2013江苏常州中考数学

常州市二〇一三年初中毕业、升学统一文化考试

数 学 试 题

注意事项：

1. 本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为20分钟，考生将答案全部填写在答题卡位

置上，写在本试卷上无效，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，考试时不允许使用计算器。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并赶写好答题卡上的考生信息。 3. 作图必须用2B 铅笔，并加黑加粗，描写清楚。

一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）

1. （2013江苏常州，1，2分）在下列实数中，无理数是 （ ）

A ．2

B ．3.14

C ．2

1-

D ．3

【答案】 D

2. （2013江苏常州，2，2分）如图所示圆柱的左视图是 （ ）

（第2题） A ． B ． C ． D ． 【答案】 C

（2013江苏常州，3，2分）下列函数中，图像经过点（1，-1)的反比例函数关系式是 （ ）

A .x y 1-=

B .x y 1= C.x

y 2

=

D.x

y 2-= 【答案】 A

4. （2013江苏常州，4，2分）下列计算中，正确的是

（ ）

A ．（A 3

B ）2=A 6B 2 B ．A *A 4=A 4

C ．A 6÷A 2=A 3

D ．3A +2B =5AB 【答案】 A

5. （2013江苏常州，5，2分）已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差

1212=

甲S ，乙组数据的方差10

12

=乙S ，下列结论中正确的是 （ ） A ．甲组数据比乙组数据的波动大

B ．乙组数据的比甲组数据的波动大

C ．甲组数据与乙组数据的波动一样大

D ．甲组数据与乙组数据的波动不能比较

【答案】 B

6. （2013江苏常州，6，2分）已知⊙O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．无法判断 【答案】 C

7. （2013江苏常州，7，2分）二次函数c bx ax y ++=2（A 、B 、c 为常数且A ≠0）中的x

给出了结论：

(1)二次函数c bx ax y ++=2有最小值，最小值为-3； (2)当22

1

<<-

x 时，y<0; (3)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧。 则其中正确结论的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】 B

8.（2013江苏常州，8，2分）有3张边长为A 的正方形纸片，4张边分别为A 、B (B >A )的矩形纸片，5张边长为B 的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸乍进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正

方形的边长最长可以为 （ ） A ．A +B B ．2A +B C ．3A +B D ．A +2B 【答案】 A

二．填空题（本大题共有9小题，第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）

9. （2013江苏常州，9，4分）计算

-(-3)=________,|-3|=_______,(-3)-1=_______,(-3)2=_______. 【答案】 3；3；-4；9.

10. （2013江苏常州，10，2分）已知点P （3，2），则点P 关于y 轴的对称点P 1的坐标是______,点P 关于原点O 的对称点P 2的坐标是________. 【答案】 （-3，2）；（-3，-2）

11. （2013江苏常州，11，2分）已知一次函数y=kx+B (k 、B 为常数且k ≠0)的图象经过点A （0,-2）和点B （1,0），则k=______，B =______。 【答案】 2；-2.

12. （2013江苏常州，12，2分）已知扇形的半径为6cm ，圆心角为150°，则此扇形的弧长是_______cm ，扇形的面积是_________cm 2（结果保留π）。 【答案】 50π；15π.

13. （2013江苏常州，13，2分）函数y=3-x 中自变量x 的取值范围是_________，若

分式

1

3

2+-x x 的值为0，则x=____。 【答案】 x ≥3；

14. （

【答案】 27；28.

15. （2013江苏常州，15，2分）已知x=-1是关于x 的方程2x 2+A

x-A 2=0的一个根，则

A =_______。 【答案】

-2或1.

16. （2013江苏常州，16，2分）如图，△AB C 内接于⊙O ，∠BA C=120°，AB =A C ，B D 为⊙O 的直径，A D=6，则DC=________.

（第16题）

【答案】

17. （2013江苏常州，17，2分）在平面直角坐标系xOy 中，已知第一象限内的点A 在反比例函数x y 1=

的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数x

k y =的图象上，连接O A 、O B ，若O A ⊥O B ，O B =

2

2

O A ，则k=_______.

