑤、有解的充要条件:()(,)r A r A n β=≤(n 为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A :12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα;m 个n 维行向量所组成的向量组B :12,,,T TTmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解;(矩阵方程)3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax =和0Bx =同解;(101P 例14)4. ()()T r A A r A =;(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义:①、α线性相关⇔0α=; ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线(平行);③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若12,,,s ααα线性相关,则121,,,,s s αααα+必线性相关;若12,,,s ααα线性无关,则121,,,s ααα-必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B :若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示,且A 线性无关,则r s ≤(二版74P 定理7);向量组A 能由向量组B 线性表示,则()()r A r B ≤;(86P 定理3) 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解; ()(,)r A r A B ⇔=(85P 定理2)向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==(85P 定理2推论)8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ,使12l A P P P =;①、矩阵行等价:~rA B PA B ⇔=(左乘,P 可逆)0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价:~cA B AQ B ⇔=(右乘,Q 可逆); ③、矩阵等价:~A B PAQ B ⇔=(P 、Q 可逆); 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯:①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等;②、若A 与B 行等价,则0Ax =与0Bx =同解,且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩; 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=,则:①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵;②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵;(转置)11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明; ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解;②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解;12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为:(110P 题19结论)1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =(B AK =)其中K 为s r ⨯,且A 线性无关,则B 组线性无关()r K r ⇔=;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关性) (必要性:()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=;充分性:反证法)注:当r s =时,K 为方阵,可当作定理使用;13. ①、对矩阵m n A ⨯,存在n m Q ⨯,m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关;(87P ) ②、对矩阵m n A ⨯,存在n m P ⨯,n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关; 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ,使得11220s s k k k ααα+++=成立;(定义)⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解,即0Ax =有非零解;⇔12(,,,)s r s ααα<,系数矩阵的秩小于未知数的个数;15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为:()r S n r =-;16. 若*η为Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系,则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关;(111P 题33结论)5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=(定义),性质:①、A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩;②、若A 为正交矩阵,则1T A A -=也为正交阵,且1A =±; ③、若A 、B 正交阵,则AB 也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:12(,,,)r a a a11b a =;1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ;⇔=PAQ B ,P 、Q 可逆; ()()⇔=r A r B ,A 、B 同型;②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ,其中可逆; ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数; ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ; 5. 相似一定合同、合同未必相似;若C 为正交矩阵,则T C AC B =⇒A B ,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6. A 为对称阵,则A 为二次型矩阵; 7. n 元二次型T x Ax 为正定:A ⇔的正惯性指数为n ;A ⇔与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C AC E =; A ⇔的所有特征值均为正数; A ⇔的各阶顺序主子式均大于0;0,0ii a A ⇒>>;(必要条件)。

相关文档
最新文档