不等式 恒成立问题(学生版)

不等式中恒成立问题的解法

一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有

1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩

⎨⎧<∆>⇔00a ; 2）0)(

⎧<∆<⇔a 例1：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔

2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔

例2、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔

2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔

例3．已知(],1x ∈-∞时，不等式()

21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。

四、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例4．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

五、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；

2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。

例5：已知210,1,(),(1,1),()2x a a f x x a x f x >≠=-∈-<

当时有恒成立，求实数a 的取值范围。

例6 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈n

m n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.

课后作业：

1.已知函数])1(lg[2

2a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

2.函数),1[,2)(2+∞∈++=x x

a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

3.设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

4．在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(

sin sin 4)(2<-++=m B f B B B B f 且π恒成立，求实数m 的范围。

5．若不等式()

2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。

6．若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛

⎫∈ ⎪⎝⎭

内恒成立，求实数a 的取值范围。

7．已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.

8．已知函数|54|)(2--=x x x f ，若在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图象位于函数f (x )的上方，求k 的取值范围.