史上最详细的光纤模式推导

史上最详细的光纤中的模式推导

前言

如果你是因为“史上最详细”这几个字来看这篇文章的，那可能会让您失望了，因为我只是想给我的文章起个霸气的名字，博取眼球。但倘若你不是特别忙的话，不妨读一读，也许会有收获。

波动光学-光纤波导模式理论推导

研究光学通常有两种方法——几何光学和波动光学，几何光学比较简单，画几根线，代几个公式，最复杂的可能解一个程函方程也能解决。相比而言，波动光学则比较复杂，里面涉及到数学和电磁学的东西比较多。本人的研究方向是光网络通信，因而本着实用主义的原则剖析整个光波导模式的推导过程。

如下图所示，这是光波导模式理论的推导逻辑。整个波动光学都是基于Maxwell方程组的，因而Maxwell方程也是此次推导的源头，由Maxwell方程组可推导出波动方程，结合边界条件可以求得场解的一般形式，然后再结合边界条件可以求得特征方程，解特征方程得传播常数，最后便可得到模场分布。过程有些许复杂，容我一一道来，以下推导以电场分量为例。

Maxwell方程组简化

先让我们花三秒钟一起膜拜一下Maxwell方程组：

(1)

由于光纤是无源介质，不存在自由电荷和传导电流，即，于是，Maxwell方程组可以简化成如下形式：

(2)

波动方程推导

明白推导的可以直接跳过，波动方程可直接由(2)式得到，对两边取旋度得

旋度和偏微分可以交换顺序（二者作用的对象不同，旋度针对空间坐标，而偏微分针对时间）：

(3)

D和E、H和B之间满足物质方程：

光纤是无磁介质，因而，P为感应电极化强度，不考虑非线性因素，通常可以简化为：

(5)式代入(3)式得：

又因为

其中（无源），因而

最后，得到波动方程：

亥姆赫兹方程推导

得到波动方程的过程我们通常称为电磁分离，也就是说把原本错综复杂的电磁关系变成了电场和磁场的单独关系。但是波动方程依旧很复杂，因为其场量既包括时间分量也包括空间分量，好在我们通常研究的是单色波，具有时谐电磁场的性质，因而，可以进一步进行时空分离，得到亥姆赫兹方程，需要指出的是，亥姆赫兹方程只是波动方程的一个特例。

假设

代入(8)式（简单的求导，不赘述），得：

通常令，k称为波数，最终得到亥姆赫兹方程：

分离变量法求解

由于光纤的圆柱对称特性，因而采用柱坐标求解比较方便，(10)式所表示的波动方程在柱坐标系下，可以表示为：

这里需要强调一点，因为和满足Maxwell方程组，因而6个分量其实只有2个是独立的，习惯上选择和作为独立分量。

关于的波动方程可以用分离变量求解，通解为（至于通解是怎么来的，这应该属于数学问题，这里可以不必深究）：

将通解(12)代入波动方程(11)，得：

这个方程就是总所周知的贝塞尔函数的微分方程，当然稍微不太一样，于是，就有了下面的一些简单变换：

首先，，当，（这个量其实是横向传播常数，在纤芯内这个量必须为整数，而在包层则为负数）。

有了上面的条件，可以定义：

最后，将定义(14)代入贝塞尔微分方程(13)，得到两个方程：

这个方程怎么解？我也不知道怎么解，不过贝塞尔已经帮我们解好了：

因为，这二者不能满足光纤传播条件，因而被舍去，同时，根据边界连续条件：

所以：

最后：

分割线

看到这里，你已经基本掌握了利用波动光学求解光纤中传导模式的方法，虽然复杂，但细细去看，并不算难，既然这个东西如此重要，何妨多花点时间看看。如果你已经看懂了上面的推导，那我们就继续。

本征值方程

上面(18)式是的通解，采用同样的办法可以求得的通解，但这其中仍然有一些不确定的

参数，如想要求这些参量，就要再一次用到边界条件：切向分量（、）在边界处连续。

根据边界条件（就是把代入电场和磁场通解中，然后对求偏微分），得到本征方程（亦成为特征值方程）：

本征值方程对每个整数有几个不同的解，习惯上把这些解用表示，其中都

为整数，每个本征值对应光纤所能支持的一种特定模式，通常分两种情况，分别求解该特征方程。

（1）当，也就是说电场或者磁场的轴向分量趋于0，这些模式类似于平面波导的横电（磁）模（TE或者TM）。

（2）当，光纤模式变为混合模，此时模式为或。

当然，要解这两个方程，比较复杂，这里不作求解，通常我们只是求截止频率，这里要用到宗量近似。