切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结

切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结
谢吉
【摘要】 切点弦方程是平面解析几何中的热点问题，求常见曲线的切点弦方程也成 了近年来高考的热门题型。

随着导数的引入 , 它的内涵更加深刻、题型更加丰富 熟练掌握切点弦方程的基本知识点，熟记圆锥曲线切点弦的基本性质，巧妙的应用 切点弦的几个定理，能够非常灵活的求出常见曲线的切点弦方程。

本文将会总结出 常见曲线切点弦方程相关的知识点，探究圆锥曲线的基本性质，并对切点弦方程的 相关定理及应用技巧做简要介绍，其目的在于说明运用此定理可以有效简化解题过 程，提高解题速度，启迪思维开阔视野。

【关键词】：切点弦 圆锥曲线 1、常见曲线的切点弦知识点归纳 (1)圆的切点弦方程
命题 1 过圆 C: x2+ y2= r2 外一点 M ( x0 , y0 ) 作圆的两条切线 MA 、MB ， 则切点弦 AB 所在的直线方程为 x0x + y0 y = r2
证明: 因为 OA MA , O B MB, 所以,O 、 A 、 M 、 B 四点落在以 O M 为 直径的圆 x ( x - x0 ) + y ( y - y0 ) = 0 上 , 它与圆 C 的公共弦即为 AB 。

两圆方程相减 , 得切点弦 AB 所在的直线方程为 x0 x + y0y = r2 (2) 椭圆的切点弦方程
x
0x y
0y
1
2 2
1
MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为 a 2
b 2
也成立。

L : x 2x y
2 y
1
MB 2 2
a b 。

x
1x 0 y 1y 0 1, x 2x 0 y 2y
0 1 2
2 2 2
又 M( x 0 , y 0 ) 在直线 MA 、 MB 上 , 则 a 2
b 2
a 2
b
2
命题 2
2 x 2 过椭圆 C: a 2
2
b y
2
1外一点
M ( x0 , y0 )
作椭圆的两条切线 MA 、
证明: 设 A ( x1 , y1 )
、 B ( x2 , y2 )
，将方程 2
x 2
a
2
y22
1
2
b 2
两边对 x 求导
2x 2 22y y '
1
a 2
b 2。

于 是 , 切 线 MA 的 方 程 为 y
y1
a
b 2
2x y
1
(x x 1) a y 1 , 即
x 1
2
(x x 1) a
b 12
(y y 1) 0化简得： L MA :
a 12
b 1
2
1，特别地 ,
当 y1 = 0 时 , 上式
同理：
x0x
2 都在直线a
这两个等式表示点A ( x1 , y1 ) 、B( x2, y2 )
说明此直线即为切点弦A B 所在的直线方程。

注: 这种通过类比而得到切点弦方程的证明方法通常称为“设而不求”
用此方法证明。

(3) 双曲线的切点弦方程
2
x y b02y1上, 也，命题1 也可
2命题3 过双曲线C: a21
外一点M( x0 , y0 ) 作双曲线的两条切线MA 、
x0x y0y
1
22
MB ，则切点弦AB 所在的直线方程为a2b2
(4) 抛物线的切点弦方程
2
命题4 过抛物线C: y 2px(p 0)外一点M ( x0 , y0 ) 作抛物线的两条切线MA 、MB. 则切点弦AB 所在的直线方程为y0y = p ( x + x0 )
(5) 反比例函数的切点弦方程
命题5 过反比例函数C: y0 ) 作它
的两条切线MA 、MB.
(6) nike 曲线的切点弦方程
k
y (k 0)
x的图像( 等轴双曲线) 外一点M ( x0 ,
则切点弦AB 所在的直线方程为x0y + y0x = 2k 。

k
y x (k 0)
命题6 过nike 曲线C: x外一点M ( x0 , y0 )
的两条切线MA 、MB. 则切点弦AB 所在的直线方程为( y0 - 2x0 ) x + x0y = 2k .
注: 仿命题2 的证明可证命题3、4、5、6。

2、圆锥曲线的切点弦性质探究
一般地说,从圆锥曲线外一点,可引两条切线A,B ( A,B 为切点) 。

它虽然不象圆那样:具有切线长定理等几何性质,但连结两个切点A、B , 所得的方程,却有相同的推导方法。

为了叙述上的方便,把这种方程叫做切点弦方程。

这种方程的推导简单, 方程形式简洁,而且在解题时,利用切点弦方程,更可以大大简化解题过程。

(1)切点弦的弦长
以椭圆为例：如图一所示，AB为切点弦，
设P0(x0,y 0)为椭圆b2x2+a2y2=a2b2外一
点，A，B为切点，则过切点A,B 的切点弦方程是(T), 即b2x0x+a2y0y=a2b2，且斜率
b2x0
K= 20，把T 带入椭圆方程并整理得：
a y0
作nike 曲线
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
(b x0 a y0 )x 2a b x0x a (b y0 ) 0
因而：
4 2 2 2 2 2 2 2 (x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2
4a 4 y 02(b 2x 02 a 2 y 02 a 2b 2
)
1 2 1 2 1 2 2 2 2 22
所以弦长
2 b 4x 2 a 4y 2 2 b x 0 a y
0 2 2 2 2 2 2
b x 0 a y 0 a b
由于点 P 0(X 0,Y 0) 在椭圆外，故
，同样亦可以证明双曲线
的切点弦弦长为 |AB|
2
同理可证得抛物线 y 2px
的切点弦长为： |AB|=
2)三角形 P 0AB 的面积 对于椭圆 来说，由于 P 0(X 0,Y 0) 点到切点弦 AB ： 的距
2 2 2 2 2 2 b x 0 a y 0 a b d 离为 b 4x 02 a 4y 02
(注意： b 2
x 02
a 2
y 02
a 2
b 2
0 )
1
所以 S P0AB = | AB | d 2 3
2 2 2 2 2 2 2 (b x 0 a y 0 a b ) 2
2 2 2 2
b x 0 a y 0
3 (x 2 y 2 r 2 )2
对圆而言，因为 a=b=r ，所以 S=(x 0 2y 0 2r )
r ， x 2 y 2 其中， x 02 y 02 是圆外一点到圆心的距离 d ， x 02 y 02 r 2
是这点所引圆的切弦长 rt 3
t, 则S=r d t 2 。

