线性代数重难点大纲
绪论
从高科技本质上就是数学技术到CT 技术到数学应用到数学建模到黑客帝国2的矩阵母。
工程数学之线性代数
《线性代数》主要讲述矩阵的初步理论及其应用，包括矩阵的代数运算；矩阵的秩与初等变换；矩阵的特征值、特征向量与相似，以及线性方程组和二次型。n 维向量空间相关性理论则是本课程的难点所在。全书各部分以线性空间与线性变换为主线，逐渐阐述欧氏空间的理论，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，一方面为学生学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，另一方面培养学生建立数学模型解决实际问题的能力。
第一章 行列式
内容概述：行列式是线性代数中的一个重要概念。本章从二、三元方程组的解的公式出发，引出二阶、三阶行列式的概念，然后推广到n 阶行列式，并导出行列式的一些基本性质及行列式按行（列）展开的定理，最后讲用行列式解n 元方程组的克拉默法则。
第一节 行列式的定义和性质
教学目的：复习二阶、三阶行列式的概念，了解逆序概念，掌握到n 阶行列式定义和性质。
重点难点：n 阶行列式定义和性质 教学过程：
一、 复习二阶、三阶行列式的概念 1．二阶行列式
我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。
在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为（1）， 用
加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当112212210a a a a -≠时，有 （2）：
（1） （2）
这就是二元方程组的解的公式。但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。
我们称记号（3）为二阶行列式，它表示两项的代数和：11221221a a a a -
（3）即定义（4）
二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，这条连线为主对角线；从右上角到左下角两个元素相乘取负号，这条连线为副对角线（或次对角线），即：
由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D 表示；如果将D 中第一列的元素a 11，a 21 换成常数项b 1，b 2 ，则可得到另一个行列式，用字母D 1表示，按二阶行列式的定义，它等于
两项的代数和：
，这就是公式（2）中x 1 的表达式的分子。同理将D 中
第二列的元素a 12，a 22 换成常数项b 1，b 2 ， 可得到另一个行列式，用字母D 2表示，按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：a 11b 2-b 1a 21，这就是公式（2）中x 2的表达式
的分子。于是有
于是二元方程组的解的公式又可写为1212,,0D D
x x D D D
=
=≠其中 2. 三阶行列式
含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为
（1）
还是用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当
时，有
（2）
这就是三元方程组的解的公式。这个公式更不好记，为了便于记它，于是引进三阶行列式的概念。 我们称记号
为三阶行列式。三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法
则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元素取负号，即
（3）
由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，所以称它为三元方程组的系数行列式，也用字母D 来表示。同理将D 中第一列、第二列、第三列的元素分别换成常
数项123,,b b b 就可以得到另外三个三阶行列式，分别记为123,,D D D 于是有
按照三阶行列式的定义，它们都表示6项的代数和；并且分别是公式（2）中x 1，x 2，x 3 的表达式的分子，而系数行列式D 是它们的分母。
于是三元方程组的解的公式又可写为312123,,D D D x x x D
D
D
=== ， 其中D≠0
例1：计算2
011411
8
3
D =
--- 解：
2(4)30(1)(1)1181(4)(1)0132(1)82484164
D =?-?+?-?-+??-?-?--??-?-?=-+-+=-
二、排列、逆序数与对换 1．排列
定义（排列）：由n 个不同的元素1,2,3,…,n 排成的任一有序数组，称为这n 个元素的全排列，简称排列。 N 个元素排列的总数为n!个. 2．逆序
定义：我们将n 个不同的自然数从小到大规定为标准次序，如12345。在一个排列p 1 p 2 ...p n 中，如果有某个较大的数i t 排在较小的数i s 的前面，就称排列有一个逆序。例如在12354中，较大的数5排在较小的数4之前，就称排列有一个逆序或5与4为一个逆序。 一个排列p 1 p 2 ...p n 中逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为N(p 1 p 2 ...p n )。例如 N （12345）=0，N （12354）=1 N （13254）=2
求一个排列p 1 p 2 ...p n 的逆序数的方法是：
法1：先求第一个元素p 1的逆序数N 1即前面有几个比它大的数，再求第二个元素p 2的逆序数N 2，…，最后求第n 个元素p n 的逆序数N n ，将它们加起来即可。
法2：看第一个元素p 1的后面有几个比它小的数目N 1，再求第二个元素p 2的后面比它小的数目N 2，…，最后求第n 个元素p n 的后面比它小的数目N n ，将它们加起来即可。
法3：先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为N 1,，再看有多少个比2大的数排在2前面，记为N 2，…，再看有多少个比n 大的数排在n 前面，记为N n (=0)
即无论哪种方法，都有 1212()n n N p p p N N N =++
例2 计算N （32514）和N （34125）
解：在32154中3的逆序数为0,2的逆序数为1,5的逆序数为0,1的逆序数为3,4的逆序数为1即N （32514）=0+1+0+3+1=5. 同理N （34125）=0+0+2+2+0=4
3. 奇偶排列
定义:如果N(p 1 p 2 ...p n )为奇数，则称p 1 p 2 ...p n 为奇排列；如果N(p 1 p 2 ...p n )为偶数，则称p 1 p 2 ...p n 为偶排列.规定：排列1 2 … n 为偶排列.32154是奇排列，34125是偶排列。 4. 对换
例如在排列32145中，将2与4对换，得到新的排列34125。这称为对换。
定义（对换）：在一个排列a l ...a s ...a t ...a n 中，如果只将a s 与a t 的位置互换（其余均不动），得到另一个排列a l ...a t ...a s ...a n ，这样的变换称为一次对换。将相邻元素对换，叫做相邻对换。
N （34125）=4 奇排列经对换2与4后变成了偶排列N （32514）=5 定理1 ：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 证：1)首先讨论对换相邻两个元素的情况。
设排列为11l m a a abb b 将相邻两元素a 与b 作一次对换，则排列变为
11l m a a bab b ，显然对元素11,,,l m a a b b 来说，并不改变它们的逆序数。而a 、b 两
元素的逆序数改变为：当a ＜b 时，经过a 与b 对换后，排列的逆序数增加1个；当a ＞b 时，经过a 与b 对换后，排列的逆序数减少1个。所以对换相邻两元素后，排列改变了奇偶性。 2)再讨论一般情况.
