光纤模式理论讲义

功率流密度
ey (x, y) C1Jm (U)e jm 0 1 ey (x, y) C 2Km (W)e jm 1
2
a
Pcore 0 d 0 Szrdr
Pclad
2
0 d a Szrdr
Ht
0
ez
Et
hx An 0 0 ey
功率限制因子
Pcore
Pcore Pclad
或者
UJ J
m1 U mU
WKm1 W KmW
0
UJ J
m1 U m U
WK K
m1 W m W
0
四、LPy截止条件 W 0
UJm1 U JmU
WKm1 W KmW
0
WKm1W KmW
0
当m 0时
因为： J0 U 1 所以： UJ1 U 0
J
即, U 0 和J1 U 0
截特征 止方程
远离截 止方程 简并关
系
单模条 件
J1U K1W
UJ0 (U ) WK0 (W )
J0 (U) 0
J1U 0
J m1U Km1W
UJm (U ) WKm (W )
Jm (U) 0
J m1U 0
J m1U Km1W
UJm (U ) WKm (W )
m 1
标量模 LP01 LP11
矢量, 模 HE 11
模式总数 2
TE 01, TM 01 HE 21
6
LP02, LP21
HE 12 EH 11 HE 31
12
LP02 , LP31
EH 21 HE 41
16
LP21 , LP31
TE 02 TM 02 HE 22
20
LP12 , LP41
EH 31 HE 51
UJ m (U ) WK m (W )
模式截止条件： W=0, U=V
讨论截止特征方程
m 1
J0 U K0 W
UJ1 (U ) WK 1 (W )
K0
W 0
ln 2 W
Km0
W 0
1/
2m
1!
2 W
m
W 0
U 0
J0 U 1
J
m0
U
U 0
1 m!
U 2
m
所以有： UJ1 (U ) 0 此时有两个根 U 0和J1 (U ) 0
J0 U
TE0n TM0n
2.405 5.520
8.654
U
只有归一化频率V大于归一化截止频率时，才能使W>0，此时才能传输
V Vc
2
a
n12
n22
1/ 2
2 C
a
n12
n22
1/ 2
例：直径为8微米，芯区折射率为1.45，相对折射率差0.005，
输入波长为1.55微米，那么能否传输TE02阶模式？
(6)
试将光场模式分成两组偏振模式；一组(0,ey,ez,hx,hy,hz)模式，另一组为 (ex,0,ez,hx,hy,hz)模式。
如果这样分解合理，那么分完后的分量将依然满足波动方程。
设： ex 0 （1）、（2）和（3）变成
ey x
j 0hz
从而得到：
ez x
j 0hy
hz y
jhy
将（9）、（10）代入（6）得到
五、远离截止条件 W
J m U 0 U 0
J
LP01 : U 0 ~ 2.4048, LP02 : U 3.83 ~ 5.25,
LP11 : U 2.4048 ~ 3.83, LP12 : U 5.25 ~ 7.01,
基模为 LP01
2.405 3.83 Vc
LP01 LP11 LP02
hz
1
j 0
e y x
hy
1
0
y
2ey x
hx
ey
1
0
x
2ey x
ez
j
e y y
（7） （8）
1
y
ey y
ey
2 0
ey
1
x
ey x
整理得到：
（9）
y
ey y
x
ey x
n 2 k02
2
ey
0
（10）
2 0 n2k02
可见分量满足波动方程
所以可以分为一组模式（0,ey,ez,hx,hy,hz)
图中 HE 11模应是圆偏振模，与θ相关部分用 exp( jm表) 示，
但它可看作两个正交的线偏振模（ sin，m co）sm的 叠加， 两者具有相同的传播常数。图中采用线偏振的描述。
图2 几个低阶模的电磁场分布 （实线为电力线，虚线为磁力线，g 2 ）
•而TE 0 , TM 0 模与θ无关，是径向对称模。
t
eetz
ht
hz
jjjjzz0eehhzttz
j 0ht j et
证明线偏振模式 分解的合理性
e y x
ex y
j 0hz
(1)
hy x
hx y
jez
(4)
jex
e z x
j 0 hy
(2)
jhx
hz x
j e y (5)
hz y
jhy
jex
(3)
ez y
