高中数学平面向量教案一

第五章 平面向量

第一教时

教材：向量

目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已

知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：

一、开场白：课本P93（略）

实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，

问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、 提出课题：平面向量

1． 意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等

注意：1︒数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大

小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学

体系，用以研究空间性质。

2． 向量的表示方法： 1︒几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度

记作（注意起讫）

2︒字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）

P95 例 用1cm 表示5n mail （海里）

3． 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的

4． 两个特殊的向量：

1︒零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别

2︒单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

例：与是否同一向量？

A B

A(起点)

B （终点） a

答：不是同一向量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系：

1． 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥

规定：与任一向量平行

2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：=

规定：=

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，

所以平行向量也叫共线向量。

= = =

例：（P95）略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（,,）

四、 小结：

五、 作业：P96 练习 习题5.1

a b c

第二教时

教材：向量的加法

目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作

几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。

过程：

六、复习：向量的定义以及有关概念

强调：1︒向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。 2︒正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何

向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 七、 提出课题：向量是否能进行运算？

5． 某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，

则两次的位移和：AC BC AB =+ 6． 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，

则两次的位移和：=+

7． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，

则两次的位移和：=+

8． 船速为，水速为，

则两速度和：AC BC AB =+

提出课题：向量的加法 三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）

2．三角形法则：

强调：

1︒“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起

点

2︒可以推广到n 个向量连加

3︒=+=+

4︒不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则

3．例一、已知向量、，求作向量+

A B C

A B C

A B C A A A B B B C C O

A a a b b

b a +b a +b a a b b b a a

作法：在平面内取一点，

作= =

则+=

4．加法的交换律和平行四边形法则

上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同

从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则

2︒向量加法的交换律：a +b =b +a

9． 向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 证：如图：使=, =, =

则(+) +==+ + (+) ==+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c ) 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

四、例二（P98—99）略

五、小结：1︒向量加法的几何法则

2︒交换律和结合律

3︒注意：|+| > || + ||不一定成立，因为共线向量不然。

六、作业：P99—100 练习 P102 习题5.2 1—3

A

B C D a

c a +b+c b a +b

b+c

第三教时

教材：向量的减法

目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。 过程：

八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++BA BA CB CD 解：=++=++

九、 提出课题：向量的减法 1． 用“相反向量”定义向量的减法

1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2． 用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b

3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量

∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a

作法：在平面内取一点O ， 作= a , AB = b

则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。 注意：1︒AB 表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

4． a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b

O A B a B’ b -b b B a + (-b ) a b A B

O

a b B a

b a -b

a -

b B B’ a -b

a a b

b O A O B a -b B

A O -b