设排列为111l m n a a ab b bc c 欲将a 与b 作一次对换，这是对换不相邻的两元素
的情况。但它可以看成是先将b 与b m 对换，…，最后与b 1对换，即b 与它前面的元素作m 次相邻元素的对换变成排列111l m n a a abb b c c ；然后将元素a 与它后面的元素b, b 1, …b m ,作m+1次相邻元素的对换而成。即相当于作m+(m+1)=2m+1次相邻两元素的对换。
由前面证明的可知，排列的奇偶性改变了2m+1次。不论m 为何数，2m+1必为奇数，说明排列改变了奇偶性。于是证明了任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变。 证毕 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对调次数为偶数。
证 ：由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0），因此知推论成立。 证毕 三、行列式的定义
观察11
1213
21
222331
32
33
a a a D a a a a a a ==112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- 寻找规律：1)三阶行列式是3！项的代数和。
2)每一项都可写成123123p p p a a a ，恰是来自不同行不同列的三个元素的积。 3)123p p p 时123的一个排列，当排列是偶排列时，项取正号；反之取负号。 因此，各项所带的符号可以表示为(1)t
-，t 为列标排列123p p p 的逆序数。
即11
121321
222331
32
33
a a a D a a a a a a ==1
23123(1)t
p p p a
a a -∑，Σ表示对123三个数的所有排列123p p p 取
和。仿此，可以把行列式推广到一般情形。
1．定义（n 阶行列式定义）：由n 2
个元素排成n 行n 列的数表（表1）作出表中位于
不同行不得同列n 个数的乘积，并冠于符号(1)t
-，得到形如1212(1)n t
p p np a a a - 的项，其
中12n p p p 为自然数12…n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，这样的项共有n!项，所有这n! 项的代数和
1
212(1)n t
p p np a
a a -∑ 称为n 阶行列式,记作表2形式，简记为det()ij a ,
或ij n
a ，数ij a 称为行列式det()ij a 的元素。11
12
121
2221
2n
n n n nn a a a a a a a a a
1112121
2221
2n n n n nn
a a a a
a a D a a a =
表1 表2
注意：1、n 阶行列式的定义有三个要点： （1）是n!项的代数和；
（2）每一项的符号是：当其元素的行指标按自然数顺序排列后，如果列指标排列为偶排列，则取正号；如果为奇排列，则取负号；
（3）每一项是取自不同行不同列的n 个元素的乘积（这样的项恰有n!项）.
2、由行列式的定义不难看出：如果一个行列式有一行（或一列）的元素全为零，则此行列式的值必为零。
3、按此定义的二阶三阶行列式和前面用对角线法则定义的二阶三阶行列式显然是
一致的。当n=1时，一阶行列式|a|=a 不是绝对值。
例3 求对角行列式D 1和D 2（主对角线或副对角线以外元素全为零的行列式）、上三角形行列式D 3（主对角线下方元素全为零的行列式）、下三角形行列式D 4（主对角线上方元素全为零的行列式）的值。
1122100
0000nn
a a D a =
12,12100
000000n
n n a a D a -= 111212223000n n nn a a a a a D a = 11212241200
0n n nn a a a D a a a = 12,125
1100
0n
n n n nn nn a a a D a a a --= 解：显然D 1=D 3=D 4=1122nn a a a ，D 5＝D 2＝12,11(1)t
n n n a a a -- =(1)
2
12,11(1)
n n n n n a a a ---
2．另一种定义（n 阶行列式定义）： n 阶行列式的定义为1
212(1)n t
p p np D a
a a =
-∑ ，行排列是标准排列，是否可以使列排
列为标准排列？也就是可以将1212n p p np a a a 经过若干次的对换变成1212n q q q n a a a 而不改变原来的符号吗？先看对换一次情况如何：将11i j n p ip jp np a a a a 中的i j ip jp a a 、对换为 此时行标排列由1…i …j …n 变为1…j …i …n ，逆序为r ，由定理1知r 为奇数；列标排列由1i j n p p p p 变为1j i n
p p p p ，逆序为k ，则由定理1得(1)(1)(1)t k k r +-=--=-，于是1111(1)(1)i j n j i n t k r p ip jp np p jp ip np a a a a a a a a +-=-
它表明对换两元素后，行标排列和列标排列之和不改变奇偶性。经过一次对换是如此，多次对换后还是如此，若干次后，列标排列12n p p p （逆序数为t ）变为自然排列（逆序数为0），行标排列由自然排列变为新排列12n q q q ，逆序数为
s ，则有
1212(1)n t p p np a a a - =1212(1)n s q q q n a a a - ，由此可得：
定理2 n 阶行列式也可定义为1212(1)n t q q q n D a a a =-∑ 其中t 为行标排列的逆序数。
证明：略（看书）。
事实上n 阶行列式还可更一般的定义为1122(1)
n n s t
p q p q p q D a a a +=-∑ 其中s 、t 为行
标和列标排列的逆序数。 四、行列式的性质
记11
121212221
2n n n n nn
a a a a a a D a a a =
则112111222212n n T n
n nn
a a a a a a D a a a =
称为行列式D 的转置行列式
性质1 行列式与它的转置行列式相等
可否淡化
一点？
证明：11
121212221
2n n n n nn
a a a a a a D a a a =
设11
1212122212n n T n n nn
b b b b b b D b b b =
ij ji b a =(,1,2,,)i j n =
则12
12(1)n T
t
p p np D b
b
b =
-∑ 1212()12(1)n n t j j j p p p n a a a D =-=∑
说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。（交换ij 两行（列）记为,i j i j r r c c ??）
证：设行列式11
12121222112n n n n nn
b b b b b b D b b b =
是由原来的行列式det()ij a 变换i ，j 两行得到的，
不是i,j 行时，即k ≠i,j,kp kp b a =；当是i,j 行时即k =i,j,,ip jp jp ip b a b a ==于是
111(1)i j n t p ip jp np D b b b b =-∑ =11(1)i j n t
p jp ip np a a a a -∑ =11(1)j i n t p ip jp np a a a a -∑
其中1…i …j …n 为自然排列，t 为排列1i j n p p p p 的逆序数，设排列1j i n p p p p 的逆序数为s ，则(1)(1)t
