天津大学 场论初步 课件.ppt PPT资料共30页30页PPT
场论课件
x
f (r ) y f ( r ) z f (r ) , f (r ) y r z r f (r ) f (r ) f (r ) grad f (r ) j k i z P y z x r 1 f (r ) ( x i y j z k ) o r y 1 x f (r ) r f (r ) r 0 r
由于
div r div( x i y j z k ) 3 xyz xyz grad grad e e ( yz i xz j xy k )
所以 n (3 , 2 , 2) 3 2 2 方向余弦为 cos , cos , cos 17 17 17 u u u 而 yz 9, 6, 6 M M x y M z M
u 所以 n
M
u u u ( cos cos cos ) x y z
在任一点M(x, y, z)的散度为
证明： 由奥-高公式 A d S P d y d z Q d z d x Rdx d y
S S
P Q R ( )dv x y z
又由中值定理得
P Q R P Q R V ( ) dV x y z x y z M *
指向数量场 在点 M 处的法向量，
M
u(M) 增大的一方.
u C
矢量场 grad u 称为由数量场u产生的梯度场. 注：
运算公式
(2) (Cu) Cu
(4) (uv) uv vu
u vu uv (5) ( ) v v2
例3.
处矢径 r 的模 , 试证
矢量场 天津大学课件 流体力学基础
第1章 矢量分析与场论
【例1-3】 在矢量场A=axx2+ayxy+azyz中， 有一个边长为1 的立方体， 它的一个顶点在坐标原点上， 如图1-13所
示。 试求： （1） 矢量场A的散度;（2） 从六面体内
穿出的通量， 并验证高斯散度定理。
z
解题过程
( 1 ) A Ax Ay Az x y z
E
q
4 0r3
r
式中， q、ε0均为常数， r=axx+ayy+azz为P点的位置矢
量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。
解题过程：
整理求解作图
矢量的直角 坐标系方程
矢量线的 微分方程
第1章 矢量分析与场论
z
y x 图1 - 11 点电荷的电场矢量线
(P9)
第1章 矢量分析与场论
1.3.2 矢量场的通量(Flux) 及散度(Divergence)
第1章 矢量分析与场论
旋度矢量R在n方向的投影:
rotA n 旋涡面
A dl
lim l
SP S
rotn A
直角坐标系中，散度的表达式为：
P
rotA
ax
Az y
Ay z
l
图1 - 16 旋度及其投影 (P12)
ay
Ax z
Az x
az
Ay x
Ax y
第1章 矢量分析与场论
引入算子▽， 则旋度在直角坐标系中的表达式为:
1. 矢量场的通量 定义：①面元矢量dS: dS=ndS
（单位矢量n，外法向矢量， 如图1-12所示 ）
②通量Φ： A与面元dS
的标量积；记作：
《工程数学场论》PPT课件
z2
f (r) x r
f (r) f (r) y ,
y
r
f (r) f (r) z
z
r
grad
f
(r)
f
(r)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
z
x
y
z
P
f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
工程数学f---(-r--)--1-矢r r 量分析与场论
f (r) r0
x
例4. 作出数量场 u xy 所产生的梯度场的矢量线.
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
u u cos u cos u cos
l x
y
z
证明: 由函数 u(x, y, z) 在点 M0 可微 , 得 u u x u y u z o( ) x y z
(u cos u cos u cos ) o()
x
y
z
故
u 工程li数m学---u------矢u cos u cos u cos
过点 (1, 2,1)
的矢量线方程.
