第五讲 期权定价理论I,二叉树模型
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把p=(erT-d)/(u-d)代入上式可得： E(ST)=S0erT
即股票价格以无风险利率的速度上涨。 风险中性的世界里，人人对风险持相同的态度。所有
证券资产的期望收益为无风险利率。 风险中性定价是讲，在期权定价时，假定世界是风险
中性的是完全无害的（impunity）。
风险中性定价与无套利原则下得到的期权估价是一样 的。
个月后股价要么是22元，要么是18元。一 份欧式看涨期权为在3个月内以21元价格买 入该股票。 请问：3个月后，两种情况下，该期权的价值 几何？ 期权定价的假设：不存在套利机会
考虑一个资产组合，股票+股票期权，到3个月期 满时，如果该资产组合的价值不存在不确定性， 那么，它的收益等于无风险利率。
（二）风险中性定价（Risk-neutral valuation）
对于价期f上权=e涨的-rT概期[pf率望u +联收(1系益-p在。)fd一期]中起权的。的p，因价我此格们，也很就pfu自是+然(对1-地期p)将f权d相其期当与望于股收 益按照无风险利率进行贴现。
我们再看看股票的期望收益：
E(ST)=pS0u+(1-p)S0d =pS0(u-d)+S0d
第五讲 期权定价理论I： 二叉树模型
高彦彦 adamesky126
东南大学经济与管理学院
本讲内容
• 一、二叉树模型（binominal Tree） • （一）单步二叉树模型和无套利原则 • （二）风险中性定价 • （三）两步二叉树模型 • （四）看跌期权的情形 • （五）美式期权的情形 • （六）用u和d来匹配波动性 • （七）Δ • （八）一些主要期权的定价
由此，我们可以： 1）计算设计资产组合的成本以及期权价格； 2）设计无风险资产组合
例1：考虑一个资产组合，持有Δ份股票以及卖 空一份看涨期权，其中股票的价格现价为20元， 3个月后，股票价格有两种可能，22或者18元。 看涨期权约定3个月到期以后以21元价格买入 股票。在无风险和无套利原则下，我们可以计 算： 1）使资产组合无风险的Δ值； 2）期权的价格。
学习目标
• 理解单步二叉树模型中无风险资产组合的 含义
• 会计算单步二叉树模型中期权的价格 • 会计算两步二叉树模型中期权的价格 • 了解风险中性定价、无套利原则、无风险
利率和资产回报率之间的关系 • 会计算二叉树模型美式期权的价格
一、二叉树模型
（一）单步二叉树模型和无套利原则 1. 一个例子 考虑一支股票，当前价格为20元。现在知道3
续 其 其时中中ud间><为11，，T此此，时 时到期 期期权 权后价 价，值 值股为 为票ff价ud； 。格或可者以是是SS0d0u，, 根据前面的分析，使上述资产组合无风险的
条件为：
S0uΔ-fu=S0dΔ-fd 由此得到资产组合中股票多头的规模：
Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d)
该股票期权的价格由如下条件获得：
p=0.6523 期权的当期价格为：
f=[1*0.6523+0*(1-0.6523)]*e-0.12*3/12
=0.633. 该结果与无套利条件下的结果一样，即风险中性定价
与无套利原则给出相同的期权定价。
• 在刚才的例子里，价格上涨概率为0.6523，此 时，期权和股价的回报率都一样，为无风险利 率。但是现实世界是怎样的呢？
例3：考虑一支股票，当前价格为20元。现在知道3个 月后股价要么是22元，要么是18元。一份欧式看涨 期权为在3个月内以21元价格买入该股票。无风险 收益率12%。
设p为股价上涨至22元的概率，在一个风险中性世界 里，股票的预期收益率等于无风险利率，即
22p+18(1-p)=20e0.12*3/12
d)/(u-d)代入，并求解u和d，可得： u=e sqrt(Δt) d=e -sqrt(Δt)
那么，在一个风险中性世界里，类似地可以得到：
pu2+(1-p)d2+[ pu+(1-p)d]2 =[erΔt(u+d)-ud-e2rΔt] 把上面的u和d代入可知，[erΔt(u+d)-ud-e2rΔt]= 2Δt 因此，尽管现实世界和风险中性世界的期望收益不同，
贴现的现值。
想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
计算该欧式看涨期权的价格。 p=(e0.05×1-0.8)/(1.2-0.8)=0.6282 f=e-2×0.05×1(0.62822×0+2×0.6282×0.3718×4