s
-=--故111(1)j i n s p ip jp np D a a a b D =--=-∑ 证毕
推论：如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 （互换两行，-D=D 故D=0） 性质3 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 记法：第i 行乘以k ，记为i r k ?，简记i kr ；第i 列乘以k ，记为i c k ?，简记i kc 。 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面
性质4 若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式等于0 。
性质 5 如果行列式某一行（列）是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。即
1112111221
2
n n n n n nn
a a a
b
c b c b c a a a +++
11121121
2n n n n nn a a a b b b a a a =
+111211
212n n n n nn
a a a c c c a a a
1112111212222212n n n n n n nn
a a
b
c a a a b c a a a b c a +++
=
11121121222212n n n n n nn
a a
b a a a b a a a b a
+11121121222212n n n n n nn
a a c a a a c a a a c a +
说明：D=11(1)()n t p i j np a b c a -+∑ =11(1)n t p i np a b a -∑ +11(1)n t p j np a c a -∑ =D 1+D 2 性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k 后再加到另一行（列）对应的
元素上去，行列式的值不变。记为s t r kr +()s t c kc +
证：111211
2121
2n s s sn
t t tn
n n nn
a a a a a a D a a a a a a =
作s t r kr +得1112111
221121
2
n s t s t sn tn
t t tn n n nn
a a a a ka a ka a ka D a a a a a a +++=
1112112121
2n s s sn
t t tn
n n nn
a a a a a a a a a a a a =
1112112121
2
n t t tn
t t tn n n nn
a a a ka ka ka a a a a a a +
0D D =+=
说明：性质5表明可以将复杂的行列时分解为两个行列式，甚至可以继续下去；性质236介绍了行列式的三种运算，利用这些运算进行化简，特别是利用性质6将行列式化为（上）三角形行列式。
例4 计算3
112
51342
1115
33
D ---=
---
(把11a 换成1，将该行或该列其他元素消成0，继续消成三角形行列式)
例5 3111
131111311113
D =
（注意所有行或所有列的元素之和相等，则全部加到第一行或第一
列，提取公因子，再消成三角形行列式）
练习x 1x 2x 3是方程x 3+x+1=0的三个根，求1
23
2
313
12
x x x x x x x x x 的值 例6 计算2324323631063a
b c d
a a b
a b c
a b c d D a a b a b c
a b c d
a a
b a b
c a b c d
++++++=
++++++++++++
注意 淡化证明 重在说明 强化应用
例7 判断：通过1221,r r r r +-计算
a b a c b d c
d
c a
d b
++=
--是否正确？
例8 设1111111111110n k kk n n n nk
n nn
a a a a D c c
b b
c a b b =
，11111
n
k kk a a D a a =
，11121n
n nn
b b D b b = 证明：D=D 1D 2
五、小结：行列式的重点是计算，应当在理解行列式的概念、掌握行列式性质的基础上，熟
练正确地计算低阶行列式，会用恒等变形化行列式为上下三角形行列式，从而直接求其值。
六、作业：P32.的1、2、3、4（1）（2）（3）、5（1）（2）（3）、6、7（1）（2） 板书：
课后反馈：
绪论讲了半节课，时间有点紧张，例5以后都没讲，后一节课讲了例5和例8。前面会罗嗦
点，后面会加快一点。作业只做到5（2）
第二章 矩阵及其运算
内容概述：矩阵是数学中的一个重要的概念；它是线性代数的主要研究对象之一，在科学技术及经济领域中有广泛的应用。矩阵理论贯穿线性代数始终，对矩阵的理解和掌握要扎实深入融会贯通。这一章的目的是引入矩阵的概念及运算，并讨论它们的一些基本性质，最后给出两种求逆矩阵的方法。 考试要求：
1理解矩阵概念，了解一些特殊矩阵定义
2掌握矩阵线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律；了解方阵的幂、方阵行列式 3理解逆矩阵概念，掌握其性质、矩阵可逆的充要条件；理解伴随矩阵，会用它求逆阵 4了解分块矩阵概念及运算
第一节矩阵及矩阵的运算
教学目的；掌握矩阵以及一些特殊矩阵的概念、运算和性质 重点难点：概念、运算与性质 教学过程： 一、矩阵
1定义： 由m×n 个数(1,2,1,2)ij a i m j n == 排成一个m 行n 列的矩形表称为一个m 行n 列矩阵，简称m×n 矩阵，其中的元素α
ij
称为矩阵的第i 行第j 列的元素。
11122122212in n m m mn a a a a a a A a a a ??????=????????
通常，我们用大写拉丁字母A ，B ，C…等表示矩阵，为了明确起见，有时在右下角标明矩阵的行数和列数， 例如m n A ?或记作 m n A ?或A =()ij m n a ?=
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等：矩阵m n A ?m n B ?是同型矩阵且它们的元素都相等。(,1,2)ij ij a b i j n A B ==?=
例；A=B 得到 x= y= z= 2一些特殊的矩阵：
零矩阵(Zero Matrix):元素全为零的矩阵称为零矩阵，m ×n 零矩阵记作0m n ?或O 。 注
意：不同阶数的零矩阵是不相等的。
行矩阵(Row Matrix):只有一行的矩阵()12,,,,n A a a a = 称为行矩阵(或行向量). 列矩阵(Column Matrix): 只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量). 方阵(Square Matrix): 行数与列数都等于n 的矩阵，称为n 阶方阵n A
对角阵(Diagonal Matrix):方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。Λ=diag{ } 数量矩阵(Scalar Matrix): 方阵，主对角元素全为非零常数k ，其余元素全为零。 单位矩阵(Identity Matrix): 方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。记作n E 或E 行列式与矩阵的区别: 1. 一个是算式 ，一个是数表
2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同.
