线性代数知识点归纳(同济_第五版)

线性代数复习要点

第一部分行列式

1. 排列的逆序数

2. 行列式按行（列）展开法则

3. 行列式的性质及行列式的计算

行列式的定义

1.行列式的计算：

①(定义法)12

12

12

11121

21222()

12

12

()n

n

n

n

n j j j

n j j nj

j j j

n n nn

a a a

a a a

D a a a

a a a

τ

==-

∑1

②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

之和.

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

1122,,

0,.

i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++

=⎨

≠⎪⎩

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

1122

1122***0*

*0*0

0nn

nn

b b A b b b b =

=

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则

==()mn A O A A O

A B O B O B B O A A

A B B O B O

*==**=-1

例 计算

2-100-1

300001100-2

5

解

2-100-1

30000110

-2

5

=

2

-1115735-13-25

⋅=⨯=

⑤ 关于副对角线：

(1)

2

1121

21

1211

1()n n n

n

n n n n n n n a O a a a a a a a O

a O

---*

=

=-1

⑥ 范德蒙德行列式：

()12

222

12

11

1112

n

i

j

n

j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏1

11

例 计算行列式

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

⑦a b-

型公式：1

[

(1)]()n

a b b b

b a b b

a n

b a b

b b a b

b b b a -

=+--

⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.

⑨(递推公式法) 对n阶行列式

n

D找出n D与1n D-或1n D-,2n D-之间的一种关系——称为递推公式，其中

n

D,1n D-,2n D-等结构相同，再由递推公式求出n D的方法称为递推公式法.

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，

使问题简化以例计算.

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

⑩

(数学归纳法)

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1

(1)

n

n

k

n k

k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k

S 为k 阶主子式；

3. 证明0A =的方法：

①、A A =-； ②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.

4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij

ij ij ij M

A A M ++=-=-

GAGGAGAGGAFFFFAFAF

第二部分 矩阵

1. 矩阵的运算性质

2. 矩阵求逆

3. 矩阵的秩的性质

4. 矩阵方程的求解

1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

称为m n ⨯矩阵.

记作：()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯ 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.

矩阵运算

a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.

b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.

c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==， 其中