20 ×0.25-f=5-f 根据前述条件可知，f=0.633。 思考：如果期权价格大于或者小于0.633，结果会怎样？ f>0.633, 构建这个资产组合的成本低于4.367，因而可以获
取超额收益；
f<0.633, 卖空资产组合，把剩余现金存入银行，即可获得 超额回报。
2. 一般化情形 考头虑和一一个份资价产格组为合f，的期看初涨价期格权为空S头0的。股期票权多持
例9：澳元的当前汇率为0.61美元/澳元，该汇率的波动率 为12%。澳大利亚和美国的无风险收益率分别为7%和 5%。请利用三步二叉树模型计算3个月期执行价格为0.6 的美式看涨期权的价格（0.019）。
4. 期货期权的定价
在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货 的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也
但是其波动率不变。
2. 知道股价波动性时的期权定价
例7：考虑一个两步二叉树美式看跌期权，如 图11.8所示。股价为50元，执行价格为52元， 无风险收益率为5%，期权的期限为2年，分 为两步，每步时长为1年。波动率为30%。 请为该期权定价。
提示：先求出u，d，a；再计算p；然后定价f
（7.43）。
+0.37182×20) =4.1923
（五）美式期权情形
• 关键是：比较每个节点，看看提前执行期权合 约是否更好。
• 早期节点期权的价值为以下两者中较大的一个： 1. 欧式期权下的价值 2. 提前执行的收益
• 例6：以前一张幻灯片中（图11.7）的两步二叉 树模型为例，计算美式看跌期权的价格。
*下堂课现场作业。
（七）Δ
回忆：Δ是什么？
Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
问题1）的求解： Δ值使资产组合无风险意味着什么？ 高价出现时资产组合的价值=低价出现时资产组
合的价值
高价出现时，资产组合的价值：22Δ-1 低价出现时，资产组合的价值：18Δ 两者相等时，资产组合无风险，即Δ=0.25 因此，无风险资产组合为：持有0.25份股票+卖 空1份看涨期权 此时，两种情况下，资产组合的价值为多少？
由此可以进一步计算出B节点期权的价值，为：
e-0.12 ×3/12 (0.6523 ×3.2+0.3477 ×0)=2.0257
进一步可以得到欧式看涨期权在节点A的价值：
e-0.12 ×3/12 (0.6523 ×2.0257+0.3477 ×0)=1.2823
两步二叉树模型的一般化情况：
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
(S0uΔ-fu) e–rT =S0Δ-f 把f解出，并把Δ值代入，可得：
f=e-rT[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erT-d)/(u-d)。期权价格与Δ和S0无关。 如果股票价格如单步二叉树模型描述的那样，期
权价格可以按照上式来计算，唯一假设是无套 利机会。 例2：给定如下参数，u=1.1, d=0.9, r=0.12, T=0.25, fu =1, fd=0。计算f。
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
问题2）的求解： 无风险资产组合到期价值的折现值=资产组合的期初价值 在不存在套利的情况下，无风险资产组合的回报是什么？
无风险利率！
假定连续无风险年利率为12%，前述资产组合的当前价值 是多少？ 4.5e-0.12 ×3/12 =4.367
假设看涨期权的价格为f，那么，资产组合的当前价值为多 少？
• 如果现实世界，股票的回报率不等于12%，比 如16%，此时，可以计算p*=0.7041，即期权的 期望收益。此时，我们不知道贴现率为多少。
• 因此，持有看涨期权的风险比持有股票大，其 预期收益应该大于16%。但是，大多少？
• 风险中性定价的方便之处在于，我们可以知道， 在风险中性的世界里，所有资产的期望回报等 于无风险利率。
E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0
p=(1-d)/(u-d)
例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风 险利率为5%。请采用三步二叉树模型计算一个执行 价格为30的9个月的美式看跌期权的价格（2.84）。
作业：例7-10。