3. 对 n 阶方阵可求它的行列式. 记为: A
()000000000000.00000000?? ? ?≠ ? ? ???，12
n a a B a ??
? ?= ? ? ???
列矩阵，1362222222i ?? ? ? ???是复矩阵，是方阵
1212(,,)n n a a diag a a a a ?? ? ?Λ== ? ? ??
?
是对角阵,n
n n
k k kE k ???
?
?= ? ? ??? 是数量矩阵
3. 矩阵的应用实例
例1：(价格矩阵)某工厂往三家商店(Shop)送四种食品(Food)，ij a 表示第i 个商店第j 种食品的数量，单位量的售价(以某种货币单位计)和重量可用以下两个矩阵给出
2
1
2
3
413158112216912191881516F F F F S S S
A ?? ?= ? ???2
3354759B ?? ? ?= ? ? ??
?
例2：(通路矩阵)四个城市的通路如图从i 市到j
1ij a =，从i 市到j 市没有通路，0ij a =。用矩阵表示，可以将它推广到若干个城市：
01111000()01001010ij A a ??
?
?
== ?
?
???
例3：(赢得矩阵) 我国古代有“齐王赛马”的事例,说的战国时代齐王与其大将田忌赛
马, 双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛, 这样共赛马3次, 每次比赛的败者付给胜者一百金。已知在同一等级马的比赛中，齐王
之马可稳操胜券, 但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、下等级的马。比赛策略：1=(上、中、下)，2=(中、上、下)，3=(下、中、上)，4=(上、下、 中)，5=(中、下、上)，6=(下、上、中) ，ij a 表示齐王的第i 种策略对田忌的第j 种策略的结果，分别为3，1，-1，-3。，则齐王的赢得矩阵A 如图所示。从矩阵中可以得到齐王策略和田其策略。
例4：(系数矩阵) n 个变量12,,n x x x 与m 个变量12,,m y y y 之间的关系式如图所示，表示一个从变量12,,n x x x 到变量12,,m y y y 的线性变换，其中ij a 是常数。线性变换的系数ij a 构成系数矩阵
()ij m n A a ?=
线性变换确定系数矩阵，反之亦然。线性变换和系数矩阵存在着一一对应的关系，今后
我们研究线性变换只需研究系数矩阵即可。特别的，某些线性变换对应着特殊的矩阵：
例5（投影变换和旋转变换）1000?? ???对应线性变换111000x x y y x y =?+???=?+??将x y ?? ???
变为0x ??
?
??如图所示
3111111
311111131111113111
1
1
1
3
11
1
1
1
1
3-??
?
- ? ?
- ?
- ? ?- ? ?-??
11111221221122221122n n
n n m m m mn n
y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++??=+++??
??=+++? 1122,,n n
y x y x y x =??=??
??=? 恒等变换
单位阵
100010001n E ??
? ?=
? ? ???
1
11222n
n n
y x y x y x λλλ=??=????=? 12
n λλλ??
?
? ? ? ???
cos sin sin cos ????-??
???对应线性变换11
cos sin sin cos x x y y x y ????=?-???=?+??将x y ?? ???变为11x y ??
???如图所示
1． ()ij A a = 例
负矩阵：()ij A a =，()ij A a -=-称为负矩阵则
减法为：A-B=A+（-B ） A+（-A ）=0
矩阵加（减）法运算下列运算律。 A ，B ，C ，O 都是m×n 矩阵，则有 ： （1）A+B=B+A （交换律）（2）A+（B+C ）=（A+B ）+C （结合律）（3）A+O=O+A=A 2、数乘：
定义（数和矩阵相乘）：用数λ乘矩阵A 的每一个元素所得到的矩阵，称为数λ与矩
阵A 的积，记为λ A 即，)ij A A a λλλ==
（ 举例：数与矩阵A 相乘和数与行列式相乘不同。 数乘运算律：A 、B 是m×n 矩阵，λμ是数 （1）1A=A （2）0A=0 （3）(λμ)A=λ（μA ）
（4）(λ+μ)A=λA+μA （5）λ(A+B)=λA+λ B 表示数的结合律和分配律。 注意：在（2）式中，左边的0表示数零，而右边的0则表示m 行n 列零矩阵。
矩阵相加与数乘合起来统称为矩阵的线性运算 例7 求满足下列等式的矩阵Ｘ.
3、矩阵的乘法 ： 定义（矩阵的乘法）：设 ()ij m s A a ?=()ij s n B b ?=则 矩阵A 和B 的乘积()ij m n AB C c ?== 其中11221
s
ij i j i j is sj ik kj
k c a b a b a b a
b
==+++=
∑ ()1,2,;1,2,,,i m j n ==
说明：1如果矩阵A 的列数等于矩阵B 的行数，则A 与B 可以相乘，否则不可乘。其乘积C 的第i 行第j 列的元素C ij 等于矩阵A 的第i 行的元素与矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和。并且矩阵C 的行数等于矩阵A 的行数，矩阵C 的列数等于矩阵B 的列数。 2 矩阵乘法不可交换AB 。(1,0,4),(1,1,0)T
A B ==验证AB≠BA，甚至无意义。 3左乘和右乘有严格区别。若AB=BA ，称A 与B 可交换。
368321????1213859169504336281++-+?? ?=+-++ ? ?+++?
?13114744.689?? ?=- ? ???111212122211
n n m m mn a a a a a a A a
a a ---??
?