解： 矢量线所满足的微分方程为
dx dy dz (z y)2 z y
由 dy dz 得
zy
y 2 z 2 c1
又由合比定理
dx d ( y z)
(z y)2
工程数学---------矢
zy
量分析与场论
可得 dx ( y z)d ( y z)
60 17
2. 梯度 定义： 设有矢量场 u u( x, y, z),在点 M ( x, y, z) 处,
场论初步
§4 场论初步1. 若,222z y x r ++=计算)3(),(,1,,2≥∇∇∇∇∇n r r f r r r n . 解 由r z z r r y y r r x xr=∂∂=∂∂=∂∂,,知 ),,,(1),,(z y x rr z r y r xr ==∇ ),,(),,(1),,(1)()()(),,,(111),,,(2),,(12221//322z y x nr z y x r nr r z y x r r f r r f r f z y x r r r r z y x z y x r r r r rn n n --=⋅=∇=∇=∇-=∇-=∇=⋅=∇=∇ 2. 求z y x xy z y x u 424232222-+-+++=在点)1,1,1()1,1,1(),0,0,0(---B A O 初的梯度,并求梯度为零之点.解 因为,46,224,422-=∂∂++=∂∂-+=∂∂z z ux y y uy x x u所以)10,4,8(|)2,8,0(|)4,2,4(|---==--=B A O gradu gradu gradu因为0=gradu ,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=-+04602420422z y x y x 解之得32,3,5=-==z y x .因此使梯度为零之点为)32,3,5(-. 3.证明本节第二段关于梯度的一些基本性质5~1. 证明略.4.计算下列向量场A 的散度与旋度:(1)),,(222222y x x z z y A +++=;(2) ),,(222xyz xyz yz x A = (3) ),,(xy z zx y yz xA = 解 (1) 0)()()(222222=+∂∂++∂∂++∂∂=y x z x z y z y x divA ).22,22,22())()(),()(),()((222222222222y x x z z y y z y x z x y x x z y z x z z x y yrotA ---=+∂∂-+∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂-+∂∂= (2)同样可证xyz divA 6=)](),(),([222222x y z z x y y z x rotA ---= (3),111xyzx yz divA ++= ),,(1222222x y y x z x x z y z z y xyz rotA ---=5.证明本节第三段关于散度的一些基本性质3~1. 证明略.6.证明本节第四段关于旋度的一些基本性质3~1(可应用算符∇推演). 证明略.7.证明:场)2(),2(),2((z y x xy z y x xz z y x yz A ++++++=是有势场并求其势函数. 证 对空间任一点(x,y,z)都有)]}2([)]2([{)]}2([)]2([{)]}2([)]2([{=++∂∂-++∂∂+++∂∂-++∂∂+++∂∂-++∂∂=kz y x yz z y x xz x j z y x xy x z y x yz z i z y x xz zz y x xy rotA 故A 是有势场，由于dz z y x xy dy z y x xz dx z y x xyz d )2()2()2([++++++++ 故其势函数为：.)(),,(C z y x xyz z y x u +++=8．若流体流速),,(222z y x A =，求单位时间内穿过81球面1222=++z y x ，0,0,0>>>z y x 的流量。
场论,标量场的梯度, 矢量场的散度和旋度34页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
场论,标量场的梯度, 矢量场的散度和 旋度
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
场论初步
yz zx，
函数u在点M处最大的方向导数和它的方向。
梯度的性质：
1 grad (u v ) gradu gradv; 2 grad (u v ) ugradv vgradu; 3 gradf (u ) f (u ) gradu.
2、散度
设有一个稳定流动的流体速度场
Ax dx Ay dy Az dz
C
可以改写为以下形式：
C S
其物理意义是：向量场 A 沿闭曲线C的环量等于
展布在以C为边界的曲面S上每一点绕法线的旋 度之和。
A( P) l ds rot A( P) ndS.
Green公式,Guass公式,Stokes公式之 间的关系
S V
奥-高公式的物理意义：向量场通过闭曲面的总 流量等于闭曲面所围成的体内的每一点的散度的 总和。
奥-高公式表述了流量和散度之间的关系。流 量刻画的是向量场的整体性质，而散度刻画 的是向量场的局部性质。此二者之间存在密 切关系。
3 3 3 例2、求向量场 A( x , y , z ) x i y j z k
设 l (cos , cos , cos ) 是射线l的单位向
量，则 f f f f ( , , ) (cos , cos , cos ) l x y z gradf ( P ) l gradf ( P ) l cos gradf ( P ) cos .
结论：梯度方向是函数f(x,y,z)在点P变化率最 大的方向,即函数值增加或减少最快的方向。
等值面：曲面f(x,y,z)=C(C为常数）称为等值面。
场f(x,y,z)中过点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 有且仅有一 个等值面，等值面在 P0 的法线方程为
22_4 场论初步
第22章
场论初步
一、场的概念 二、梯度场 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场
一、场的概念
•若对全空间或其中某一区域V 中每一点M，都有
一个数量（或向量）与之对应，则称在V上给定了一 个数量场（或向量场）。
数量场 (数性函数) 函数 场
如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
( P cos Q cos R cos ) d s
数学分析
目录 上页 下页 返回 结束
12
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
13
定义:
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
数学分析
目录 上页 下页 返回 结束
旋度的力学意义: 设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为 , M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图,则 z
(0, 0, ), r ( x, y, z )
点 M 的线速度为
在场中点 M(x, y, z) 处
A n d S 为向量场 A 通过
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
数学分析
目录 上页 下页 返回 结束
9
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且