本讲主要参考文献：Hull, John, Options, Futures and Other Derivatives, 7th eds., 清华大学出版社2019年7月 第一版（英文影印版）：第11章。
• 讨论：在B节和C节点，提前执行和不提前执 行时的期权价值。
因此，在期初节点A，美式看跌期权不提前执行 的价值为： f=e-0.05×1(0.6282×1.4147+0.3718×12)
=5.0894 提前执行的收益为2，因此，不应执行。故节点
A美式看跌期权的价格为5.0894。 在相同条件下，美式看跌期权的价格要高于欧式
2. 股票指数期权定价 例8：考虑一个6个月的欧式看涨股指期权。该股票指数当
前水平为810，看涨期权执行价格是800，无风险利率为 5%，波动率为20%，分红收益率为2%。请利用两步二 叉树模型估计该看涨股指期权的价格（53.39）。 3. 外汇期权定价
外汇可以看成是按照国外无风险利率提供收益的资产，因 此，以外汇为标的资产的期权类似于具有分红收益的股 票期权的情形。a=e(r-rf)Δt
（三）两步二叉树模型
例4：考虑如下页图11.3所示两步二叉树模型，股票价 格初始价格为20元，股票价格在每步要么上涨10%， 要么下跌10%；每步为3个月期长，无风险年收益率 为12%。看涨期权执行价格为21元。
请计算看涨期权在期初的价Hale Waihona Puke Baidu。
由图可知，第2步结束时，如果价格为D节点，期权价 值为24.2-21=3.2；否则，期权价值为0。由此可知： u=1.1, d=0.9, r=12%, T=0.25。可以计算：p=0.6532。
看跌期权。 思考：利用第一节例子，计算美式看涨期权的价
格。
（六）用u和d来匹配波动性
1. u和d与波动率的关系 假定股票价格的波动率为 ，sqrt(Δt)为股价在时间
区间Δt的标准差。我们有： Var(ST)=p* u2+(1-p* )d2+[ p* u+(1-p* )d]2 = 2Δt 其中，p*为真实世界股价上涨的概率。把p*=(eμΔt-
运用期权和潜在标的资产来维持一个无风险 对冲，需要周期性地调整持有的股票数量。
（八）其它资产的二叉树模型期权定价
1. 连续分红股票 考虑一个股票，连续分红收益率为q，风险中
性世界的无风险收益率为r，那么我们有：
E(ST)=pS0u+(1-p)S0d=S0e(r-q)Δt 因此，p=(e(r-q)Δt-d)/(u-d)
即股票价格以无风险利率的速度上涨。 风险中性的世界里，人人对风险持相同的态度。所有
证券资产的期望收益为无风险利率。 风险中性定价是讲，在期权定价时，假定世界是风险
中性的是完全无害的（impunity）。
风险中性定价与无套利原则下得到的期权估价是一样 的。
个月后股价要么是22元，要么是18元。一 份欧式看涨期权为在3个月内以21元价格买 入该股票。 请问：3个月后，两种情况下，该期权的价值 几何？ 期权定价的假设：不存在套利机会
考虑一个资产组合，股票+股票期权，到3个月期 满时，如果该资产组合的价值不存在不确定性， 那么，它的收益等于无风险利率。
（二）风险中性定价（Risk-neutral valuation）
对于价期f上权=e涨的-rT概期[pf率望u +联收(1系益-p在。)fd一期]中起权的。的p，因价我此格们，也很就pfu自是+然(对1-地期p)将f权d相其期当与望于股收 益按照无风险利率进行贴现。
我们再看看股票的期望收益：
E(ST)=pS0u+(1-p)S0d =pS0(u-d)+S0d
第五讲 期权定价理论I： 二叉树模型
高彦彦 adamesky126
东南大学经济与管理学院
本讲内容
• 一、二叉树模型（binominal Tree） • （一）单步二叉树模型和无套利原则 • （二）风险中性定价 • （三）两步二叉树模型 • （四）看跌期权的情形 • （五）美式期权的情形 • （六）用u和d来匹配波动性 • （七）Δ • （八）一些主要期权的定价
由此，我们可以： 1）计算设计资产组合的成本以及期权价格； 2）设计无风险资产组合
例1：考虑一个资产组合，持有Δ份股票以及卖 空一份看涨期权，其中股票的价格现价为20元， 3个月后，股票价格有两种可能，22或者18元。 看涨期权约定3个月到期以后以21元价格买入 股票。在无风险和无套利原则下，我们可以计 算： 1）使资产组合无风险的Δ值； 2）期权的价格。
学习目标
• 理解单步二叉树模型中无风险资产组合的 含义
• 会计算单步二叉树模型中期权的价格 • 会计算两步二叉树模型中期权的价格 • 了解风险中性定价、无套利原则、无风险