--- ?-=
?
?
?---??
111212122211.n n m m mn a a a a a a A A a a a λλλλλλλλλλλ??
? ?== ?
? ???
4AB=0可能A≠0且B≠0即无真零因子。验证BA=
2424
3612
-
????
???
---
????
=0
5A=
10
00
??
?
??
B=
20
00
??
?
??
C=
20
01
??
?
??
不满足消去律AB=AC→B=C；反之成立。
例8 设矩阵
求AB。
例9求()11121
12
21222
a a b
b b
a a b
????
???
????
例10求
3334
11214
15802
110137
??
????
? ?
-
? ?
? ?
????
，
34
44
1
1214
1
5802
1
10137
1
?
?
??
?? ?
? ?
-
? ?
? ?
?? ?
??
11
22
n n
n n n n
a b
a b
a b
??
????
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
????
111121314
221222324
331323334
3334
a a a a
a a a a
a a a a
λ
λ
λ
??
????
? ?
? ?
? ?
????
1
11121314
2
21222324
3
31323334
34
444
a a a a
a a a a
a a a a
λ
λ
λ
λ
?
?
??
?? ?
? ?
? ?
? ?
?? ?
??
得到
m m m n m n m n n n
E A A A E
?????
==，E~单位元1；
(λE)A=λA=A(λE)=λA λE是方阵纯量阵相当于数乘
线性方程组可以写为AX=Y，A为系数矩阵，X=(x1,x2,…,x n)T，Y=(y1,y2,…,y n)T
矩阵乘法的运算规律: (设下列矩阵都可以进行有关的运算)
（1）（AB）C=A（BC）（结合律）（2）k（AB）=（kA）B=A(kB) （k是实数）（3）（A+B）C=AC+BC C（A+B）=CA+CB（左右分配律）
例如
根据矩阵乘法的定义，则线性方程组可以表示为 Ax=B 。
4、方阵的幂
定义（方阵的幂）：设A为n阶方阵，则k个A的连乘积称为方阵A的k次幂，即
方阵的幂有以下运算规律：（设A是方阵，k,l是自然数.）
则（1）,
m k m k
A A A+
=（2）().
k
m mk
A A
=（3）n E E
=
一般来说，对k>1 （AB）k≠A k B k只有当AB=BA时（AB）k=A k B k
例11 已知
1211
,
3424
A B
-
????
==
? ?
????
求：A2，B2，A2－B2，(A＋B)(A－B).
解
=
我们看到：，这是因为乘法不满足交换律。
例12．通路矩阵
0111
1000
0100
1010
A
??
?
?
=
?
?
?
??
，则2
2110
0111
1000
0211
A
??
?
?
=
?
?
?
??
表示从i市中转一次到达j 市的航线条数。
例13证明
cos sin cos sin
sin cos sin cos
n n n
n n
????
????
--
????
=
? ?
????
（数学归纳法）
5、矩阵的转置
定义（矩阵的转置）：把m×n矩阵A的第i行(i=1,2...n )的元素作为第i列的元素构成一个n×m的新矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作A T或。
11121
21222
12
n
n
m m mn m n
a a a
a a a
A
a a a
?
??
?
?
=
?
?
?
??
则
11211
12222
12
m
m
T
n n mn n m
a a a
a a a
A
a a a
?
??
?
?
=
?
?
?
??
应当注意：矩阵A的第i行第j列的元素在矩阵A T中位于第i列第j行的位置，并且如果A是m×n矩阵，则A T是n×m矩阵。举例说明。
矩阵的转置也是一种运算，它有以下运算规律。（设下列矩阵都可以进行有关的运算）（1）（A T）T=A （2）（A+B）T=A T+B T（分配律）（3）（kA）T=kA T（4）（AB）T=B T A T
例14 已知
求（AB）T和B T A T
解一：
∴
解二：
特例：对称矩阵
定义：设A为n阶方阵，若A T=A 则称A为对称矩阵，简称对称阵。
ij ji
a a
=特点是它的元素以主对角线为对称轴对应相等.举例说明。对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵例15证明A T A和A A T都是对称阵。
例16设列矩阵X=(x 1,x 2,…,x n )T 满足X T X=1，E 为n 阶单位阵，H=E —2XX T
证明：H 为对称阵，且HH T =E 6、方阵行列式
定义:由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵A 的行列式，记作|A|或detA 。
注意：方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是n 2
个数按一定方式排成的数表，而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。 方阵的行列式的运算律: 设A ，B 为n 阶方阵，k 为数
（1）|A T |=|A| （2）|kA|=k n
|A| （3）|AB|=|A||B| 注意：对于n 阶方阵A ，B,一般来说AB≠BA，但总有|AB|=|BA| 7、伴随矩阵
定义:设A 是n 阶方阵，A 中元素a ij 的代数余子式为A ij 则称n 阶矩阵A *为A 的伴随矩阵。 请注意A *中各元素的编号顺序。 例17 设方阵
求A *. 并求AA *，A *A ，|A|,|A|E ，有AA *=A *
A=|A|E 。 8、共轭矩阵
定义：当矩阵A 是复矩阵是，由ij a 的共轭复数构成的矩阵称为A 的共轭矩阵()ij A a = 满足：（1）A B A B +=+（2）A A λλ=（3）AB AB =
三、小结：本节的概念、法则和运算律特多，与以往所学的有所不同理，要多比较，才能更好地理解矩阵和一些特殊矩阵定义，掌握矩阵线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律；了解方阵的幂、方阵行列式、共轭矩阵。 四、作业 五、板书
六、反馈
只讲到转置，作业2，3，4（234），7，9
112111222212n n n n
nn A A A A A A A A A A *??
? ?= ?
? ?
??