je y
j 0hx
m2
U 0 J1 (U ) 0
2.405
J m2 U c 0
J m1U 0
TE0n和TM0n简并；HE2n与TE0n和TM0n简并 HEm＋2，n和EHm，n简并
0 V 2.405 2.613 n1a 2
各模式的场图
图 1 几个低阶模的电磁场分布 （实线为电力线，虚线为磁力线，g 2 ）
同理，如果设 ey 0 就可以得到一组
(ex,0,ez,hx,hy,hz)模式
模式（0,ey,ez,hx,hy,hz)和(ex,0,ez,hx,hy,hz)分别用
LP y和LP x表示
考虑到光纤是弱导结构，所以光场二阶以上 的变化率可以忽略不计，此时两个模式就表 示成 (0,ey,ez,hx，0,hz) 和(ex,0,ez,0,hy,hz)
24

LP21 , LP03 , LP41
HE 13 EH 12 HE 32
30
五、导波模的截止参数和单模传输特性
K0
W 0
ln
2 W
1、TE和TM模式
K1W J1U 0
WK0 (W ) UJ0 (U )
Km0
W 0
1/
2m
1! 2
W
m
某个模式在什么情况下截止了呢？
W 2 k02n22 1/2 a
0
Vc＝U
U 0
J0 U 1
J
m0
U
U 0
1 m!
TM01
HE21
LP11
标量模与矢量模的比较
波动方程解 偏振态
标量模
在弱导条件下，分成两种线偏 振模式 LP
近似解－光纤横截面中任意方 向的分量，Et或(Ht)既不是 真实的z分量，也不是r、θ 分量
近似为线偏振，用LP表示；近 似为x偏振和y偏振
矢量模 TE TM EH HE
光纤中电磁场的z分量－严格解 Ez、Hz
U 2
m
模式截止时对应的特征方程
J1U K1W
UJ 0 (U ) WK 0 (W )
1
W 2 ln 2
W
所以
UJ 0 (U ) 0
因为 J1U 1/ 2
UJ0 (U ) U 0
所以U不能等于0
得到
J0 (U) 0
截止条件下的特征方程 J0 (U Vc ) 0 归一化截止频率
TE01
TE02
2、EHmn模式
J m1U 0 此模式位于 J m U 0和J m＋1U 0 根之间
3、HEmn模式
Jm1U 0
HE11在0到2.405之间取值，
而HEmn在 J m2 U 0和J m1U 0
之间取值。
两个根
TE0n TM0n
EHmn
HEmn
弱导条件 特征方程
V=2.35
2、 EH模式 J m1U K m1W 0
UJm (U ) WK m (W )
模式截止条件： W=0, U=V
Km0
W 0
1/
2m
1!
2 W
m
J
m0
U
U 0
1 m!
U 2
m
截止时对应的特征方程的第二式： Km1W
WK m (W )
所以有： UJm (U) 0 U 0orJm (U ) 0
•其它高阶模则是电场和磁场的复杂混合分布。
图3 几个低阶模的电磁场分布 （实线为电力线，虚线为磁力线，g 2 ）
5.3 标量法求解光纤
在弱导条件下，
n1 n2 1 n1
可以证明所有模式的纵向分量比横向分量小得多，也
就是说弱导光纤中横向电磁场占主要地位。
这种形态的波成为准TEM模式，在准TEM中纵向分量
S z exhy An 0 0 ey2
弱导光纤中模式的简并性和线偏振模的构造
当n1≈n2，每一组内矢量模式具有完全截止条件和远离截 止条件，这说明他们的传输常数的取值范围相同，此时 称为这些模式传输简并。
简并模式：
EH(m-1)n与EH(m+1)n TE0n，TM0n与HE2n
LPmn LP1n
Km 'W
jm cos a
Km W e jm
0
1 1
hx
C1
1
Jm
U e
jm
C2
2
Km W e
jm
0 1 1
hz
C1
j
0
cos
U a
Jm 'U
jmsin a
Jm U e
jm
C2
j
0
cos
W a
Km 'W
jmsin a
Km W e jm
0
1 1
三．特征方程 在弱导近似下，ey和ez 连续，得到
因为当U为0时，有
J m1 UJ m
1
2m 1
所以有 Jm (U) 0
所以U不能为0
截止特征方程 Jm (U) 0
J
J1
EH11
EH12
3.83171
7.01559 10.17347 13.32369
Vc
EH1n
m 1,2,3...