利率和资产回报率之间的关系 • 会计算二叉树模型美式期权的价格
一、二叉树模型
（一）单步二叉树模型和无套利原则 1. 一个例子 考虑一支股票，当前价格为20元。现在知道3
续 其 其时中中ud间><为11，，T此此，时 时到期 期期权 权后价 价，值 值股为 为票ff价ud； 。格或可者以是是SS0d0u，, 根据前面的分析，使上述资产组合无风险的
条件为：
S0uΔ-fu=S0dΔ-fd 由此得到资产组合中股票多头的规模：
Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d)
该股票期权的价格由如下条件获得：
p=0.6523 期权的当期价格为：
f=[1*0.6523+0*(1-0.6523)]*e-0.12*3/12
=0.633. 该结果与无套利条件下的结果一样，即风险中性定价
与无套利原则给出相同的期权定价。
• 在刚才的例子里，价格上涨概率为0.6523，此 时，期权和股价的回报率都一样，为无风险利 率。但是现实世界是怎样的呢？
例3：考虑一支股票，当前价格为20元。现在知道3个 月后股价要么是22元，要么是18元。一份欧式看涨 期权为在3个月内以21元价格买入该股票。无风险 收益率12%。
设p为股价上涨至22元的概率，在一个风险中性世界 里，股票的预期收益率等于无风险利率，即
22p+18(1-p)=20e0.12*3/12
d)/(u-d)代入，并求解u和d，可得： u=e sqrt(Δt) d=e -sqrt(Δt)
那么，在一个风险中性世界里，类似地可以得到：
pu2+(1-p)d2+[ pu+(1-p)d]2 =[erΔt(u+d)-ud-e2rΔt] 把上面的u和d代入可知，[erΔt(u+d)-ud-e2rΔt]= 2Δt 因此，尽管现实世界和风险中性世界的期望收益不同，
贴现的现值。
想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
计算该欧式看涨期权的价格。 p=(e0.05×1-0.8)/(1.2-0.8)=0.6282 f=e-2×0.05×1(0.62822×0+2×0.6282×0.3718×4
20 ×0.25-f=5-f 根据前述条件可知，f=0.633。 思考：如果期权价格大于或者小于0.633，结果会怎样？ f>0.633, 构建这个资产组合的成本低于4.367，因而可以获
取超额收益；
f<0.633, 卖空资产组合，把剩余现金存入银行，即可获得 超额回报。
2. 一般化情形 考头虑和一一个份资价产格组为合f，的期看初涨价期格权为空S头0的。股期票权多持
例9：澳元的当前汇率为0.61美元/澳元，该汇率的波动率 为12%。澳大利亚和美国的无风险收益率分别为7%和 5%。请利用三步二叉树模型计算3个月期执行价格为0.6 的美式看涨期权的价格（0.019）。
4. 期货期权的定价
在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货 的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也
但是其波动率不变。
2. 知道股价波动性时的期权定价
例7：考虑一个两步二叉树美式看跌期权，如 图11.8所示。股价为50元，执行价格为52元， 无风险收益率为5%，期权的期限为2年，分 为两步，每步时长为1年。波动率为30%。 请为该期权定价。
提示：先求出u，d，a；再计算p；然后定价f
（7.43）。
+0.37182×20) =4.1923
（五）美式期权情形
• 关键是：比较每个节点，看看提前执行期权合 约是否更好。
• 早期节点期权的价值为以下两者中较大的一个： 1. 欧式期权下的价值 2. 提前执行的收益
• 例6：以前一张幻灯片中（图11.7）的两步二叉 树模型为例，计算美式看跌期权的价格。
*下堂课现场作业。
（七）Δ
回忆：Δ是什么？
Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
问题1）的求解： Δ值使资产组合无风险意味着什么？ 高价出现时资产组合的价值=低价出现时资产组
合的价值
高价出现时，资产组合的价值：22Δ-1 低价出现时，资产组合的价值：18Δ 两者相等时，资产组合无风险，即Δ=0.25 因此，无风险资产组合为：持有0.25份股票+卖 空1份看涨期权 此时，两种情况下，资产组合的价值为多少？
由此可以进一步计算出B节点期权的价值，为：
e-0.12 ×3/12 (0.6523 ×3.2+0.3477 ×0)=2.0257