【答案】 - 12

；

三、解答题（本大题共2小题，共18分） 18.化简（每小题4分，共8分）

（2013江苏常州，18（1），4分）0060cos 2)2013(4+-- 【答案】解：原式＝2－1＋231

2

＝2－1＋1

＝2

（2013江苏常州，18（2），4分）

2

1

422+--x x x 【答案】解：原式＝

()()222x x x +-－()()

2

22x x x -+-

＝

()

()()2222x x x x --+-

＝

()()

2

22x x x ++-

＝

12

x - 19.解方程组和不等式组：（每小题5分，共10分）

（2013江苏常州，19（1），5分）?

??=+=+②① y x y x 64302

【答案】解：由①32得：

2x ＋4y ＝0 ③ 由②－③得： x ＝6

将x ＝6代入①得： y ＝－3

所以原方程组的解是6

3x y ???

＝＝－

（2013江苏常州，19（2），5分）2

5

27=-x 【答案】解：去分母得：

5（x －2）＝732 去括号得： 5 x －10＝14 移项得：

5 x ＝14＋10

合并得： 5 x ＝24 系数化1得：

x ＝

245 经检验x ＝24

5

是原方程的解

∴原分式方程的解是x ＝24

5

四、解答题（本大题共2小题，共15分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及演算步骤）

20. （2013江苏常州，20，7分）（本小题满分7分）

为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）。 （1）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整； （2）扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为__________.

【答案】解：（1）参加乒乓球的人数=20÷40%-（20+10+15）=5人． （2）∵参加足球运动项目的学生占所有运动项目学生的比例为

1050=1

5

，扇形统计图中表示“足

球”项目扇形圆心角的度数为

1

5

3360°=72度．

21. （2013江苏常州，21，8分）（本小题满分8分）

一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同。

（1） 从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ （2） 从箱子中随机摸出一个球，，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一

个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图。 【答案】解：⑴P (摸出一个球是白球)=23

⑵画树状如下：

由树状图可知，共有6种机会均等的情况，其中两次都是白球的2种 ∴P (两次都是白球)=

2163

五．解答题（本大题共2小题，共13分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程） 22．（2013江苏常州，22，6分）（本小题满分6分） 如图，C 是AB 的中点，A D=B E ，CD=CE 。 求证：∠A =∠B 。

【答案】证明：∵C 是AB 的中点

∴AC ＝B C

在△ACD 和△B CE 中

开始

白白白

白

黑黑

黑

白

白

AD BE CD CE AC BC ?==??

??

＝ ∴△ACD ≌△B CE （SSS ）

∴∠A =∠B （全等三角对应角相等）

23. （2013江苏常州，23，7分）如图，在△AB C 中，AB =A C ，∠B =60°，∠F A C 、∠EC A 是△AB C 的两个外角，A D 平分∠F A C ，CD 平分∠EC A 。 求证：四边形AB CD 是菱形。

【答案】证明：∵AB =A C ，∠B =60° ∴△AB C 是正三角形

∴∠F A C ＝120°，AB =A C ＝ A D 平分∠F A C

∴∠D A C=60°

同理可证：∠DC A =60° ∴△AD C 是正三角形 ∴AD =A C ＝DC

∴AB =BC= AD ＝DC

∴四边形AB CD 是菱形

六．解答题（本大题共2小题，请在答题卡指定区域内作答，共13分）

24. （2013江苏常州，24，6分）在Rt △AB C 中，∠C=90°，A C=1，B C=3，点O 为Rt △AB C 内一点，连接A 0、B O 、CO,且∠A OC=∠CO B =B O A =120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：

以点B 为旋转中心，将△A O B 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△A ′O ′B （得到A 、O 的对应点分别为点A ′、O ′），并回答下列问题： ∠ABC =________,∠A ′BC =_______,OA+OB+OC =_________.

【答案】如图：

30°，90°，7．

25. （2013江苏常州，25，7分）（本小题满分7分）

某饮料厂以300千克的A 种果汁和240千克的B 种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A 种果汁，含0.3千克B 种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A 种果汁，含0.4千克B 种果汁。饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲咱饮料x （千克）。

（1） 列出满足题意的关于x 的不等式组，并求出x 的取值范围；

（2） 已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，

那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？ 【答案】解：⑴0.60.2(650)300

0.30.4(650)x x x x +-??