线性代数期末考试试卷答案合集
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
线性代数选择题(考试用题)
线性代数选择题道（含答案） 1.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 3.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 4.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则 必有（） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 5.下列矩阵中是正定矩阵的为（） A. 23 34 ? ? ? ? ? B. 34 26 ? ? ? ? ? C. 100 023 035 - - ? ? ? ? ? ? ? D. 111 120 102 ? ? ? ? ? ? ? 6.下列矩阵中，（）不是初等矩阵。 A. 001 010 100 ?? ?? ?? ?? ?? B. 100 000 010 ?? ?? ?? ?? ?? C. 100 020 001 ?? ?? ?? ?? ?? D. 100 012 001 ?? ?? - ?? ?? ??
《线性代数》教学中若干难点的探讨.doc
《线性代数》教学中若干难点的探讨- 摘要：在《线性代数》的教学过程中，有很多抽象的概念学生很难理解，比如线性相关、线性无关，极大线性无关组、向量组的秩等等。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，化抽象为具体，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 关键词：线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩 《线性代数》是高等学校理、工、经、管类各专业的一门重要基础课程。通过对本课程的学习，学生可以获得线性代数的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习和进一步知识的获得奠定必要的数学基础。通过各个教学环节的学习，可以逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力，并具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力。另外，通过《线性代数》的学习，还可以培养学生的综合素质和提高学生的创新意识。因此，只有熟练掌握这门课程，才能较好地运用到各个专业中。由于该课程内容抽象，教学课时短，这无疑对教师的教学和学生的学习造成了极大的困扰。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 一、线性相关性与线性无关性 线性方程组理论是线性代数的基本内容之一，而向量组的线性相关性和线性无关性又是解线性方程组的基础。教材第三章线性方程组开门见山，直接给出了线性相关及线性无关的定义。
线性相关是指一个向量组α1，α2，…，αs，如果存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，则称该向量组α1，α2，…，αs线性相关。如果不存在这样一组不全为零的数，则称该向量组α1，α2，…，αs线性无关。单纯地称某向量组线性相关或线性无关，对于学生来说是比较抽象的，他们对这一定义总是感觉很模糊，很难理解，如何才能更好地更形象地理解这一定义呢？如果在教学中，把这块知识与解析几何联系起来，用几何知来解释什么是线性相关或线性无关，那么学生肯定更容易接受。例如，对于定义中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解为b=（λ1，λ2，…，λs）这样的一个行向量。如果向量组有两个列向量构成，即α1，α2，则b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0，则经过变换可以得到α1=■，这说明α1和α2共线。对于有三个向量构成的向量组，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，经变换得到α1=■+■，这说明α1，α2，α3三个向量共面。 对于两个向量，线性相关指两向量平行（或者说是共线），此时只是在线上的关系，仅仅是一维，线性无关指两向量相交，确定了一个二维平面。线性无关提供了另一种维度，使得向量所在空间增加了一维。对于三个向量，线性相关指三向量共面，研究的是二维平面，而线性无关指三向量不共面，使得向量所在空间增加了一维，即三个向量若线性无关，那么它们不共面，存在于三维立体空间中。四个向量，五个向量，…，研究方法类似。结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念，学生更易于接受，而且还有助于提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 二、极大线性无关组及向量组的秩
中考数学要点难点分析整理复习总结
初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 （1）有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。 考察内容：复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。 （2）整式的加减：中考试题中分值约为4分，题型以选择和填空题为主，难易度属于易。 考察内容： ①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式，平方差公式的几何意义 ③利用提公因式发和公式法分解因式。 （3）一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有（归纳、总结、延伸）应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。 考察内容： ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 （4）几何：角和线段，为下册学三角形打基础 初一下册
相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 （1）相交线和平行线：相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空，选择题形式出现。分值为3-4分，难易度为易。 考察内容： ①平行线的性质（公理） ②平行线的判别方法 ③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。 （2）平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。 考察主要内容： ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 （3）二元一次方程组：中考分值约为3-6分，题型主要以选择，解答为主，难易度为中。 考察内容：①方程组的解法，解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 （4）不等式和不等式组：中考试题中分值约为3-8分，选择，填空，解答题为主。 主要考察内容： ①一元一次不等式（组）的解法，不等式（组）解集的数轴表示，不等式（组）的整数解等，题型以选择，填空为主。 ②列不等式（组）解决经济问题，调配问题等，主要以解答题为主。 ③留意不等式（组）和函数图像的结合问题。
线性代数期末考试试卷+答案合集
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
线性代数重点难点
自考《线性代数》重难点解析 2011-02-17 11:09:49 | 作者: min | 来源: 考试大 | 查看: 第一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│ 2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│ 3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1 若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1 4、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法）