进一步可以得到欧式看涨期权在节点A的价值：
e-0.12 ×3/12 (0.6523 ×2.0257+0.3477 ×0)=1.2823
两步二叉树模型的一般化情况：
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
(S0uΔ-fu) e–rT =S0Δ-f 把f解出，并把Δ值代入，可得：
f=e-rT[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erT-d)/(u-d)。期权价格与Δ和S0无关。 如果股票价格如单步二叉树模型描述的那样，期
权价格可以按照上式来计算，唯一假设是无套 利机会。 例2：给定如下参数，u=1.1, d=0.9, r=0.12, T=0.25, fu =1, fd=0。计算f。
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
问题2）的求解： 无风险资产组合到期价值的折现值=资产组合的期初价值 在不存在套利的情况下，无风险资产组合的回报是什么？
无风险利率！
假定连续无风险年利率为12%，前述资产组合的当前价值 是多少？ 4.5e-0.12 ×3/12 =4.367
假设看涨期权的价格为f，那么，资产组合的当前价值为多 少？
• 如果现实世界，股票的回报率不等于12%，比 如16%，此时，可以计算p*=0.7041，即期权的 期望收益。此时，我们不知道贴现率为多少。
• 因此，持有看涨期权的风险比持有股票大，其 预期收益应该大于16%。但是，大多少？
• 风险中性定价的方便之处在于，我们可以知道， 在风险中性的世界里，所有资产的期望回报等 于无风险利率。
E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0
p=(1-d)/(u-d)
例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风 险利率为5%。请采用三步二叉树模型计算一个执行 价格为30的9个月的美式看跌期权的价格（2.84）。
作业：例7-10。
本讲主要参考文献：Hull, John, Options, Futures and Other Derivatives, 7th eds., 清华大学出版社2019年7月 第一版（英文影印版）：第11章。
• 讨论：在B节和C节点，提前执行和不提前执 行时的期权价值。
因此，在期初节点A，美式看跌期权不提前执行 的价值为： f=e-0.05×1(0.6282×1.4147+0.3718×12)
=5.0894 提前执行的收益为2，因此，不应执行。故节点
A美式看跌期权的价格为5.0894。 在相同条件下，美式看跌期权的价格要高于欧式
2. 股票指数期权定价 例8：考虑一个6个月的欧式看涨股指期权。该股票指数当
前水平为810，看涨期权执行价格是800，无风险利率为 5%，波动率为20%，分红收益率为2%。请利用两步二 叉树模型估计该看涨股指期权的价格（53.39）。 3. 外汇期权定价
外汇可以看成是按照国外无风险利率提供收益的资产，因 此，以外汇为标的资产的期权类似于具有分红收益的股 票期权的情形。a=e(r-rf)Δt
（三）两步二叉树模型
例4：考虑如下页图11.3所示两步二叉树模型，股票价 格初始价格为20元，股票价格在每步要么上涨10%， 要么下跌10%；每步为3个月期长，无风险年收益率 为12%。看涨期权执行价格为21元。
请计算看涨期权在期初的价Hale Waihona Puke Baidu。
由图可知，第2步结束时，如果价格为D节点，期权价 值为24.2-21=3.2；否则，期权价值为0。由此可知： u=1.1, d=0.9, r=12%, T=0.25。可以计算：p=0.6532。
看跌期权。 思考：利用第一节例子，计算美式看涨期权的价
格。
（六）用u和d来匹配波动性
1. u和d与波动率的关系 假定股票价格的波动率为 ，sqrt(Δt)为股价在时间
区间Δt的标准差。我们有： Var(ST)=p* u2+(1-p* )d2+[ p* u+(1-p* )d]2 = 2Δt 其中，p*为真实世界股价上涨的概率。把p*=(eμΔt-
运用期权和潜在标的资产来维持一个无风险 对冲，需要周期性地调整持有的股票数量。
（八）其它资产的二叉树模型期权定价
1. 连续分红股票 考虑一个股票，连续分红收益率为q，风险中
性世界的无风险收益率为r，那么我们有：
E(ST)=pS0u+(1-p)S0d=S0e(r-q)Δt 因此，p=(e(r-q)Δt-d)/(u-d)