一元二次方程中的整体思想(换元法)

一元二次方程中的整体思想（换元法）

一、内容概述

所谓整体思想就是从问题整体性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思想之一。最具体的代表就是换元法的运用。

二、例题解析

初中阶段，在各年级的数学代数学习中，时常会碰到换元法。何为换元法呢？解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低次，化无理为有理。

（一）换元法在解方程中的应用

我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而我们会碰到这样的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。

1.利用倒数关系换元

例1 解分式方程：224343x x x x

+=-- 分析：此分式方程若两边同时去分母的话，会产生高次方程，比较复杂难解。但是若稍加整理成2243403x x x x -+

+=-，则可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单了。

解：移项整理得 2243403x x x x -+

+=- 设23x x y -=，则原方程可化为440y y

++= 去分母得2440y y ++=

解得122y y ==-

当2y =-时，232x x -=- 解得11x = 22x =

经检验：11x = 22x =是原方程的根

所以，原方程的根为11x = 22x =

练习1 103

=

2.利用平方关系进行换元

例2

解方程：226x x +-=

分析：代数式22x x +

y =，则原方程可化为256y y -=

解得16y =， 21y =-

当6y =

6= 解得14x = 292

x =- 当1y =-

1=-， 此方程无实数根 经检验：14x = 292

x =-

是原方程的根 所以，原方程的根为14x = 292x =- 练习2

解方程：2265x x --=

分析：如果这个方程两边平方，那么就会得到一个一元四次方程，但本题的2x 项与x 的一次项，系数分别成比例，利用换元法可化成一个一元二次方程

3.利用对称关系换元 例3

解方程组：2252616

x xy y =+-=⎪⎩ 分析：将第二个方程左边分解因式可得()()22316x y x y +-=，

a =

，

b =，那么原方程组可化为简单的对称方程组22516a b a b +=⎧⎨=⎩

4.均值换元

例4 分解因式()()2274784x x x x -+-++

分析：初步观察此代数式，似乎很难很快找到因式分解的方法，但仔细琢磨，发现两个二次三项式很“相似”，不妨可以设276x x a -+=，解题步骤如下：

解：设276x x a -+=，则

原式=()()()()()222

222247616a a a x x x x -++==-+=-- 当然换元法在因式分解中还有其它的应用，比方说局部换元、和积换元、和差换元等。

5.整体代入

据已知字母的值，先求其一中间代数式的值，再将该代数式的值，整体代入式中求值。

例5

已知1x =，那么2232421

x x x x --=+-

解：因为1x =， (

)221x +=

，所以222x x += 因此，原式=

()()22322322121

21x x x x -+-•==--+- 习题部分

1.换元法解方程：22114x x x x +

++=

2.因式分解：()()2232

7121x x x x -+-++

3.解分式方程组：518122312122x y y x x y x y

⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=⎪+-⎩

4.

解无理方程：226x x +-=

5.已知四个连续的整数为()()(),1,2,3m m m m +++，试说明这四个整数的积加上1， 是完全平方数

6.已知

()()()214b c a b c a -=--，且0a ≠，求b c a +的值

7.甲、乙、丙三种货物，购买甲3件，乙7件，丙1件，需要3.15元；购买甲4件，乙10件，丙1件，需要4.20元；现各购买1件，需要多少元？