3、二次曲线的切点弦方程定理 求二次曲线切点弦的方程 , 常规解法计算较繁杂。

用下面几个定理给出一种新的解 法,显得巧妙灵活 ,对于共它与切点弦的有关问题 ,此种解法亦见简便。

定理一，椭圆 的切线斜率 K 切
，与切点和中心( h,k )
切
，
连线的斜率 k '之积为 K 切 K '= b
2
，当 a=b 时，为圆 K 切K '=-1 ，即过切点的半径与 a
切线垂直。

2 2 2 2
(b 2x 0
2 a 2 y 0
2)
2 2 2 2
b x 0 a
y 0
定理二，双曲线的切线斜率K切, 与切点和中心（h,k ）连线的斜率k'之积为K 切K'= b2 a2
定理三，抛物线的切点为（x0,y 0）的切线的斜率k切与切
点和顶点（h,k ）的连线的斜率k'之积为K 切K'= p x0 h
定理四，抛物线的切点为（x0,y 0）的切线的斜率k 切与切
点和顶点（h,k ）的连线的斜率k'之积为K 切K'=y0 k p
4、运用切点弦的性质定理巧解
题
例题1、在椭圆上求一点，使这点到直线的距离最短，
并求出这个距离。

解:由题设知:直线L和椭圆相离。

又与已知直线L平行的椭圆的切线有两条,每一条切线与L 的距离就是切点到直线L 的距离。

椭圆的其它各点都夹在这两条平行切线之间。

各点到直线L的距离,在两切点到直线L的距离之间,所以,所求的点必是椭圆平
行于已知直线L的两切线的两个切点之一同直线L平行的椭圆切线斜率K切= ，设切点
为M，由定理一有
所以，又椭圆是关于中心对称曲线，所以过两切点的直线
，同的两个交点（2，-3 ）和（-2 ，3），点（2，-3 ）到L的
距离
点（-2，3）到l的距离所以，点（2，-
3 ），
为所求。

例题2、如图二所示，已知抛物线C：和定点M（
2），过点M的直线交抛物线C 于点A、B，过点A、B 分别作
抛物
由于两切线均过 故（x 1，y 1）（x 2，
y 2）均为方程 的解，
，故 ，解得 或 2 ，从而点 N 的坐标为（10，
18）或（ -2 ， -6 ）。

经检验，上述点均符合条件，故所求的点 N 的坐标为（ 10，
18）或（ -2 ，-6 ）。

例题 3、过双曲线 外一点 P （ 3，3）作双曲线两切线， 切点分别为 M 、N ，
求直线 MN 的方程。

解：设两切点的坐标为 M （x 1， y 1）N （x 2， 线 C 的切线，两切线交于点 N ，若三角形 ANB 的面积为 ，求 N 的坐标
解：设点 N （x 0,y 0）, 可得直线 AB 方程为
, 即 由于直线 AB 过点 M （ 4，2）, 则 4x 0-4-2y 0=0 ，
即
故点 N （x 0,2x 0-2 ） 设 A ( x 1,y 1 ) , 直线 AB 为 x 0x-2y-4x 0+4=0,
,B(x 2,y 2), 联 立 方 程 消 去 y 得
2
则
4x 0 32x 0 32 0, x 1 x 2 2x 0, x 1 x 2 8x 0 8,
则点 N 到直线 AB 的距离：
d=
线段 AB 的长度
为： AB 1 k
AB 2
(x 1 x 2 )2
4x 1x 2 1 (x 20)2
4
故三角形 ANB 的面积
x 0
2
32x 0
32
s
ANB
1 x 02
8x 0 8 2 x 2 4
1 (x 20 )
2 4x 02
32x 0 32
3
2
(x 0 2 8x 0 8)2
28 7
y 2）则两切线方程为
P （3，3）
则过M，N 的直线方程为：。

综上所述, 可知注意对课本定理的研究,对于帮助学生理解课本内容, 提高证题水平, 启迪思维拓展视野均颇有益处，同时这样的专题研究,既有利于学生系统灵活地掌握学过的知识、提高学习效率，又有利于提高数学思维的能力和综合运用知识的能力，对于培养学生的探索精神和创新意识将会起到积极的作用。

参考文献：
[1] 蔡献慧. 圆锥曲线切点弦的应用. 洛阳师范学院学报[J],2006(5).
[2] 黄熙宗.圆锥曲线切点弦方程的简易求法. 苏州教育学院学报[J],1991(3): 94-95.
[3] 宋光德. 圆锥曲线中的切线和弦新探. 绍兴纹理学院学报[J],2001,21(1): 720-721.
[4] 教师教学用书, 人民教育出版社,2008.12.。