非参数假设检验方法

再如，某工厂制造一批骰子，声称 它是均匀的.
也就是说，在投掷中，出现1点， 2点，…，6点的概率都应是1/6.
为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷若干次，统计 各点出现的频率与1/6的差距.
问题是：得到的数据能否说明“骰子均匀”的假设
是可信的？
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解决这类问题的工具是英国统计学家K.皮尔逊在1900年
变量来近似描述 . 也就是说，我们可以假设每年爆发战争次 数分布X近似泊松分布.
现在的问题是：上面的数据能否证实X 具有泊松分布的假设
是正确的？
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又如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检查，抽取100 个钟作试验，拨准后隔24小时以后进行检查，将每个钟的 误差（快或慢）按秒记录下来.
问该厂生产的钟的误差是否服从正态分布？
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例如，从1500到1931年的432年间，每年爆发战争的 次数可以看作一个随机变量，椐统计，这432年间共爆发 了299次战争，具体数据如下:
战争次数X 发生 X次战争的年数
0
223
1
142
2
48
3
15
4
4
在概率论中，大家对泊松分布产生的一般条件已有所了
解，容易想到，每年爆发战争的次数，可以用一个泊松随机
定理2 （R.A.Fisher）
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(3) 若X的分布函数F(x)的具有明确表达式F0(x;)，但含 r 个
在前面的课程中，我们已经了解了假设检验的基本思 想，并讨论了当总体分布为正态时，关于其中未知参数的 假设检验问题 .
然而可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并 不知道，要求我们直接对总体分布形式提出种种假设，然 后利用样本信息对假设进行检验。
在统计学中把不依赖于分布形式的统计方法称为非参数 统计。对总体的分布形式的检验就是非参数检验。
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(3) 若X的分布函数F(x)的具有明确表达式F0(x;)，但含 r 个
未知参数。根据样本信息推断X的分布函数是否为F0(x). 第一步： 由样本进行参数的点估计后，将参数估计值代入分
布函数中，使得分布函数成为已知函数F0(x;) 。
第二步： 仿造情形 (2) 分组离散。
令
第三步： 其中 m 为分组数，r 为分布函数中待估参数数.
为了进行检验，还必须知道其分布，否则进行不了
检验。
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类似于以前的检验方法，取一个知道分布标准化的度量。 为此在1900年，英国统计学家 Karl Pearson 首先提出
从该统计量直观上判断有，
或 2
m
i 1
ni 2 npi
n
为皮尔逊统计量
另外，用该统计量对总体分布律进行检验，还必须知 道其分布。 Pearson给出了其渐近分布。 上 页 下 页 返 回
发表的一篇文章中引进的所谓 2检验法.
这是一项很重要的工作，不少人把它视 为近代统计学的开端。
2检验法是在总体X 的分布未知时，
根据来自总体的样本，检验关于总体分布 的假设的一种检验方法。
K.皮尔逊
本章只介绍 2拟合优度检验、柯尔莫哥洛夫以及
斯米尔诺夫检验、偏度峰度检验。
除此还有：独立性、符号检验、游程检验、秩和检验等等。
抽取次数X 1
2
3
4 5
试验累计数 43 31 15 6
5
解 若两色球个数相等，则每次取到白球的概率为1/2 以抽取次数X为考查对象，则X服从几何分布，即
计算得
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此是 m = 5, n1 = 43, n2= 31, n3 =15, n4 = 6,n5= 5， n=100
计算有
结论：接受H0
定理1
则统计量
2
m
(ni
i 1
npi0 npi0
)2渐近服从自由度为m
1的
2分布.
由此可以建立 H0 的拒绝域
只要给定一组样本观察值，代入检验统计量计算后，就 能得出结论。
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例1 某商场为了研究顾客对一类商品的某三种品牌商品的喜 好比例，以便为下次进货提供较科学的依据。现随机观 察购买此商品的150名顾客，并记录下其所买的品牌，统 计人数如下：
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一、2拟合优度检验
适用范围广：一个离散、连续、正态总体都适用。
1、多项分布的2检法 离散总体
不失一般性,设X的可能取值为1,2,3, ,m,且X服从多项分布.
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对一次抽样来说，
现在对总体X进行假设，即对X的分布律进行假设
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由于频率是概率的近似表现， 那么当容量 n 较大时，
由于6.52 > 5.991 故有理由拒绝H0 认为顾客对此三种品牌的商品喜好确实存在着显著的差异.
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例2 64只某种杂交的几内亚猪的后代，其中34只红色，10只 黑色，20只白色，根据遗传模型，它们之间的比例应为 9:3:4，问以上数据在0.05的水平下体现的与遗传模型是否 吻合。 认为基本吻合
品牌
甲
乙
丙
所购买的人数 61
53
36
依据这些数据，是否可以断定顾客对此三种品牌的商品喜好
确实存在着显著的差异？( = 0.05 )
解 若对此三种品牌的商品喜好确实不存在着显著的差异
就意味着，对三种品牌的商品喜好比例 p1, p2 , p3相等。
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此是 m = 3， n1 = 61， n2= 53， n3 = 36，n=150
解 若基本吻合，则p1=9/16， p2 =3/16 ，p3 =4/16
此是 m = 3， n1 = 34， n2= 10， n3 = 20，n=64
ˆ
2
(34
64196)2
64
9 16
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(10
64 136)2
64
3 16
(20
64 146)2
64
4 16
13 9
5.991
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例3 在一个暗盒中存放有白色与黑色两色乒乓球，问该盒中的 白、黑球的个数是否相等？为此作以下试验，用不返回抽 取发式从此盒中取球，直到取出的球是白色球为止，并记 录下抽取的次数。共重复独立试验了100次，结果如下：
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例4 验证一枚骰子是否均匀。 电话号码的数字出现的概率等等问题。 采用分组离散化方法
若X的分布函数F(x)的具有明确表达式F0(x)，不含未知参数。 根据样本信息推断X的分布函数是否为F0(x).
第一步：
第二步：计算
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第三步：记数
第四步：检验 其中m为分组数
H0的拒绝域为 一般有 n > 50，npi > 5最好 npi >10，否则应重新分组。 使得npi > 5最好 npi >10.