1）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法，多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即 x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题 1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解） 2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法
人教版数学七年级下册重难点完整版
人教版数学七年级下册 重难点 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
七年级下册重难点 相交线与平行线（共6课时） 课题：相交线垂线 1 [教学目标] 1.通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有条理表达能力 2.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。 [教学重点与难点] 重点:邻补角与对顶角的概念.对顶角性质与应用、垂线的定义及性质 难点:理解对顶角相等的性质的探索、垂线的画法。 课题： 5．2平行线直线平行的条件 2 [教学目标] 1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系； 2．理解并掌握平行公理及其推论的内容；会用直线平行的条件来判定直线平行 4．了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角； [教学重点与难点] 重点：平行线的概念与平行公理；判定两条直线平行方法的应用； 难点：对平行公理的理解．简单的逻辑推理过程. 课题：平行线的性质 2 [教学目标] 1．使学生理解平行线的性质和判定的区别． 2．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理． [重点难点] 重点：平行线的三个性质；平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念 难点：平行线的三个性质和怎样区分性质和判定．平行线性质和判定灵活运用 课题：平移 1 [教学目标] 1.了解平移的概念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移问题 2.培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题. [教学重点与难点] 重点:平移的概念和作图方法. 难点:平移的作图
大一线性代数期末考试试卷
线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
线性代数期末考试试题
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数易错点及重点知识点
线性代数易错及重点知识点 翔翔总结，不晓得大家看得懂不 3 24712432的余子式是327134722412，而不是23271 上三角和下三角行列式都是a1a2a3.....an=A 反三角行列式为A*（-1）^n(n-1)/2 行列式的一行的代数余子式分别乘以另一行元素，值为零。 正反三角行列式如果不记得公式了，可以通过上下换行的形式变成正三角行列式。 克莱姆法则D=222112 11a a a a ,D1=22 2121a b a b D2=22211211a a a a x1=D1/D 同理x2=D2/D 范德蒙法则：行列式的值=(x n -x n-1)(x n -x n-2)……(x n -x 1)(x n-1-x n-2……)(x 2-x 1) 若一个线性方程组有非零解，则它的行列式式值等于零。 行列式中行叫c ，列叫r 写行列式变换过程中要在等号上写变换方法，如c2-c3.不然老师看不懂步骤，无法给分 化三角行列式先化第一列，在化第二列，按顺序来化，这样才不会出现问题。 n 维向量分横向量和列向量。 写向量时一定要记得在上面加箭头 任意一个n 维向量都能由n 个n 维单位向量线性表示 如果b1=k1a1+k2a2+k3a3,线性表示不一定要求k1,k2,k3不全为零。 如果一个向量a 线性相关，则a=0 由一个非零向量构成的向量组一定线性无关。即a ≠0则a 这个向量组线性无关。 含有零向量的向量组一定线性相关 例a1=（1，1）a2=（2，3）求这两个向量组是否线性相关 解：k1a1+k2a2=0 k1(1,1)+k2(2,3)=0 K1+2k2=0 k1+3k2=0 3 121≠0所以k 全是零解，所以线性无关 a3=a1+a2,则a1,a2,a3线性相关 一个向量组中的一个向量可由其他向量线性表示，那么这个向量组线性相关，能线性表示不一定要k 不全为零，但是线性相关一定要不全为零 两个向量线性相关除非他们对应分量成比例。 如果一个向量组一部分向量线性相关，则，整个向量组线性相关。 一个向量组线性无关，那么它的一部分也线性无关 向量组线性相关，减少其中几维一样线性相关，向量组线性无关，增加几维向量一样无关。 应用：要证线性相关，则增加维，如果增加后相关，则原向量组相关。 要证线性无关，则减少维，如果减少后无关，则原向量组无关。 要证线性相关，则增加向量个数，如果增加后相关，则原向量组相关。 要证线性无关，则减少向量个数，如果减少后无关，则原向量组无关。 向量个数大于维数一定线性相关 一个向量组的每个最大线性无关组中的向量个数一定相等 向量空间：线性无关组ab ……n 若a+b ……n 属于v Ramada a 属于v 则v 为向量空间v 的维数就是向量组的秩，a b ……n 称为空间的基
初中数学中考知识重难点分析
初中数学中考知识重难点分析 适当练习大家都知道学习数学最重要的是练习，平时多做一些基础题可以锻炼解题熟练度，多做一些中档题可以熟悉考试题型，过于困难的题目不建议大家多做，接下来小编为大家整理了初三数学学习相关内容，一起来看看吧! 初中数学怎么学才能学好? 1、上课以及课前课后 同学们平时的学习时间是在课上，但是大家要树立一个意识：课前课后也很重要。利用好这些时间，在配合适当的学习方法，学好数学其实并不难。 课前：课前预习很重要，一方面可以先了解上课知识，课上能跟上老师思路，另一方面标记出自己不会的知识点，课上可以根据自己的情况侧重去听。 课上：课上45分钟，大多数同学都很难保证整节课集中精神，这就要求我们课前一定要预习，找到自己不会的知识点，课上尽量理解吸收。还是希望大家课上尽量集中精神，跟随老师的进度了解重点与难点，有利于复习。 课后：课后的时间一般用来复习，大家可以把自己没有掌握的知识点复习一下，也可以对本节所学知识进行检测与巩固。如果课后复习还存在不理解的地方，大家一定要找老师和同学去问清楚。 有了课前课上课后三个阶段，相信大家数学基础基本差不多了，
也希望大家继续保持这个习惯。 2、提高作业效率 很多同学都跟学大君反映家庭作业太多，很多家长也觉得自己孩子压力很大。孩子作业都没时间完成，复习什么的更无从谈起，导致学习成绩不佳。但是家长和同学们有没有想一想，每个人的课后时间都是一样多的，为什么其他同学都可以完成，甚至还有很多学生利用课余时间报兴趣班呢? 有可能是我们的效率不够高。我可以问大家几个问题，大家做作业的同时有没有集中精力?有没有玩手机或者吃零食?是不是中间还会休息一下，经常走神?如果有这些情况，同学们还觉得是作业多吗?是不是自己效率不够高呢? 可能是同学们没有进行上边三步，导致自己做作业效率不高，最后怪罪到作业多上来。 其实这是一种非常不好的学习习惯，导致做作业效率不高，那么我们应该怎么提高做作业的效率呢? 几个建议大家可以参考一下： 1端正态度 估计同学们都被老师说过：想要学习好，首先要摆出一个学习的态度来。这句话没有错，对待作业，首先思想上要重视起来，养成一个良好的习惯。但是坚持一个好习惯是非常困难的，过程中很多同学容易产生放弃的念头，还会产生负面情绪，但是大家要知道，一个好习惯是受益终生的，养成好习惯，问题越来越少，成绩自然提高。
线性代数真题987-203选择题