EHmn
n 1,2,3...
3 HE模式
J m1U K m1W
UJ m (U )
Jm2 U 2m 1Jm (U )
1 2(m 1)
Jm2 U 0
TE和TM
J0 (U) 0
弱导 近似
在截 止条
EH
Jm (U) 0
件下
的特
征方
程
U 0和J1 (U ) 0
HE
J m2 U 0
光纤的基模是HE11模式
六、远离截止状态
远离截止状态
V , W
W
二 标量模式的场分布
ey x, y ey r, ey re jm
X
ey (r) X
1 X
ey (r) X
1
m2 X2
ey (r)
0
ey (r) C1Jm (kcr) r a
ey (r) C2Kmacr r a
引入参量
其中 r
a
ey (r) C1Jm (U) 0 1
ey (r) C2KmW 1
Km
1 eW 2W
1、TE和TM模式
K1W J1U 0
WK0 (W ) UJ0 (U )
J1U UJ0 U
0
即
J1U 0
又因为截止条件 J0 U 0
因为导波模式存在于W从0当无穷大之间，所以导波模式将存在于
J
J0 U 0和J1U 0 这两个根之间
2.405 3.81 Vc
J0 U
UJ1 (U ) U 0
故U 0成立
即，截止频率 VC 0
对应的模式是HE11模式。 该模式不截止
m2
Jm1U Km1 W
UJ m (U ) WK m (W )
1 2(m 1)
单模光纤传输的模式 为HE11模式
J 'm
U
m U
Jm U
Jm1 U
m U
Jm
U
Jm1 U
Jm1U
很小但是存在，横电场和横磁场垂直而且与传输方向
垂直。
Ht
0
ez
Et
此时可以证明场分成两种偏振状态，x偏振和y偏振 X偏振：(0,ey,ez,hx，0,hz) ；Y偏振：(ex,0,ez,0,hy,hz) 这种模式称为线偏振模（Linear-polarization mode -LP）
t t t
J0 J1 当m 0时 J m1U 0 U 0
2.405 3.83
Jmx 1m Jmx
Kmx Kmx
K0
W 0
ln
2
W
Km0
W 0
1/
2m
1! 2
W
m
J
0
U
U 0
1
J m0
U
U 0
1 m!
U 2
m
Vc
LPy截止条件
当m 0时 当m 0时
U 0 J1 U 0
J m1U 0 U 0
E、H六个分量都有－混合模 不确定具体的偏振方向
其它分量 基模
Ez/ Hz
LP01 不是真实的电磁场分布，只是
求取传播常数较为方便
Er、Eθ、Hr、Hθ
HE1独1 －立圆的偏线振偏模振，模可H看E成1x1与两个HE正1y1交的
叠加--二重简并模（u值相同）
真实的电磁场分布
标量模与矢量模的比较
u值范围 0 2.4048 2.4048 3.8317 3.8317 5.1356 5.1356 5.5201 5.5201 6.3802 6.3802 7.0156 7.0156 7.5883
ey (x, y) C1Jm (U)e jm 0 1 ey (x, y) C 2Km (W)e jm 1
其他分量与ey的关系：
hz
1
j 0
e y x
hx ey
ez
j
e y y
ez
x,
y
C1 C2
j
j
sin
U a
Jm 'U
jm cos a
J m U e jm
sin
W a