+-?≤≤240

（200≤x ≤425）

⑵设饮料销售总额为y 元，则y 1.3 x ＋1.4(650－x )，即： y ＝－0.1 x ＋910

显然y 随x 的增大而减小，所以，当x ＝200时，y 取最大值。

所以甲、乙两种饮料分别生产200千克、450千克时才能使得这批饮料销售总金额最大

A

C

B O 60°

60°

A

C

B

O A ′

O ′

B

七．解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 26（2013江苏常州，26，6分）（本小题满分6分）

用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形。设格点多边形的面积为S ，该多边形各边上的格点个数和为a ，内部的格点个数为b ，则12

1

-+=

b a S (史称“皮克公式”). 小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：

则S 与【答案】

a ＋2

b －2

27. （2013江苏常州，27，9分）（本小题满分9分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （6，0）,点B (0,6)，动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC,过O 点作OD ⊥OC,OD 与⊙O 相交于点D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB 。

（1） 当OC ∥AB 时，∠B OC 的度数为__________; （2） 连接A C ，B C ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△AB C 的面积最大？并求出△AB

C

的面积的最大值。

（3） 连接A D ，当OC ∥A D 时，

① 求出点C 的坐标；②直线B C 是否为⊙O 的切线？请作出判断，并说明理由。

备用图

第27题

【答案】⑴45°

⑵当CO 的延长线与AB 垂直时（如图所示），△AB C 的面积最大。

设CO 的延长线交AB 于点E ， 由题易得OA ＝OB ＝6，AB ＝

又OE ⊥AB ∴OE ＝

又OC ＝

3

∴CE ＝3＋ S △AB C 最大值＝

12AB 2CE ＝1

2

3(3＋＝18＋

⑶解：①过C 作CF ⊥x 轴，垂足为O

∵OC ∥AD ，OC ⊥OD

∴OD ⊥AD

∴∠ADO ＝90° 又∵OD ＝3，AO=6 ∴∠AOD ＝60°

∴∠COF＝30°又OC＝3

∴OF

CF＝

3

2

。

∴

C(3 2 )

②B C是否为⊙O的切线，理由如下：

∵∠AOD＋∠DOB＝90°，∠COB＋∠DOB＝90°∴∠AOD＝∠BOC

在△AOD和△BOC中：

AOD BO AO BO

OD OC C

?∠??∠

?

?

＝

＝

＝

△AOD≌△BOC(SAS)

∴∠ADO＝∠BCO

由①有∠ADO＝90°

∴∠BCO＝90°

∴OC⊥BC

即：B C是否为⊙O的切线

28.（2013江苏常州，28，10分）(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为(A,0),(其中A>0),直线l过动点M(0,m)(0

(1)写出A、C两点的坐标；

(2)当0

则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值;

(3)当1

的代数式表示)；若不能，请说明理由。

第28题 备用图

解：（1）∴ y=2x+2,令2x+2=0解得：x= -1,故A(-1,0)，令x=0,把x=0代入y=2x+2得， y=2ⅹ0+2=2，C(0,2)

（2）∵若△HNK 满足HN=2HK,则称△HNK 为以H 为顶点的倍边三角形 ∴△PAQ 是以P 为顶点的倍边三角形，PA=2PQ ∵EC=PE,ED ⊥PC,则ED 垂直平分CP ∴CD=DP ，∠DCP=∠DPC ∵在Rt ⊿ACO 中，tan ∠ACO=CO AO =2

1

,∠DPF=∠ACO ∴tan ∠ACO=

FP DP =2

1

∵设P （0，n ）PA=22OP OA +=221n +，PQ=-

n 2

5 ∴221n +=2ⅹ(-n 2

5

)，整理得：1+2n =52n ，解得：n=±21

∵n<0, n=-

2

1

∵F(0，m),FC=FP, 2-m=m+

21,解得：m=4

3

（3）设F(0，m)，P （0，n ）C(0,2)，B （a,0）过PB 两点的直线为y= -

a

2

x+2,令y=m, 则-a 2x+2=m ，解得：x=2)2(m a -,E(2

)2(m a -,m) ∵tan ∠ACO FP DP =2

1,tan ∠DCF=21

∴DC=

2

)

2(5m -,AQ=1+2)2(2m --=m,PQ=5(1-m),

DE=

2

2m -+2)2(m a -=2)

1)(2(a m +-

∵CD .AQ=PQ .DE ，即

2)

2(5m -.m=5(1-m). 2)1)(2(a m +-,整理得：

∴m=(1-m)(1+a)解得：m=

21++a a ,2

1

++a a <1，又1< m, ∴不存在m 使得CD .AQ=PQ .DE