二、选择题 1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)设 A 为n 阶方阵,且A 的行列式0A a =≠,而*A 是A 的伴随矩阵,则* A 等于 （ C ） (A)a . (B) 1a . (C)1n a -. (D)n a . 【考点】伴随矩阵的性质. 解 1 *n A A -=. 2.(1987—Ⅳ,Ⅴ)假设 A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中（ ） (A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关. (C) 任意r 个行向量都构成最大线性无关向量组. (D) 任何一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出. 【考点】矩阵的秩,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组. 解 ()R A r n A =
自考《线性代数》重难点解析与全真练习
自考《线性代数》重难点解析与全真练习 第一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1若A为n阶方阵，则|kA| = kn | A I 2、若A、B均为n阶方阵,AB丨=| A |。丨B丨 3、若A为n阶方阵，则|A* | = | A | n-1 若A为n阶可逆阵，则|A-1 | = | A | -1 4、若A为n阶方阵，入i （i=1 , 2,…，n）是A的特征值，| A | =口入i 四、题型及解题思路 1 、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法） 1 ）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法,多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D = | A |丰0,则Ax=b有解，即 x1=D1/D, x2= D2/D ,…, xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式A 判别方程组解的问题 1）当| A | = 0时，齐次方程组Ax= 0有非零解；非齐次方程组解,也可 能有无穷多解） 2）当| A |丰0时，齐次方程组Ax= 0仅有零解；非齐次方程组克莱姆法则求出。 、重点 1 、理解：矩阵的定义、性质, 几种特殊的矩阵（零矩阵,上（下）对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵） 2、掌握： 1）矩阵的各种运算及运算规律 2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法Ax= b 不是解（可能无Ax= b 有解,此解可由三角矩阵,对称矩阵,
2018人教版初中数学教材重难点分析
2018人教版初中数学教材 重难点分析 (名师总结教材重点，绝对精品，建议大家下载打印学习) 一、构建完整的知识框架——夯实基础 1、构建完整的知识框架是我们解决问题的基础，想要学好数学必须重视基础概念，必须加深对知识点的理解，然后会运用知识点解决问题，遇到问题自己学会反思及多维度的思考，最后形成自己的思路和方法。但有很多初中学生不重视书本的概念，对某些概念一知半
解，对知识点没有吃透，知识体系不完整，就会出现成绩飘忽不定的现象。 2、正确理解和掌握数学的一些基本概念、法则、公式、定理，把握他们之间的内在联系。由于数学是一门知识的连贯性和逻辑性都很强的学科，正确掌握学过的每一个概念、法则、公式、定理可以为以后的学习打下良好的基础，如果在学习某一内容或解某一题时碰到了困难，那么很有可能就是因为与其有关的、以前的一些基本知识没有掌握好所造成的，因此要经常查缺补漏，找到问题并及时解决之，努力做到发现一个问题及时解决一个问题。只有基础扎实，解决问题才能得心应手，成绩才会提高。 二、初中数学中考知识重难点分析 1、函数（一次函数、反比例函数、二次函数）中考占总分的15%左右。 函数对于学生来说是一个新的知识点，不同于以往的知识，它比较抽象，刚接受起来会有一定的困惑，很多学生学过之后也没理解函数到底是什么。特别是二次函数是中考的重点，也是中考的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。有一定难度。如果学生在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响。 2、整式、分式、二次根式的化简运算 整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。中考一般以选择、填空形式出现，但却是解答题完整解答的基础。运算能力的熟练程度和答题的正确率有直接的关系，掌握不好，答题正确率就不会很高，进而后面的的方程、不等式、函数也无法学好。
线性代数期末考试试题含答案
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）
线性代数试题及答案。。
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
大学线性代数期末考试试题
大学线性代数期末考试试 题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
a 0 0 一、选择题 线性代数测试 a 1 b 1 c 1 c 1 b 1 + 2c 1 a 1 + 2b 1 + 3c 1 1. 设行列式 D = a 2 b 2 c 2 ，则 D 1 = c 2 b 2 + 2c 2 a 2 + 2b 2 + 3c 2 = （ ） A. - D a 3 b 3 c 3 B. D c 3 C. 2D b 3 + 2c 3 a 3 + 2b 3 + 3c 3 D. - 2D 2. 下列排列是偶排列的是 ． （A ）13524876； （B ）51324867； （C ）38124657； （D ）76154283． 3. 设 A m ?s ， B t ?n ， C s ?t ，则下列矩阵运算有意义的是（ ） A. ACB ; B. ABC ; C. BAC ; D. CBA . 4. 设 A 是n 阶方阵， A 经过有限次矩阵的初等变换后得到矩阵 B ，则有（） A. A = B ； B. A ≠ B ； C. R ( A ) = R (B ) ； D. R ( A ) ≠ R (B ) . 5. 设 A 是 4×5 矩阵， A 的秩等于 3，则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中所含解向量的个数为（ ） A. 4 B.5 C.2 D.3 6. 向量组a 1 , a 2 , , a m （ m ≥ 2 ）线性相关，则（ ）． A. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均可由其余向量线性表示； B. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； C. a 1 , a 2 , , a m 中至少有一个向量可由其余向量线性表示； D. a 1 , a 2 , , a m 中仅有一个向量可由其余向量线性表示． ? a b + 3 0 ? ? 7. 矩阵 A = a - 1 a 0 ? 为正定矩阵，则 a 满足 ． ? ? ? 1 1 （1） a > 2 ； （B ） a > ； （C ） 2 a < ； （D ）与b 有关不能确定． 2 8. 设 A , B 均为 n 阶方阵，并且 A 与 B 相似，下述说法正确的是 ． （A ） A T 与 B T 相似； （B ） A 与 B 有相同的特征值和相同的特征向量； （C ） A -1 = B -1 ； （D ）存在对角矩阵 D ，使 A 、 B 都与 D 相似． 二、判断题 1、如果n (n > 1) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行元素对应成比例。 2、设向量组的秩为 r ，则向量组中任意 r 个线性无关的向量都是其极大无关组。 3、对 A 作一次初等行变换相当于在 A 的右边乘以相应的初等矩阵。 4、两个向量α1 ,α2 线性无关的充要条件是α1 ,α2 对应成比例. 5、若 A 是实对称矩阵，则 A 一定可以相似对角化. 三、填空题
线性代数选择 填空 计算题
(一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1 -=A BAB (D)E BA =2)( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)