完整word版,初中数学竞赛讲座——数论部分7(同余)

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第7讲同余的概念及基本性质

数论有它自己的代数,称为同余理论.最先引进同余的概念与记号的是数学王子高斯.

先看一个游戏:有n+1个空格排成一行,第一格中放入一枚棋子,甲乙两人交替移动棋子,每步可前移1,2或3格,以先到最后一格者为胜.问是先走者胜还是后走者胜?应该怎样走才能取胜?

取胜之道是:你只要设法使余下的空格数是4的倍数,以后你的对手若走i格(i=1,2,3),你走4-i格,即每一次交替,共走了4格.最后只剩4个空格时,你的对手就必输无疑了.因此,若n除以4的余数是1,2或3时,那么先走者甲胜;若n除以4的余数是0的话,那么后走者乙胜.

在这个游戏里,我们可以看出,有时我们不必去关心一个数是多少,而要关心这个数用m除后的余数是什么.又例如,1999年元旦是星期五,1999年有365天,365=7×52+1,所以2000年的元旦是星期六.这里我们关心的也是余数.这一讲中,我们将介绍同余的概念、性质及一些简单的应用.

同余,顾名思义,就是余数相同.

一、基础知识

定义1 给定一个正整数m,如果用m去除a,b所得的余数相同,则称a与b对模m同余,记作

a≡b(mod m),

并读作a同余b,模m.

否则,就称a与b对于模m不同余,记作a≡b(mod m),

根据定义,a与b是否同余,不仅与a、b有关,还与模m有关,同一对数a和b,对于模m同余,而对于模n也许就不同余,例如,5≡8(mod 3),而5≡8(mod 4),若a与b对模m同余,由定义1,有

a=mq1+r,b=mq2+r.

所以a-b=m(q1-q2),

即m|a-b.

反之,若m|a-b,设

a=mq1+r1,b=mq2+r2,0≤r1,r2≤m-1,

则有m|r1-r2.因|r1-r2|≤m-1,故r1-r2=0,即r1=r2.

于是,我们得到同余的另一个等价定义:

定义2 若a与b是两个整数,并且它们的差a-b能被一正整数m整除,那么,就称a 与b对模m同余.

另外,根据同余的定义,显然有以下几种关系是成立的:

⑴a≡a(mod n)

⑵a≡b(mod m)⇔b≡a(mod n)

⑶a≡b(mod n)

⇒a≡c(mod m)

b≡c(mod m)

由此可见,同余是一种等价关系,以上这三条分别叫做同余的反射性,对称性和传递性,而等式也具有这几条性质.

二、典型例题;

例1.如果a≡b(mod m),以下命题正确的有哪些?请说明理由?

⑴m | a-b

⑵a = b+mt

⑶a = k1m+ r1,b = k2m+ r2(0≤r1,r2<m)⇔r1= r2

解:⑴因a≡b(mod m),所以可得a = k1m+ r,b = k2m+ r,那么a-b=(k1-k2)m,由于k1-k2是整数,因此m | a-b是正确的.

⑵根据⑴可得a-b= mt,即a= b+mt

⑶根据⑴可得,m | r1-r2,又因为0≤| r1-r2 |<m,所以| r1-r2 |=0,故r1= r2.

例2.判断正误,并说明理由.

⑴如果a≡b(mod m)那么ka≡kb(mod m)

⑵如果a≡b(mod m),c是整数,那么a±c≡b±c (mod m)

⑶如果a1≡b1(mod m),a2≡b2(mod m),那么a1±a2≡b1±b2 (mod m),

a1a2≡b1b2 (mod m).

⑷如果3a≡3b(mod 6 ),那么a≡b (mod 6 )

解:⑴∵a≡b(mod m),∴m | a-b,∴m | k (a-b)即m | (ka-kb)

∴ka≡kb(mod m)⑴成正确

⑵∵a≡b(mod m),∴m | a-b

又因为c是整数,所以m | a-c-b+c,即m | (a-c) -(b-c)即a-c≡b-c(mod m)同理可得,a+c≡b+c(mod m)

⑶仿照上面的两个小题的方汪,可以判定这个命题也是正确的

⑷显然6≡12(mod 6),而2≡ 4 (mod 6),因此,这个命题不正确

说明:⑶的结论可以得到同余的另一条性质,即a≡b(mod m)⇒a n≡b n(mod m)此题说明两个同余式能够象等式一样进行加、减、乘、乘方,但同余式两边却不能除以同一数,那么,同余式的两边在什么情况下可以同除以一个数呢?我们先看下面的例题.

例3.由下面的哪些同余式可以得到同余式a≡b(mod 5)

①3a ≡3b (mod 5) ②10a ≡10b (mod 5)

③6a ≡6b (mod 10) ④10a ≡10b (mod 20)

解:①因3a ≡3b (mod 5),所以5 | 3(a -b ),而5 | 3 ,

因此5 | a -b ,故a ≡b (mod 5)

②由10a ≡10b (mod 5)可以得到5 | 10(a -b ),而5 | 10,因此5不一定整除a -b ,故a ≡b (mod 5)就成立

③由6a ≡6b (mod 10)可得10 | 6(a -b ),而10=2×5,6=2×3,因此5 | a -b , 故a ≡b (mod 5)成立

④由10a ≡10b (mod 20)可得到20 | 10(a -b ),而20= 4×5,4 | 10,因此5 | (a -b )

故a ≡b (mod 5)不成立

综上所述,由3a ≡3b (mod 5)或6a ≡6b (mod 10)都可以得到a ≡b (mod 5)

说明:在①中,因为(3,5)=1,因此由5 | 3(a -b )一定可以得到5 | a -b ,进而得到a ≡b (mod 5),一般地,如果(k ,m )=1,ka ≡kb (mod m ),那么a ≡b (mod m )

在③中,因(6,10)=2,因此由10| 6(a -b )一定可以得到5 | a -b ,进而得a ≡b (mod 5),一般地,如果(k ,m )= d ,ka ≡kb (mod m ),那么a ≡b )(mod d

m .

例4.如果a ≡b (mod 12)且a ≡b (mod 8),那么以下同余式一定成立的是哪些?

①a ≡b (mod 4) ②a ≡b (mod 24) ③a ≡b (mod 20) ④a ≡b (mod 48) 解:正确的有①和②

①由题中的条件可得12 | a -b ,又因4 | 12,所以4 | a -b ,故a ≡b (mod 4). ②因12 | a -b ,8| a -b ,所以a -b 是12和8的公倍数,又因为[8,12]=24,因此 a -b 必是24的倍数,即24 | a -b ,故a ≡b (mod 24).

③显然,当a = 26,b = 2时满足条件a ≡b (mod 12)和a ≡b (mod 8),但却不满足 a ≡b (mod 20).

④同③,用a = 26,b = 2验证即可.

【说明】:

⑴一般地,若a ≡b (mod m )且n | m ,那么a ≡b (mod n )

⑵若a ≡b (mod m ),a ≡b (mod n ),那么a ≡b (mod [m ,n ]),它的一个特殊情况就是:

如果a ≡b (mod m ),a ≡b (mod n )且(m ,n )=1,那么a ≡b (mod m n )

【一些结论】

1.同余定义的等价形式

①a ≡b (mod m )⇔m | a -b

②a ≡b (mod m )⇔a = b +mt

2.同余式的同加、同乘性

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